2021-2022学年数学苏教版必修第二册学案：第13章直观图的斜二测画法

13.1.3直观图的斜二测画法

1.掌握斜二测画法的步骤.

课程标准2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、

圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.

》基础认知-自主学习如

【概念派口】

1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则：

⑴建系：在已知图形中取亘相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.

画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴交于点01且使

Nx©y二位，它们确定的平面表示水平面.

⑵平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分

别画成隹于x轴或y，轴的线段.

(3)长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长

度不变,平行于y轴的线段，长度为原来的一半.

2.用斜二测画法画空间图形的直观图，其规则是：

⑴在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于0点，再取z

轴，使NxOz=90°,ZyOz=90°.

（2）画直观图时把它们画成对应的x轴、y轴和z轴,它们相交于点0\

并使NxOy，=45。（或135。）,NxOz，=902,x轴和y轴所确定的平面

表示水平面.

⑶已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成

平行于x轴、y，轴或z轴的线段.

（4）已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变,

平行于y轴的线段，长度为原来的二生.

【自我小测】

1.下面每个选项的2个边长为1的正^ABC的直观图不是全等三角

形的一组是（）

选C.可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论.

2.如图,△A'B'C'是AABC的直观图,其中AB=A'C',那么^ABC

是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.钝角三角形

选B.由斜二测画法的规则可知^ABC为直角三角形，且直角边的长度

关系为AC=2AB.

3.已知两个圆锥，底面重合在一起（底面平行于水平面），其中一个

圆锥顶点到底面的距离为2cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3

cm,且两顶点不同侧，则其直观图中这两个顶点之间的距离为（）

A.2cmB.3cmC.2.5cmD.5

cm

选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，

故两顶点间距离为2+3=5（cm）,在直观图中与z轴平行的线段长度

不变，仍为5cm.

4.如图所示,矩形CTABC，是水平放置的一个平面图形的直观图，

其中OA=6cm,CD=2cm,则原图形的形状是________.

A'x

如图所示，在原图形OABC中，应有OA』BC,OD=20D=2x2啦

=4^/2(cm),CD=C,D,=2(cm),OC=\joD2+CD2=

(4^/2)2+22=6(cm),因为OA=OA，=6cm,所以OA=OC,

故四边形OABC是菱形.

答案：菱形

5.利用斜二测画法得到：

①三角形的直观图是三角形；

②平行四边形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是正方形；

④菱形的直观图是菱形.

以上结论中，正确的是________（填序号）.

斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改

变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边

形.

答案：①②

6.用斜二测画法画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的

直观图.

⑴画轴：画X轴、y轴、Z轴，使NxOy=45。（或135。）,Nx'0'z'=90°.

⑵画底面：在面x，oy内，画出正六边形的直观图ABCDEF.

（3）画侧棱:过A,B,C,D,E,F分别作z轴的平行线,在这些平

行线上分别截取AA"BB"CO,DD"EE"FP都等于侧棱长.

（4减图:顺次连线A"B"C"D"E"F,并加以整理（去掉辅助线,

将被遮挡的部分改为虚线）就得到正六棱柱的直观图，如图所示.

AB

...............情诊断•课时测评《

【基础全面练】

一、单选题

1.关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是（）

A.直角三角形的直观图仍是直角三角形

B.梯形的直观图是平行四边形

C.正方形的直观图是菱形

D.平行四边形的直观图仍是平行四边形

选D.由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐

标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确.

2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若NA的两边分别平行于

x轴、y轴，则在直观图中NA等于（）

A.45°B.135°C.90°D.45°或135°

选D.因NA的两边分别平行于x轴、y轴,故NA=90°,在直观图中，

按斜二测画法规则知4Oy=45。或135°,即N"=45。或135°.

3.已知等边三角形ABC的边长为a,那么等边三角形ABC的直观

图△ABC的面积为（）

A.ga?B.害a?C.*a?D.Q

选D.方法一：建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.

如图②所示,建立坐标系x，oy,使Nx，oy=45。，由直观图画法，知

1、/5

AB=AB=a,OV=2OC=-^a.过点C作CDJLOB于点D1则

CD=乎OC=乎a.所以△ABC的面积S=；ABCD=

1

・・

2a

件土一.q_也.2而包吧一啦

Zji/K—・S^ABC—/a,|TD「一力,

SAABC4

所以SAA,B'C'=¥SAABC=乎x坐a2=^a2.

二、填空题

4.水平放置的^ABC的斜二测直观图如图所示，已知AC=3,BC

=2,则AB边上的中线的实际长度为.

由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC=AV=3,BC=2B，C

=4,计算得AB=5,

所求中线长为25

答案：2.5

5.有一个长为5cm,宽为4cm的矩形，则其直观图的面积为

________cm2.

该矩形的面积为S=5x4=20(cm2),由平面图形的面积与直观图的面

积间的关系，可得直观图的面积为S=5也(cm2).

答案：5审

三、解答题

6.如图，ABCD是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二

测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面

积.

由已知中ABCD，是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二

测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如图所示：

这是一个底边长为2,高为啦的平行四边形.故原图形的面积为

2y[2.

7.用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm,3cm,2cm的长方体

ABCD-ATBCTT的直观图.

画法步骤：

⑴画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使NxOy=45。,

ZxOz=90°.

(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN,使MN=4cm；在

3

y轴上取线段PQ,使PQ=橙cm.分别过点M和N作y轴的平行线,

过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A,B,C,D,

则四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.

⑶画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线，并在这些平

行线上分别截取2cm长的线段AA"BB"CC"DD1

（4）成图.顺次连接A'.B'.C'.D',并加以整理（去掉辅助线，将被

遮挡的部分改为虚线）,就得到长方体的直观图.

【综合突破练】

一、选择题

1.如图，RfCTAE是一个平面图形的直观图，若0B■啦,则这

个平面图形的面积是（）

A.1B.y[2C.2媳D.4娘

选C.由题图知，平面图形4OAB为直角三角形.

因为0匠=嫄，所以AB=V^,OW=2.

所以在原QAB中，OB=嫄,OA=4,

所以S^OAB=2x4=2\[2.

2.如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中

O，A，=6,OV=3,BCIIx轴，则原平面图形的面积为（）

A.36^2

C.18^2D.18

【解题指南】将直观图进行还原，得到原图形，进而求面积.

选A.在直观图中，设BC与y轴的交点为D',则易得OD=3也,

所以原平面图形为一边长为6,高为6地的平行四边形，

所以其面积为6x6媳=36^2.

二、填空题

3.如图所示,四边形OABC是上底为2,下底为6,底角为45。的等

腰梯形，由斜二测画法,画出这个梯形的直观图,则在直观

图中梯形的高为.

CB

按斜二测画法，得梯形的直观图OABC"如图所示,

原图形中梯形的高CD=2,在直观图中CD，=1,且NCDE=45。，

作CE垂直于x轴于E',

贝1(3£'=©分回1145。=看.

林索,也

口•2

4.在斜二测画法中，若一个正三角形的边长为2,则它的直观图的

面积为.

正三角形的面积S=¥X22=V3邛，所以S，=SX乎=

\[6

4,

今案•«

1=1-4

5.在斜二测画法中，若一个平面图形的直观图是一个上底为1,下

底为3,直角边长为2的直角梯形，则原平面图形的面积是

1+3S'、历S'4

直观图的面积S=亍x2=4,又£洋，所以S脸=4=

44

8也.

答案：8^2

三、解答题

6.如图为一几何体的展开图：沿图中虚线将它们折叠起来，请画出

其直观图.

由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是

一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2,其直观图如图所

7.用斜二测画法画出图中正五边形ABCDE的直观图.

画法：⑴在图①中作AG±x轴于点G,作DHJ_x轴于点H.

(2)在图②中画相应的x轴与y轴，两轴相交于点O"使NxOy，=45°.

⑶在图②中的X轴上取OB=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=

OH,y轴上取OE=；OE,分别过G和H作y轴的平行线，并在相

应的平行线上取G

|GA,HD=|HD.

（4）连接AB"AE,ED,DC,并擦去辅助线GA"HD,x轴与y，

轴便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE（如图③）.

E'

B'③C

【素养培优练】

（25分钟45分）

一、选择题（每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对

但不全的得2分，有选错的得0分）

1.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有木长二丈,

围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？术日：以

七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦.弦者，葛之长”.意思是：

今有2丈长木，其横截面周长3尺，葛藤从木底端绕木7周至顶端，

问葛藤有多长？（注：1丈=10尺）（）

A.21尺B.23尺C.27尺D.29尺

选D.如图，一条直角边很|］木棍的高）长20尺,

另一条直角边长7x3=21（尺），因此葛藤长^202+212=29（尺）.

2.如图，平行四边形O,ABC是水平放置的一个平面图形的直观图，

其中OW=4,OV=2,NA，OC=30。则下列叙述正确的是（）

A.原图形是正方形

B.原图形是非正方形的菱形

C.原图形的面积是队”

D.原图形的面积是8小

选C.过点C作y轴的平行线交x轴于点D如图⑴,

O'C'=2,NC'O'D'=30°,ZC,D,O,=135°,ND'C'O'=15。，由正弦定

O'D'2D'C'

理可得

sin150-sin135°-sin300'

可得O，D，=小-1,DV=V2,将直观图还原为平面图形，并过点

C作OA的垂线，垂足为D,如图(2),

则OD=OD二审-1,CD=2CD'=2^2,OC=

1(2隹P+(由-Ip=^12-2^3,OA=O,A,=4,

显然OCWOA,即原图形既不是正方形又不是菱形，原图形的面积为

4x25=8^2.

3.若三棱锥P-ABC满足,PA=BC,PB=AC,PC=AB,则该三棱

锥可能是()

A.AB=2,BC=3,CA=4B.AB=3,BC=4,CA=5

C.AB=4,BC=5,CA=6D.以上选项都不可能

选C.在三棱锥P-ABC中，由PA=BC,PB=AC,PC=AB,将此三

棱锥P-ABC放置入长方体中，如图，设该长方体的长宽高分别为a,

b,c,

则AB2=b2+c2,CB2=b2+a2,AC2=a2+c2,

222

.AB+AC-BCc2

在^ABC中,cosZBAC=-----2ABAC-----=ABAC>01角NBAC

为锐角.同理可得NABC,ZACB均为锐角.则^ABC为锐角三角形.

AB?+BC2-AC222+32-42

由cosZABC=2ABBC二_2x2x3一<°，为钝角，故A不

正确.AB2+BC2=CA2,为直角，故B不正确.

AB2+BC2-CA2=16+25-36>0,AB2+CA2-BC2=16+36-25>0,

AC2+BC2-BA2=36+25-16>0,

由余弦定理可得AABC的三个内角均为锐角，满足条件，故C正确，

则D不正确.

4.（多选）正方体的截面可能是（）

A.钝角三角形B.直角三角形

C.菱形D.正六边形

选CD.

如图所示截面为三角形ABC,OA=a,OB=b,OC=c,

所以AC2=a2+c2,AB2=a2+b2,BC2=b2+c2,

AB2+AC2-BC2

所以cosZCAB=

2ABAC

所以NCAB为锐角，同理NACB与NABC也为锐角，即AABC为锐角

三角形，

所以正方体的截面若是三角形，则一定是锐角三角形，不可能是钝角

三角形和直角三角形，A,B错误；

若是四边形，则可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形、

正方形，但不可能是直角梯形，C正确；

正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，

如图截面过棱的中点时，则可以是正六边形，D正确.

二、填空题

5.（5分）正方体ABCD-ABCD中，棱长为2,E是线段CD上的

动点，则|AE|+|DE的最小值是________.

如图，取CD的中点为P,连接AP,DP

A\D]

BC

则由AC=AD|,DC=DDi知，APJ_CDi,DPJ_CD],

所以|AER|AP|,|DE|N|DP|,

所以|AE|+|DE|>|AP|+|DP|,

在正方体中，棱长为2,所以AP=^x啦*2=疵,DP=Tx也

x2=啦，故当E在线段CD।上运动，E与P重合时，|AE|+|DE有

最小值班+也.

答案：加+也

三、解答题(每小题10分，共20分)

6.如图所示,在平面直角坐标系中，各点坐标分别为0(0,0),A(1,

3),B(3,1),C(4,6),D(2,5)试用斜二测画法画出四边形ABCD

的直观图.

⑴如图⑴所示,分别过点A,B,C,D作x轴的垂线,垂足分别为

E,G,H,F,在图⑵中画出相应的x轴和y轴,使Nx'O'y'=45。；

6