江苏省扬州市高邮市2023-2024学年高一下学期5月学情调研测试 数学试题【含答案】

2023-2024学年第二学期高一年级5月学情调研测试数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数对应的点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，，若，则实数（

）A． B． C． D．63．已知中内角的对边分别为，若，，则（

）A． B． C． D．4．下列说法正确的是（

）A．若空间两直线没有公共点，则这两条直线异面；B．与两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线；C．空间三点确定一个平面；D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．5．已知三个单位向量，，满足，则与的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．6．在四棱锥中，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（

）A．3 B．4 C． D．7．在中，，的角平分线AD交BC边于点D，的面积是的面积的2倍，则（）A． B． C． D．8．已知点P是△ABC所在平面内点，有下列四个等式：甲：；

乙：；丙：；

丁：．如果只有一个等式不成立，则该等式为（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知、都是复数，下列选项正确的是（

）A．若，则； B．若，则；C．若，则； D．若，则．10．如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则（

）A．B．直线，，交于同一点C．直线与直线所成角的正切值为D．平面截正方体所得的截面周长为11．如图所示，、、、、、、、都是等腰直角三角形，且按照顺序，每一个三角形的斜边都是它后一个等腰三角形的一条腰，点P、Q、M、N分别是线段、、、上的动点（包含端点），且，，，，，则（）A．B．C．在方向上的投影向量为D．的最大值为8三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的横线上．12．已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为．13．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值（记为m）也可以表示为．若，则．14．钝角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数）(1)若z为纯虚数，求m的值；(2)若，求m的值．16．已知，，与的夹角为.(1)求；(2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.17．如图所示，已知平面，平面，为等边三角形，，F为CD的中点．求证：(1)平面；(2)．18．已知函数．(1)求的最小正周期及单调递增区间；(2)当时，求的最大值和最小值，以及相应x的值；(3)若，，求的值．19．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．

(1)若，求的值；(2)过点B作BC的垂线l，D为l上一点．①若，，求线段AD的长；②若且D点在外部，求线段AD长的取值范围．1．D【分析】利用复数的乘法化简复数，即可判断出复数在复平面内对应的点所在的象限.【详解】复数，复平面内，对应的点为，在第四象限.故选：D.2．A【分析】由向量垂直的坐标表示即可求得答案.【详解】因为向量，，且，所以，解得，故选：A.3．C【分析】根据正弦定理计算可得.【详解】由正弦定理可得,再由和比定理得.故选：C.4．B【分析】根据空间中直线与直线位置关系可判断A；根据异面直线的概念可判断B；根据平面的基本性质可判断C；根据空间异面直线所成角可判断D.【详解】对A，若空间两直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故A错误；对B，与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，则两直线为异面直线，若交于三个点，则两直线为相交直线，故B正确；对C，由平面的基本性质可知，空间不共线的三点可以确定一个平面，故C错误；对D，过直线外一点，有无数条直线与已知直线垂直，故D错误；故选：B.5．A【分析】两边平方，根据，，为单位向量，得到方程，求出与的夹角的余弦值.【详解】两边平方得，因为，，为单位向量，所以，解得.故选：A6．D【分析】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可.【详解】如图，连接交于点，连接因为平面平面，平面平面所以，所以，因为为的三等分点，则即.故选：D.7．C【分析】根据角平分线的性质，结合等面积法可得，即可由正弦定理求解，由三角恒等变换即可求解.【详解】，的角平分线AD交BC边于点D，故，

故，由正弦定理可得，故，故，故，故，故选：C.8．B【分析】先根据向量等式推导出甲中P为△ABC的重心，乙中△ABC为直角三角形，丙中P为△ABC的外心，丁中P为△ABC的垂心，故得到当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.【详解】甲：，则，故P为△ABC的重心；乙：，则，故，即△ABC为直角三角形；丙：点P到三角形三个顶点距离相等，故P为△ABC的外心；丁：，则，同理可得：，即P为△ABC的垂心，当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个均不一定成立.故选：B．9．BD【分析】AC选项，举出反例；B选项，，设，，计算出，得到，计算出，B正确；D选项，设，，根据，得到，或，故.【详解】A选项，设，，满足，但，A错误；B选项，若，设，，故，则，又，故，B正确；C选项，设，，满足，不满足，C错误；D选项，设，，则，，因为，所以，解得，或，故，D正确.故选：BD10．AC【分析】建立空间直角坐标系，得出各点坐标，由直线的方向向量知识逐一分析ABC,找到截面判断D即可.【详解】由题意，如图所示建立空间直角坐标系，正方体的棱长为，，则，，即，故正确；由题意，如图，与共面且相交，设，则，，可得与不平行，即不共线，故直线，，不交于同一点，故错误；，则，，则，故正确；如图，延长，与所在直线分别交于，连接分别交于，则五边形即为所得截面，分别为的中点，得，，又，，故为三等分点，，，故平面截正方体所得的截面周长为，故错误.故选：AC.11．ABD【分析】根据共线即可由长度关系求解A，根据数量积的几何意义即可求解B，根据投影向量的定义即可结合几何关系求解C，根据数量积的运算律，结合锐角三角函数以及三角恒等变换，即可求解D.【详解】对于A，由于，故，A正确，对于B，，故，B正确，对于C，在方向上的投影向量为，故C错误，对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：ABD.12．【分析】运用斜二测画法，逆向画出原图.求出四边形面积即可．【详解】如图，运用斜二测画法，逆向画出原图.在轴位置不变，，长度不变；点在轴上，求得，则，是原来的两倍；，长度不变，．则四边形为平行四边形，面积为：．故答案为：．13．【分析】先得到，故利用辅助角公式化简得到.【详解】，，故，故.故答案为：14．【分析】由得，根据为钝角三角形得，即为钝角，再将目标式子化为，根据的取值范围求值域即可.【详解】因为，所以由正弦定理得，又因为，即，所以，又因为为钝角三角形，所以，即为钝角，所以由，解得，且，所以根据二次函数单调性求得.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查求解三角形的恒等变换，解题关键是确定钝角为以及的取值范围，再通过三角恒等变换化解即可.15．(1)(2)【分析】（1）根据纯虚数的定义即可列关系式求解，（2）根据为实数即可求解.【详解】（1）若z为纯虚数，则且所以（2）若，则且所以16．(1)(2)【分析】（1）根据模长公式即可求解.（2）根据数量积为负数，求解或，利用不共线可得，即可求解钝角时的范围.【详解】（1）因为，所以，则，故.（2）令，则，所以，即，解得或，当与共线时，则，则时，与不共线，则，又向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为.17．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）应用线面垂直的判定定理证明线线垂直.【详解】（1）取CE的中点G，连接FG，BG，因为F为CD的中点，所以，，因为平面，平面，所以，所以，又因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面（2）因为平面，平面，所以，因为为等边三角形，F为CD的中点，所以，因为，且，平面，所以平面，因为平面，所以18．(1)，．(2)，，，．(3)【分析】（1）将函数运用诱导公式，二倍角公式，辅助角公式进行化简，化成正弦型函数来解即可；（2），所以在上单调递增，在上单调递减，运用单调性解题即可；（3）由，得出，运用同角三角函数关系求出，再运用和角公式求出即可．【详解】（1）因为，所以的最小正周期，由，，得，，所以的单调递增区间为．（2）因为，所以在上单调递增，在上单调递减，又，，，所以当时，，当时，．（3）因为，所以，又，则