【数学】浙江省湖州市2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版）

成就未来，新教育伴你成长联系电话：400-186-9786浙江省湖州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由得，解得，所以，又，所以.故选：A.2.角的终边过点，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三角函数的定义知，x＝－1，y＝2，r＝＝，∴sinα＝＝.故选：B.3.复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以可化为所以，所以.故选：C.4.在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】D【解析】若，，，则或异面，故A错误；若，，则或，故B错误；若，，，可能有，故C错误；若，，则，又，则，故D正确.故选：D.5.阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为，则该模型中圆柱的体积与球的体积之和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知，设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，因为圆柱表面积为，所以，解得，所以圆柱的体积为，球的体积为，则该模型中圆柱的体积与球的体积之和为.故选：C.6.已知向量，满足，且，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴，则在上的投影向量为.故选：A．7.“忽登最高塔，眼界穷大千．卞峰照城郭，震泽浮云天．”这是苏东坡笔下的湖城三绝之一“塔里塔”飞英塔．某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C处测得飞英塔顶端A的仰角，则飞英塔的高度约是（）（参考数据：，，）A.45米 B.50米 C.55米 D.60米【答案】C【解析】，由题设得，在△中，所以，则米．故选：C．8.三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，取中点为，连接，设外接圆的圆心为，连接，因为，，中点为，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，设为三棱锥外接球的球心，半径为，连接，则，平面，因为，，所以，，，，设，，过作交于点，连接，则，，又平面，，在中，有，又在中，有，所以，有，解得，所以，，所以，三棱锥外接球的表面积为.故选：B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.某中学为了解大数据提供的个性化作业的质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间，，…，，（）A.频率分布直方图中a的值为0.006B.估计该中学学生对个性化作业的评分不低于80的概率为0.04C.从评分在的受访学生中，随机抽取2人，此2人评分都在的概率为D.受访学生对个性化作业评分的第40百分位数为72.6【答案】AC【解析】由题意得，解得，故A正确；由频率分布直方图知，不低于80分频率之和为，因此估计该中学学生对个性化作业评分不低于80的概率为0.4，故B错误；受访学生评分在的有人，依次为、、，受访学生评分在的有人，依次为、，从这5名受访学生中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，依次为：、、、、、、、、、，因为所抽取2人的评分都在的结果有1种，，因此2人评分都在的概率为，故C正确；因为，故第40百分位数在内，设为，则，解得，故D错误.故选：AC.10.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次掷出的点数是5”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数之和是5”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（）A.事件A与C互斥 B.C.事件B与D对立 D.事件B与C相互独立【答案】ABD【解析】用实数对表示试验结果，共有36种结果，事件A：；事件B：，，；事件C：，因为A与C不可能同时发生，所以A与C互斥，故A正确；记“两次点数均为偶数”为事件E：，，，则，故，故B正确；因为B与D可能同时发生，如事件B：，事件D：，所以B与D不对立，故C错误；事件BC：，则，所以，所以B，C独立，故D正确．故选：ABD.11.设函数，则（）A.函数是偶函数B.函数是奇函数C.函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到D.函数在区间上单调递增【答案】BC【解析】因为，对于A项，因为，所以函数是奇函数，故A项错误；对于B项，由A可知，函数是奇函数，故B项正确；对于C项，函数的图象向左平移个单位得到，故C项正确；对于D项，由可得，，所以，函数的单调递增区间为，同理可得，函数单调递减区间为，由可得，，所以，由可得，，所以，当且单调递增时，函数单调递增，此时有，即，当且单调递减时，函数单调递增，此时有，即，综上所述，当时，函数单调递增，故D项错误.故选：BC.12.已知正四棱台的所有顶点都在球O的球面上，，，为内部（含边界）的动点，则（）A.直线与平面相交B.球O的体积为C.直线与平面所成角的最大值为D.的取值范围为【答案】BCD【解析】对于A，如图1，由棱台的结构特征易知与的延长线必交于一点，故四点共面，又面∥面，而面∩面＝，面∩面＝，故∥，即∥；由平面几何易得，，即=；所以四边形是平行四边形，故，而面，面，故∥平面，即直线与平面不相交，故A错误；对于B，如图2，设O1为的中点，O为正四棱台外接球的球心，则AO＝EO＝R，在等腰梯形中，易得，即，为方便计算，不妨设O1O＝a，由，若在正四棱台外，即面外侧，，则，所以，不合；若在正四棱台内，即，则，所以，综上，O与O2重合，故，故球O体积为，故B正确；对于C，由图2易得BD⊥O1O2，BD⊥AC，O1O2∩AC＝O2，O1O2、AC⊂面ACGE，故BD⊥面ACGE，BD⊂面BDG，故面ACGE⊥面BDG，在面ACGE内过A作AP⊥O2G交O2G于P，如图3，则AP⊂面ACGE，面ACGE∩面BDG＝O2G，故AP⊥面BDG，故∠AMP为AM与平面BDG所成角，在Rt△APM中，，故当AM取得最小值时，sin∠AMP取得最大值，即∠AMP取得最大值；显然，动点M与O2重合时，AM取得最小值，即∠AMP取得最大值，且∠AMP＝∠CO2G，在△O2GC中，，，，故△O2GC为正三角形，即∠CO2G＝60°，即AM与平面BDG所成角的最大值为，故C正确；对于D，由C知，BD⊥面ACGE，不妨设M落在图4的M处，过M作MN∥BD，交O2G于点N，则MN⊥面ACGE，NA在面ACGE中，故MN⊥NA，在Rt△AMN'中，NA＜MA（勾股边小于斜边）；同理EN＜EM，所以NA+NE＜MA+ME，故动点M只有落在O2G上，EM+MA才有可能取得最小值；再看图5，由E关于O2G对称点为C知，；当在边界时，取得最大值，当与点重合时，，，即，，此时；当点与点或点重合时，，所以的范围为，故D正确.故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设向量，为单位正交基底，若，，且，则______．【答案】2【解析】因为向量，为单位正交基底，，，，所以，即，所以，即.故答案为：2.14.已知采用分层抽样得到的高三男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172cm，方差为120，女生样本平均数165cm，方差为120，则总体样本方差是______.【答案】132.25【解析】设男生样本平均数为，方差为，女生样本平均数为，方差为，总体平均数为，总体方差为，则由已知可得，，，，所以，总体平均数，根据分层抽样总体的方差公式可知，总体样本方差.故答案为：.15.在锐角三角形ABC中，已知，则______，的最小值是______.【答案】3【解析】因为，由正弦定理得，从而，则，所以，即有，即，，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案：3.16.对任意的，不等式恒成立，求正实数t的取值范围是______.（其中是自然对数的底数）【答案】【解析】，则对任意的恒成立，令，，当时，，单调递增，而，所以，即对任意恒成立，所以，又，解得或，故正实数t的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级:调查评分心理等级有隐患一般良好优秀并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.（1）求的值及频率分布直方图中的值；（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是:以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)解：（1）由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，所以，解得.（2）由（1）知，所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，若按分层抽样抽取人，则调查评分在有人，有人，因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，所以选出的人经过心理疏导后，心理等级均达不到良好的概率为，所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为.（3）由频率分布直方图可得，，估计市民心理健康问卷调查的平均评分为，所以市民心理健康指数平均值为，所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.18.如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点不同于点），且为的中点．求证：（1）平面平面；（2）直线平面．解：（1）∵是直三棱柱，∴平面，又∵平面，∴，又∵平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面．（2）∵，为的中点，∴，又∵平面，且平面，∴，又∵平面，，∴平面，由（1）知，平面，∴∥，又∵平面平面，∴直线平面.19.在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知．（1）求角B的值；（2）若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC的面积S的取值范围．解：（1）∵，∴由正弦定理得，即，即，即，由余弦定理得，∵，∴.（2）∵B=60°，∴，即A=120°-C，又∵，∴由正弦定理得，∴，∵△ABC为锐角三角形，∴，解得，从而，∴．20.已知函数的图象过点，且对，恒成立.（1）求函数的解析式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的最小值.（其中是自然对数的底数）解：（1）由题意知的对称轴为，得，又得，∴.（2）令，原不等式等价于，即在上恒成立，下面分三种情况讨论：①当时，不等式等价于，而，当且仅当取等号，故；②当时，；③当时，不等式等价于，而，当且仅当取等号，故；综上所述，所以的最小值为.21.已知面积为的菱形ABCD如图①所示，其中，E是线段AD的中点．现将沿AC折起，使得点D到达点S的位置.（1）若二面角的平面角大小为，求三棱锥的体积；（2）若二面角的平面角，点F在三棱锥的表面运动，且始终保持，求点F的轨迹长度的取值范围.解：（1）因为菱形ABCD的面积为，得，，，又因为二面角的平面角为，且大小为，所以，故点S到平面ABC的距离为，由于的面积为，则三棱锥的体积为.