2023-2024学年黑龙江省双鸭山一中高一（下）月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年黑龙江省双鸭山一中高一（下）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数11−3i的虚部是(

)A.−310 B.−110 C.2.AB−A.2BC B.2CB C.2AD3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为ab8sinC，则C=(

)A.π6 B.π3 C.π6或5π6 4.已知复数a−i1+2i是纯虚数，则实数a=(

)A.−1 B.35 C.2 D.5.设复数z满足(1+i)z=2i，则z的共轭复数z=(

)A.−1−i B.−1−i C.1+i D.1−i6.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S=12(ab)2−(a2+A.6 B.23 C.7.在△ABC中，D为BC上一点，E为线段AD的中点，若2BD=DC，且BE=xABA.−23 B.−12 C.8.设O为△ABC所在平面内一点，满足2OA−7OB−3OC=0，则A.2.5 B.3 C.3.5 D.4二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=2−3i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是(

)A.z的模等于13 B.z在复平面内对应的点位于第四象限

C.z的共轭复数为−2−3i D.若z(m+4i)是纯虚数，则m=−610.已知圆O半径为2，弦AB=2，点C为圆O上任意一点，则下列说法正确的是(

)A.AB⋅BO=2

B.AB⋅AC的最大值为6

C.|OC

11.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的有(

)A.若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC一定是等边三角形

B.若acosA=bcosB，则△ABC一定是等腰三角形

C.若bcosC+ccosB=b，则△ABC一定是等腰三角形12.引入平面向量之间的一种新运算“⊗”如下：对任意的向量m=(x1,y1)，n=(x2,yA.a⊗b=b⊗a B.(λ三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知2i1−i=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)，则|a−bi|=______．14.已知三点A，B，C，则“存在实数λ，使得AB=λAC”是“A，B，C三点共线”的______条件.(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”15.已知△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a+b)2−c2=6且C=60°，则△ABC16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosB=c−a.当2c+6ab取最小值时，则A=______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知a=(3,1),b=(−32,k)，求k为何值时：

(1)a⊥18.(本小题12分)

一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(23−2)nmile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4nmile到达海岛C．

(1)求AC的长；

(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求19.(本小题12分)

已知a=(−1,0)，b=(2,1)．

(1)若AB=2a−b，BC=a+mb且A、B、C三点共线，求m的值．20.(本小题12分)

已知a，b，c，分别为△ABC内角A，B，C，的对边，若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①cosB=−63；②cos2A+2cos2A2=1；③a=6；④b=22．

(Ⅰ)满足有解三角形的序号组合有哪些？

21.(本小题12分)

如图，已知点G是边长为1的正三角形ABC的中心，线段DE经过点G，并绕点G转动，分别交边AB，AC于点D，E，设AD=mAB,AE=nAC，其中0<m≤1，0<n≤1．

(1)求1m+1n的值；

22.(本小题12分)

锐角△ABC的三个内角是A、B、C，满足(sin2B+sin2C−sin2A)=3sinBsinC．

(1)求角A的大小及角B的取值范围；

参考答案1.D

2.B

3.C

4.C

5.D

6.C

7.B

8.D

9.BD

10.BCD

11.ACD

12.ABD

13.214.充要

15.316.π417.解：(1)由a⊥b可得−92+k=0，所以k=92．

(2)因为a与b的夹角为钝角，所以a⋅b<0且a,b不共线，即−18.解：(1)由题意，在△ABC中，∠ABC=180°−75°+15°=120°，AB=23−2，BC=4，

根据余弦定理得

AC2=AB2+BC2−2AB×BC×cos∠ABC

=(23−2)19.(1)a=(−1,0)，b=(2,1)，AB=2a−b，BC=a+mb，

则AB=(−4,−1)，BC=(2m−1,m)，且A、B、C三点共线，

则可得AB//BC，

即−4m−(2m−1)(−1)=0，解得m=−12；

(2)a=(−1,0)，b=(2,1)，AB=2a20.解：(I)由①cosB=−63可得，2π3<B<π，

由②cos2A+2cos2A2=1可得2cos2A+cosA−1=0，

解可得，cosA=−1(舍)或cosA=12，

由A为三角形的内角可得A=13π，

①②不能同时成立，

所以满足有解三角形的序号组合有①③④或②③④，

(Ⅱ)选择①③④，由余弦定理可得，b2=a2+c2−ac，

所以8=6+c21.解：(1)延长AG交BC与F，由G是正三角形ABC的中心，得F为BC的中点，

则AG=23AF，由AF=12AB+12AC，AD=mAB,AE=nAC，

得AG=13mAD+13nAE，又D，G，E三点共线，

所以13m+13n=1，即1m+1n=3；

(2)△ABC是边长为1的正三角形，则|AD|=m，|AE|=n，

S△ADE=12⋅m⋅n⋅32=322.解：(1)设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，

因为(sin2B+sin2C−sin2A)=3sinBsinC，

由正弦