2024河南中考数学复习微专题 一线三等角模型 课件

一线三等角模型1.模型及方法类微专题3一线三等角模型(9年3考)一阶

模型应用模型回顾1．如图，一线三等角模型的特点有：(1)∠1，∠2，∠3的顶点在同一条直线上；(2)∠1，∠2，∠3之间的关系是________________．∠1＝∠2＝∠3.2．一线三等角模型的结论：(1)△APC和△BDP的关系是________________；(2)若在(1)中的条件下，增加条件____________________________，可以得到△APC≌△BDP.△APC∽△BDPCP＝PD或AP＝BD或AC＝BP1.(北师八下P35第17题改编)如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，连接DE，EF，且∠DEF＝60°.若BD＝4，E为BC的中点，求CF的长．第1题图解：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BDE＋∠BED＝120°，∵∠DEF＝60°，∴∠CEF＋∠BED＝120°，∴∠BDE＝∠CEF，∴△BDE∽△CEF，∴，∵E为BC的中点，∴BE＝CE＝3，且BD＝4，∴＝

，解得CF＝

.2.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝10，点E是CD边上一点，连接BE，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处，求FE的长．第2题图解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，∴由折叠性质得EF＝EC，BF＝BC＝10，∠BFE＝∠C＝90°，在Rt△AFB中，AB2＋AF2＝BF2，AB＝5，BF＝10，∴52＋AF2＝102，∴AF＝5(负值已舍去)，∵∠AFB＋∠EFD＝90°，∠EFD＋∠DEF＝90°，∴∠AFB＝∠DEF，∴△AFB∽△DEF，∴＝

，即

＝

，解得DE＝10－15，∴FE＝CE＝DC－DE＝20－10.二阶

模型构造构造方法(1)若图中存在一条直线上有一个直角时，根据一线三等角的特点，从直角的两边上的已知点向直角顶点所在直线作垂线，构造一线三等角模型；(2)若图中存在一条线上有两个等角时，根据一线三等角的特点，补上一个与前两个角相等的角．3.(人教八下P69第14题改编)如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是BC上一点，连接DE，将线段DE绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接BF，BE＝4.(1)求△BEF的面积；由旋转的性质可得∠DEF＝90°，DE＝EF，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝6，∠C＝90°，∵∠DEC＋∠CDE＝90°，∠DEC＋∠GEF＝90°，∴∠CDE＝∠GEF.第3题图解：(1)如图，过点F作FG⊥BC交CB的延长线于点G，则∠FGE＝90°，G∟在△CDE和△GEF中，∴△CDE≌△GEF(AAS)，∴CE＝GF.∵BE＝4，∴CE＝BC－BE＝2，∴GF＝CE＝2，∴S△BEF＝

BE·GF＝

×4×2＝4；第3题图G(2)由(1)知：△CDE≌△GEF，FG＝EC＝2，GE＝CD＝6，∵BE＝4，∴BG＝2，∴BG＝FG，∵∠FGB＝90°，∴∠FBG＝∠GFB＝45°，∵∠ABG＝90°，∴∠FBA＝45°.(2)求∠FBA的度数．G第3题图4.如图，点D，C，E在直线l上，点A，B在l的同侧，AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE＝5，CD＝6，求CE的长．∵AD＝AC，AG⊥CD，∴CG＝

CD＝3，在Rt△ACG中，由勾股定理得，AG＝

＝

＝4，∵AC⊥BC，∴∠CAG＋∠GCA＝∠GCA＋∠BCH＝90°，∴∠CAG＝∠BCH.第4题图解：如图，过点A作AG⊥CD于点G，过点B作BH⊥CE于点H，∟∟GH在△ACG和△CBH中，∴△ACG≌△CBH(AAS)，∴CH＝AG＝4.∵BC＝BE，BH⊥CE，∴CE＝2CH＝8.第4题图∟∟GH5.如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，点E是AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC边于点F，且∠EFD＝60°，求AE的长．一题多解法∵∠B＝∠EFD＝60°，∴∠BFE＋∠BEF＝∠BFE＋∠GFD＝120°，∴∠BEF＝∠GFD，∵∠B＝∠G＝60°，∴△BEF∽△GFD，∴＝

＝

，解：解法一：如图，延长BC至点G，连接DG，使∠G＝60°，第5题图G∵∠EFD＝60°，∠DEF＝90°，∴DF＝

＝2EF，∴＝

＝

＝

，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD＝3，∴∠DCG＝∠B＝∠G＝60°，∴△DCG是等边三角形，∴CG＝DG＝CD＝3，∴＝

＝

，∴BF＝

，∴BE＝

，∴AE＝AB－BE＝

.第5题图G∵∠MEF＋∠DEN＝∠NDE＋∠DEN＝90°，∴∠MEF＝∠NDE，∵∠EMF＝∠DNE＝90°，∴△EMF∽△DNE，∵四边形ABCD为平行四边形，∠B＝60°，∴AD∥BC，AD＝BC＝4，∴∠NAD＝∠B＝60°，∴AN＝

AD＝2，DN＝

AD＝2，解法二：如图，过点F作FM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB，交BA的延长线于点N，第5题图MN∵∠EFD＝60°，∠DEF＝90°，∴＝

，∴＝

＝

＝

，∴EM＝2，设AE＝x，则BM＝AB－AE－EM＝1－x，NE＝AN＋AE＝2＋x，在Rt△BMF中，MF＝

BM＝

－

x，∴＝

，解得x＝

，∴AE＝

.第5题图MN三阶

综合提升1.如图，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，则CE的长为______．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在AC边上，点F在BC的延长线上，且∠EDF＝∠A＝45°，连接EF.若AE＝2，CF＝3，则EF的长为________．第1题图第2题图

753.(人教八上P52第7题改编)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E.求证：DE＝BD＋CE.第3题图证明：∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△BDA和△AEC中，∴△BDA≌△AEC(AAS)，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AE＋DA＝BD＋CE.第3题图4.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝

，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得点C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF＝

，求CE的长．解：如图，过点F作MN∥AD，分别交AB，CD于点M，N，则MN⊥AB，MN⊥CD.第4题图M∟∟N由折叠的性质得，EC＝EF，BC＝BF＝

，∠C＝∠BFE＝90°.∵tan∠BAF＝

＝

，设FM＝x，则AM＝2x，BM＝4－2x.在Rt△BFM中，由勾股定理得x2＋(4－2x)2＝()2，解得x1＝1，x2＝

＞2(舍去)，∴FM＝1，AM＝BM＝2，∴FN＝

－1，易证△BMF∽△FNE，∴＝

，即

＝

，解得FE＝

，∴CE＝

.第4题图M∟∟N5.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是线段BC上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交CD于点F.(1)如图①，求证：△ABE∽△ECF；(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB＋∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF；第5题图①则EH∥AB，∴＝

.解得EH＝

，(2)如图②，连接AC交EF于点G.若BE＝3，求EG的长；(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°.由(1)得△ABE∽△ECF，∴＝

，∵AB＝6，BE＝3，BC＝8，∴＝

，解得CF＝

，第5题图②H如图，过点E作EH⊥BC交AC于点H，又∵EH∥CF，∴△CGF∽△HGE，∴＝

，在Rt△ECF中，EF＝

＝

，设EG＝x，则FG＝

－x，∵＝

，即

＝

，解得x＝

，即解得EG