2024版新高考新教材版高考总复习数学八

2024版新高考新教材版高考总复习数学专题八.解析几何（A）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.（2023安徽蚌埠高三质检，4）直线/：X+冲+1—〃2=0与圆。：（％-1）2+（丁一2）2=9的

位置关系是（）

A相交B.相切C.相离D.无法确定

22

2.（2023北京朝阳高三期末，4）已知双曲线「-与=1（〃＞0力＞0）的一条渐近线的倾斜角

ab-

为60。，则双曲线的离心率为（）

A.@B.亚IC.JjD.2

23

3.（2023广东东莞高三期末，5）已知尸为抛物线V=4x的焦点，P为抛物线上任意一点，

O为坐标原点，若1。尸1=3,则|OP|=（）

A.272B.3C.273D.V17

4.（2023河北张家口高三期末，7）过点P（l,l）作圆E:/+y2-4x+2y=0的切线，则切

线方程为（）

A,x+y—2=0B,2x—y-l=0

C,x-2y+l=0D.x—2>+1=0或2工一y—1=0

尤2V2

5.（2023山东淄博三模，6）已知椭圆。：鼻+方=1（。＞方＞0）,尸为其左焦点，直线

丁=日（2＞0）与椭圆。交于点人，B,且AELAB.若NA防=30°,则椭圆C的离心

率为（）

也也逅

AB屈CD.

3366

6.（2023广东厦门外国语学校5月适应性考试，6）已知F为抛物线C:y2=3x的焦点，过

F的直线/交地物线C于AB两点，若|Aq=4忸目=/1,则4=（）

3

A.1B.一C.3D.4

2

7.(2023河北承德一模,7)己知过点P(l,2)可作双曲线C：二=1(a>0,b>0)的两

a~

条切线，若两个切点分别在双曲线。的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为

()

A.(75,+oo)B.(1,A/5)C.(1,V3)D.(V3,+oo)

8.(2023河北秦皇岛二模，8)已知Q,B分别是双曲线C：£■-马=l(a>0,6>0)的左、

a~b~

2222

右焦点，点P在双曲线上，PFt1PF2,圆。：x+y^^(a+b),直线尸Q与圆。相交

于A,B两点，直线尸尸2与圆。相交于M,N两点.若四边形AMBN的面积为9从，则C的

离心率为()

A3B.§C.好D.亚

4525

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

V-22

9.(2023湖南长沙雅礼中学二模，9)已知椭圆E：4v=1(“>/,〉0)的右焦点为/(3,0),

a~b

过点尸的直线交椭圆£于A,B两点.若A8的中点坐标为(1,7)，则()

22

A.直线的方程为y=g(x—3)B.a=2b

C.椭圆的标准方程为工+工=1D.椭圆的离心率为也

932

10.(2023广东汕头一模，10)已知直线4：2x-y-3=0,/2：x-2y+3=0,圆C：

(x-a)2+(y-b)2=r2,若圆C与直线心4都相切，则下列选项一定正确的是()

A.4与《关于直线y=x对称

B.若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9

C,圆C的圆心在直线x+y—6=0或直线x-y=()上

D.与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个

11.（2023广东惠州一模，11）己知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F,过F且斜率

为2夜的直线交抛物线C于A、8两点，其中A在第一象限，若|AF|=3,则（）

3

A.p=lB.\BF\=-

C.以AF为直径的圆与y轴相切D.OAOB^-3

2,2

12.（2023福建漳州二模，12）已知［（-2,0）,历（2,0）是双曲线C*f=l（a>0,b>0）的

左、右焦点，且鸟到C的一条渐近线的距离为行，。为坐标原点，点P为C

右支上的一点，则（）

A.a=b=6B.过点M且斜率为1的直线与C有两个不同的交点

1

C.\PO\=\PFi\-\PF2\D.当P,M,耳，鸟四点共圆时，々和=15。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（2023山东青岛三模，13）已知椭圆C的长轴长为4，它的一个焦点与抛物线夕='/

4

的焦点重合，则椭圆C的标准方程为.

14.（2023山东省实验二模，14）已知直线/过圆（x-1）-+y2=1的圆心，且与圆相交于A，

8两点，P为椭圆"+《=1上一个动点，则QA.P6的最大值与最小值之和为.

2

15.（2023湖北十堰四调，15）已知尸（五，儿）是双曲线E:9—V=1上一点，片、鸟分

别是双曲线E的左、右焦点，△P6苞的周长为12+26，则cos/%Pg=,

4PF用的面积为.

16.（2023广东厘门外国语学校5月适应性考试，16）已知椭圆C的一个焦点为F，短轴

的长为2百,已。为C上异于用，层的两点.设/2与为=，，且

tan（a+Q）=-3（tana+tan4）,则△PQF的周长的最大值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.（2023广东厦门外国语学校5月适应性考试，21）在平面直角坐标系xOy中，已知点

川一行,0),工(6,0),点M满足|5|一|叫|=4,记点M的轨迹为E.

(1)求E的方程；

(2)点A(2,0)，点、B,C为E上的两个动点，且满足NBAC=1•过A作直线AQ_L8C交

TT

E于点Q.若NBQC=3,求直线的斜率.

18.(2023山东青岛三模，20)已知动圆尸经过点A(一8,0),并且与圆8：

(%-6)2+/=16相切，记圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)若动圆。的圆心在曲线C上，定直线/：x=f与圆。相切，切点记为M,探究：是否

存在常数胆使得|Q8|=〃?|QM|?若存在，求胆及直线/的方程；若不存在，请说明理由.

22

19.(2023湖南师大附中二模,21)如图，椭圆C：二+±=1(">2),圆。：/+,2=/+4,

a-4

椭圆C的左、右焦点分别为耳，鸟.

(1)过椭圆上一点P和原点O作直线/交圆。于M,N两点，若归功归闾=6,求

IPMHPNI的值;

(2)过圆。上任意点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线相互垂直.

92

20.(2023安徽宣城二调，21)己知椭圆C：y1/6>0)的长轴长为4,且离心

率为丸

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线y=履+机与椭圆C交于M,N两点，。为坐标原点，直线OM,ON的斜率

之积等于-1,求OMN的面积的取值范围.

22

21.（2023福建福州高三质检，21）已知双曲线C：的右顶点为4

。为原点，点尸（1,1）在C的渐近线上，二PAO的面积为

（1）求C的方程；

（2）过点尸作直线/交C于M,N两点、,过点N作x轴的垂线交直线AM于点G,H为NG

的中点，证明：直线4,的斜率为定值.

22.（2023广东省二模，22）已知A,8是抛物线E：上不同的两点，点P在x轴下

\PA\|PB|,

方，%与抛物线E交于点C,P8与抛物线E交于点。，且满足黄=上■=4,其中工

是常数，且zlwl.

（1）设AB,CO的中点分别为点M,N,证明：MN垂直于x轴;

（2）若点尸为半圆/+产=1（><0）上的动点，且4=2,求四边形A8DC面积的最大值.

专题八.解析几何（A）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.（2023安徽蚌埠高三质检，4）直线/：龙+加丁+1-〃2=0与圆C:（x-iy+（y—2）2=9的

位置关系是（）

A相交B.相切C.相离D.无法确定

【答案】A

【解析】已知直线/：x+加y+1一m=0过定点（一1,1）,将点（—1,1）代入圆的方程得

（-1-1）2+（1-2）2<9,所以点（一1,1）在圆内，所以直线/：X+冲+1—〃2=0与圆

C:（x—1『+（丁—2）2=9相交，故选：A.

22

2.（2023北京朝阳高三期末，4）已知双曲线=V-4V=13>0力>0）的一条渐近线的倾斜角

ab~

为60。，则双曲线的离心率为（）

A.且B.C.6D.2

23

【答案】D

【解析】由题意得：双曲线的一条渐近线方程的斜率2=tan60。=6，

a

所以双曲线离心率e=(==2故选：D

3.(2023广东东莞高三期末，5)已知F为抛物线V=4尤的焦点，P为抛物线上任意一点，

O为坐标原点，若|PF|=3,则|OP|=()

A.272B.3C.2GD.历

【答案】C

［解析】由题意知抛物线＞2=4x的焦点尸(1,0),且准线方程为x=-l,

设P(Xp,%),：|PF|=3,即Xp+l=3,；.Xp=2,代入y2=4x得常=8,

即P(2,±20),故|。尸|=病与=厄=26,故选：C

4.(2023河北张家口高三期末，7)过点P(l,l)作圆E:/+y2-4x+2y=0的切线，则切

线方程为()

A,x+y—2=0B,2x—y-l=0

C.x—2y+l=0D,x—2)+1=()或2工一y—1=0

【答案】C

【解析】由题意可知：圆石：/+/一4%+2丁=0的圆心E(2,T),半径尸=逐，

,.•『+12-4x1+2x1=0,...点尸在圆E上，

-1-11

又•：kpF=k^~=2则切线的斜率A=

2-12

•••切线方程为y-l=g(x-l),即x-2y+l=(),故选：C.

y2

5.(2023山东淄博三模，6)已知椭圆。：二•+厂为其左焦点，直线

aF

>=履（左>0）与椭圆C交于点A,B,且AFLAB.若NA防=30°,则椭圆。的离心

率为（）

A.也B.显C.也D.近

3366

【答案】A

【解析】设椭圆的右焦点为尸2,连接4工，BF〉故四边形APBB为平行四边形，设

\AF\=m,ZABF=30°>则|网|=2/〃，忸闾=|AF|=〃?，忸同+忸周=2机+加=加，

20,4、2,2丫42

m=--a,△BFF）中，（2c）~=—a4-—a-2x—QX—axcosl200,整理得

3-VbJUJ33

4c2=生生，即,=也4,故e=£=也，故选：A

93a3

6.（2023广东厦门外国语学校5月适应性考试，6）已知产为抛物线C:y2=3x的焦点，过

产的直线/交地物线C于A6两点，若|A月=4忸同=2,则;1=（）

3

A.1B,-C.3D.4

2

【答案】C

【解析】如图，过A作准线于儿，过8作准线于4，

由抛物线c:V=3x的焦点尸,0),准线方程为X=—:，

31Q

由抛物线的定义可得忸司=忸闻=4+a=1，所以4="代入抛物线方程得力=±三

若8匕'三’直线A8的斜率为&8=十口-=一6,则直线方程为

4-4

户一反+乎得16/一40X+9=0,

即y=—Gx+上叵联立,

-4丁=3x

991.393

则所以4=7，则|4耳=4+彳=彳+彳=3=4；

lo4444

V3n

若8，直线AB的斜率为原8=一九一=石，则直线A6方程为

4~4

3百

即三小¥联立［3

~T~得16X2—40X+9=0,

9393

故选

%A-%+-+-3-A综上AC

4-4-4-4-

7.(2023河北承德一模,7)已知过点P(l,2)可作双曲线C：=1（4>0,8>0）的两

«2b2

条切线，若两个切点分别在双曲线C的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为

()

A.(V5,+oo)B.(l,x/5)C.(1,百)D.(瓜+8)

【答案】B

b

【解析】要满足题意，点尸(1,2)必须在渐近线y=—x与)轴围成的区域，且不能在渐近

a

b

线及)轴上，所以必须满足2>一，得从<46,.・.。2-4<4以2,...c2V5/,

a

又e>l,.」Ivec布,故选：B

8.(2023河北秦皇岛二模，8)已知B,B分别是双曲线C：乌-£=1(°>0,6>0)的左、

ab

2222

右焦点，点P在双曲线上，PF\1PF2,圆O：x+y=^a+b),直线,与圆。相交

于A,B两点，直线尸尸2与圆O相交于M,N两点.若四边形AMBN的面积为9从，则C的

离心率为()

A。B.§C.且D.亚

4525

【答案】D

【解析】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示,

圆O：x2+y2=^(a2+b2),圆心为。(0,0),半径为六，

22

设|尸盟=〃，|尸司二根，点尸在双曲线上，PF}-LPF?,则有n-m=2a，n+/=4c，

in

可得痴=2/，过。作MN的垂线，垂足为。，。为耳工的中点，则|QD|=/|P用=/,

,同理，,邳=2{七)一］晟),由

四边形4MBN的面积为JABHMN|=gx29b°，

，加2+/、9c222，只［r4Q/、4/4\o

81c4mn二4(行一丁+］卜”，化简得八沪则有

4、4k

16

a2=c2-b2=-b2,则c的离心率e=£=£=沏°,故选：D

3ay/55

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

22

9.(2023湖南长沙雅礼中学二模，9)已知椭圆七：二+3=1(。>/,>0)的右焦点为F(3,0),

a~b~

过点尸的直线交椭圆后于A5两点.若A5的中点坐标为则()

A.直线A6的方程为y=g(x—3)

B.a2-2Z?2

22D.椭圆的离心率为立

C,椭圆的标准方程为土+匕=1

932

【答案】ABD

【解析】因为直线过点厂(3,0)和点所以直线AB的方程为y=g(x—3),

、

221,消去九得小3Q

代入椭圆方程二+4x2——crx-\■—a2-a2h2=0,

a2b2

724

2=1,即/=26,

所以AB的中点的横坐标为(2

2—+b2

4

又〃=。2+<;2，所以。=c=3,a=，离心率为4二,

2

所以圆E的方程为三+二=1,故选：ABD.

189

10.(2023广东汕头一模，10)已知直线4：2x-y-3=0,/2：x-2y+3=0,圆C：

(x-a)2+(y-b)2=r2,若圆C与直线4,4都相切，则下列选项一定正确的是()

A.4与《关于直线丁=工对称

B.若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9

C.圆C的圆心在直线x+y—6=0或直线x-y=0上

D.与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个

【答案】ACD

【解析】对于A,设直线小2x—y—3=0上任意一点伍,2/一3）关于直线>=%对称的

2九0-3一〃

----------=-1

点为（根,〃）,则40解得加一2〃+3=0,所以点（根,〃）在直线4：

+2x0-3

22

x—2y+3=0上，所以4与4关于直线丁=%对称，故A正确；对于B,因为圆C的圆心

在x轴上，设圆心为（a,0）,因为圆C与直线心4都相切，所以厂=邑舁=埠1,解

a%R9975

得a=0或。=6,当a=0时，r=—j==----；当。=6时,厂斗=吧,故B错误;

65y/55

对于C,由圆C：（x-a）2+（y-b）2=，，得圆心为（a,》），半径为r,因为圆C与直线4,

I,都相切，所以r==.之+斗

解得a+匕-6=0或a=Z?,所以圆心在

直线x+y—6=0或直线x—y=0上，故C正确；

对于D,由圆C：（x-。）~+（y-bp=厂，得圆心为（。/），半径为广，因为圆C与两坐标轴

都相切，得圆心到x轴的距离为例，到y轴的距离为同，所以r=时且r=|耳，即时=网，

解得。=8或。=一力，当。=匕时，由题意可知色二浮1=同，解得,二6=3（石+1）

V54

或a=b=3（'T），当。=一人时，此时不满足，所以与两坐标轴都相切的圆C有且只有

4

2个，故D正确，故选：ACD.

11.（2023广东惠州一模，11）已知抛物线C：：/=2px（p>0）的焦点为尸，过尸且斜率

为2夜的直线交抛物线C于A、B两点,其中A在第一象限，若|AF|=3,则（）

3

A.p=\B.忸F|=]

C.以A"为直径的圆与y轴相切D.OAOB^-3

【答案】BCD

【解析】设F（§,0）,则过尸的直线斜率为2及的方程为：y=2夜（%—，），

代入抛物线方程消去y可得：4f—5px+p2=0,

解得玉=p,4因为点A在第一象限，所以乙=〃，

贝IJ|AF|=4+5=,=3,所以p=2,A错误，

四1=/=%勺学=|，B正确，

由p=2可得抛物线的方程为：y2=4x,且A（2,2V2）,B（p-V2）,

所以OA-O8=（2,2后）•（」「行）=1-4=-3,。正确，

2

33

A尸的中点横坐标为以AF为直径的圆的半径为J,

所以圆心到y轴的距离等于半径，则以AF为直径的圆与y轴相切，C正确,

故选：BCD.

22

12.（2023福建漳州二模，12）已知月（一2,0）,居（2,0）是双曲线知=-4=1（">0,6>0）的

a~b~

左、右焦点，且工到C"的一条渐近线的距离为0,。为坐标原点，点M（l,百），P为C

右支上的一点，则（）

A.a=b=亚B.过点M且斜率为1的直线与C有两个不同的交点

C.|PO『=|尸制•忸玛D.当P,M，K，鸟四点共圆时，/P耳马=15。

【答案】ACD

【解析】设双曲线的半焦距为c=2,一条渐近线为：y=-x^bx-ay=Q

a

l|2/?-«x0|2b2br

因为8到C的一条渐近线的距离为,即d=----=—=—=<2,

yja'+h2c2

所以6=、历，又c=2,所以〃=血，故A正确，

对于B,双曲线的渐近线的斜率为1,所以过点M且斜率为1的直线为y=x+百-1,

联立一I消去丁得：x=-y/3,y=-l,只有一个交点，故B错误，

x-y=2

对于C,由双曲线的定义知，|尸埒一归周=2J2

所以|助「+归月「=2-用.归国+8,

因为。为大鸟的中点，P为C右支上的一点，

।21尸）；（用尸片.尸工+年

所以OP=5（OF;+O居），所以Po『=w（P£+62=|P2+2

，＜+|和+济丽

=扑司2+明）+；同悭cos/"E，

在鸟中，由余弦定理得：

cos与PF,=闻#丰1n21P耳•|尸6|•cosZFIPF^\PF^+\PF^-\F^,

2P£.叫111122

则卜4=；（PW+|P可）一（归目即归°『4（附『+|尸用＞%回

-（2|PF；|-|P^|+8）--xl6=|P/;；|-|P^b故C正确;

2A

对于D,当P,M，K，玛四点共圆时，所在的圆方程为尤-+y/=4,

*2+y2=4

联立＞2得［（百,1"（疯—1）,

----------=1

22

因为&毋=百可二号，所以/“月居=30°,

当点P的坐标为［（73,1）时，k。p、=*nAPXOF1=

30，

又网=|0£|,所以/耳耳亮=15,

当点P的坐标为巴（6,-1）时，kOPi=-^-^ZP2OF

\=30，

又|0周=|0用，所以N£耳乙=15,故D正确，故选:ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（2023山东青岛三模,13）已知椭圆C的长轴长为4，它的一个焦点与抛物线y=

4

的焦点重合，则椭圆。的标准方程为.

22

【答案】匕+土=1

43

【解析】抛物线方程化为标准方程得-=4y,焦点坐标为尸(0,1),

•.•抛物线焦点与椭圆。的一个焦点重合，椭圆焦点在y轴，

22

设椭圆方程为4+1=1,(a>8>0),则由焦点坐标和长轴长知c=l,2a=4,二

a2b2

22

4=2,.•./72=42一,,2=3，...椭圆C的标准方程为匕+上=]

43

14.(2023山东省实验二模，14)已知直线/过圆(X—仔+丁=1的圆心，且与圆相交于A，

22

8两点，P为椭圆、■+]■=1上一个动点，则尸A.尸5的最大值与最小值之和为-

【答案】18

【解析】圆(x—lp+y2=i,圆心Q(l,0),半径厂=1，

因为直线/过圆(x—l)2+y=i的圆心，且与圆相交于A,8两点，

所以Qf=—QA,又椭圆/+£=1,则a=3,c=l,右焦点为(1,0),

所以PA.P8=(PQ+QA)•(PQ+«8)

=(PO1+gA)(PO|-gA)=PO'-O^=\PO^-1,

又“一。«|「0||«0+0,即2«|尸01|44,所以3<忖0『—1K15,

即3WP4-PB«15，所以P4P8的最大值为15，最小值为3.

则PA-PB的最大值与最小值之和为18.

2

15.(2023湖北十堰四调，15)已知〃(X。，人)是双曲线E:?—y2=i上一点，月、鸟分

别是双曲线E的左、右焦点，△「耳鸟的周长为12+2不，则cos/片产鸟=

的面积为________

【答案】①.与②.西

16

【解析】在双曲线E中，a=2,b=\,则c="2+从=非,

根据对称性，不妨设点P在双曲线E的右支上，则归附—归周=4.

因为由段=2c=26，△PKK的周长为12+2君，所以归耳|+|尸闾=12,

所以|正耳|=8,|尸用=4.

电「+|P用2_诲用2=]5

在△尸百鸟中,COSZFPF=

I22|PE||P〃|"16

2

则sin/6P用=^l-cosZFtPF2

所以△P/M的面积为S叼；=g|P制•俨丹卜缶/6？玛=gx8x4x1|^=JJT.

16.(2023广东厦门外国语学校5月适应性考试，16)已知椭圆C的一个焦点为F,短轴B艮

的长为2百,P,Q为C上异于耳，B2的两点.设NPB1为=a,NPB2B]=，，且

tan(a+Q)=-3(tana+tan4),则△PQ/7的周长的最大值为.

【答案】8

【解析】由条件tan(a+£)=-3(tana+tan区巴吗，

1-tan6ztanp

14

a+/?V兀,tana+tan/?w0,HP1-tanatanJ3=——,tanatanJ3=—,

设尸（4，九），由题意：耳（0,b）,B2（0,—百）,则tana=，耳；丫-,tan氏=百：），,

尤24Y2V2Y2V2

.•.tan«tan/?=-^_=-,即迎+九=1,即椭圆c的标准方程为二+匕=1

3-尤34343

a=2,b=®c=l；设左焦点为F,右焦点为工，如下图:

则△尸尸。的周长1=归尸|+|。目+|「。|=4"一|尸鸟|一抬闾+可0,

\PF2\+\QF2\>\PQ\,当P,Q，K三点共线时等号成立，4a=8,/的得最大值为8；

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.（2023广东厦门外国语学校5月适应性考试，21）在平面直角坐标系X。），中，已知点

川一行,0）,6（逐,0）,点M满足阿周一|用/4=4,记点M的轨迹为E.

（1）求足的方程；

（2）点A（2,0），点、B,C为E上的两个动点，且满足NBAC='•过A作直线AQ，6C交

£于点。.若/6QC=],求直线8。的斜率.

【解析】（1）因为点M满足|阿|一|帆|=4,所以点M的轨迹为双曲线的右支，故

a—2,c=Vs，所以〃=1,

2

所以曲线£的方程为?—V=]*>o）

（2）设5C与AQ的交点为。.

显然直线8c的斜率存在，设8C的方程为丫=丘+，”,

y=kx+m,

联立方程〈消去y得（4廿—1）/+?>kmx+Arrr+4=0,

x2-4y2=4,

8km

“"-百

设8（%，乂），0（孙％），所以＜

4m2+4

中2二/7

又％阳=上不，砥8=』7,因为心C•&8=-1，所以-2^.‘不=一1，

x2-2玉-2x2-2Xj-2

故（攵2+1）玉工2+（"成一2）（%+%2）+"「+4=0,

代入（公+1）瑞U：+（“左一2）（一挡'）+/+4=0,整理得2042+3加2+16加=0,

即（10%+3加）（2%+/〃）=0,解得〃2=-弓&或机=-2无（舍）.

所以直线8c的方程为了=左（%—岑），即直线BC恒过定点（¥，o]

因为A,8,Q,C四点共圆，且BC为直径，由3C_LAO,

所以点。为A。中点，且直线AD的方程为y=—2）,

2

一（T10k+6

X=3（F71）

联立彳'）,解得

y=-1（x-2）-4k

3俨+1）

、

10左2+6Tk14k2+6—8k

所以点。，故。

3,2+1)，3①+力I?伊+l)’3(f

代入曲线E的方程=4,

解得I—左2=o,即％=±1,所以直线3C的斜率为±1.

18.（2023山东青岛三模，20）已知动圆尸经过点A（一8,0）,并且与圆8：

（尤―百丁+卜2=16相切，记圆心尸的轨迹为曲线c

（1）求曲线C的方程；

（2）若动圆Q的圆心在曲线C上，定直线/：x=f与圆Q相切，切点记为M,探究：是否

存在常数机使得|。邳=根|。闸？若存在，求〃?及直线/的方程；若不存在，请说明理由.

由题意知，圆8圆心为8（、疗,0）,半径为4,设动圆P的半径为R,

因为（一6-百><16,所以点A（-J1,0）在圆B内，如图所示，

所以|Q4|=R,|P8|=4—R,所以|网+|冏=4>|AB|=2G，

所以圆心P的轨迹为以A、8为焦点，长轴长为4的桶圆.

所以2a=4,2c=2出，故a=2,。=6，则/?=后_.2=].

2

所以曲线C的方程为三+>2=].

4

（2）如图所示,

存在常数〃?使得IQ8|=m|QM|,理由如下：

2

设。(%,%),则%"+y；=l，x0e[-2,2J,M(t,y0),

2

所以IQB\=J(尤0-6)2+y；=J(x0-y/3)+(1-^-)=2>/3x0+4,

\QMh\x.-t\,

假设存在常数m使得\QB\=m\QM\,

2、2

则也—2G/+4=机2(/一。2对于任意的与£[_2,2>恒成立，

、4)

即：-=机2(%7)2对于任意的/e[-2,2]恒成立，

413,

41“2_345/3

所以"1=—,t----・

43

即：存在常数加=±且使得|Q3|=7〃|QM|,此时直线/方程为x=勺叵.

23

19.（2023湖南师大附中二模，21）如图，椭圆C：=+2-=1（。＞2）,圆。：/+y2=^2+4,

a4

椭圆c的左、右焦点分别为《，鸟.

（1）过椭圆上一点P和原点0作直线/交圆。于M,N两点，若忸周忖闾=6,求

I