陕西省宝鸡市扶风县法门高中2023-2024学年高一下学期第二次月考 数学试卷【含答案】

高一数学第二次月考一、单项选择题.本题共8道小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合！意的.（每小题5分，共40分）1．下列命题中正确的是（

）A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量C．若向量，同向，且，则 D．单位向量的模都相等2．复数的共轭复数的模是（

）A． B． C． D．3．已知向量，满足，则（

）A． B．C． D．4．已知圆锥的母线长为，为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．5．已知中，内角所对的边分别为，若，则（

）A． B．或C． D．或6．在正方体中，E是的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是（

）A．0 B． C． D．7．如图，风景秀美的宝湖公园有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了两点，从两点测得树尖的仰角分别为30和，且两点间的距离为，则这颗银杏树的高度为（

）．A． B．C． D．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个符合题意的选项，每选对一个得3分；若只有3个符合题意的选项，每选对一个得2分.8．下列说法错误的是（

）A．设则是纯虚数的充要条件是B．复数与在复平面中对应的点分别在轴上方和下方C．设复数与满足，则D．若复数与满足，则9．如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于、的任一点，则下列结论中正确的是（

）

A． B．C．平面 D．平面平面10．已知，则（

）A．若，则B．若，则C．的最小值为D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为11．如图，的内角，所对的边分别为，，.若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（

）

A．是等边三角形B．若，则四点共圆C．四边形面积最大值为D．四边形面积最小值为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.12．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于.13．已知是两个不共线的向量，，若与共线，则．14．如图所示，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是.15．已知圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，则圆台的体积为.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知复数（其中是虚数单位，）．(1)若复数是纯虚数，求的值；(2)求的取值范围．17．已知夹角为，且，求：(1)；(2)；(3)与的夹角.18．如图，在梯形中，，，，，过点作，以为轴旋转一周得到一个旋转体．(1)求此旋转体的体积．(2)求此旋转体的表面积．19．已知向量，.(1)当k为何值时，与垂直？(2)若，，且三点共线，求的值.20．在中，已知，，，(1)求角(2)若角为锐角，求边；(3)求．21．如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点.(1)求证：B，C，H，G四点共面；(2)求证：平面；(3)若底面边长为2，，求三棱锥的体积.1．D【分析】根据零向量，单位向量，相等向量的定义判断即可.【详解】对于A：模为的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误；对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误；对于C：向量不可以比较大小，故C错误；对于D：单位向量的模为，都相等，故D正确.故选：D2．B【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念与求模公式计算即可.【详解】由，所以.故选：B3．C【分析】利用向量数量积的运算律结合条件即可求得的值.【详解】因为，所以即故选：C.4．C【分析】根据圆锥的侧面积等于，可求得圆锥的底面圆半径，再由体积公式求解即可.【详解】设圆锥的底面圆半径为，由母线长为2，侧面积等于，得，解得，因此圆锥的高，所以该圆锥的体积为．故选：C．5．D【分析】利用正弦定理求出，从而求出.【详解】由正弦定理，得，解得，又，所以或.故选：D6．D【分析】根据题意分析可得异面直线DE与AC所成角为（或的补角），在中利用余弦定理运算求解.【详解】取的中点，连接，因为//，且，则为平行四边形，可得//，又因为分别为的中点，则//，所以//，故异面直线DE与AC所成角为（或的补角），设正方体的棱长为2，则，在中，由余弦定理，所以异面直线DE与AC所成角的余弦值是.故选：D.7．B【分析】在中，利用余弦定理求出，再利用直角三角形的边角关系求解即得.【详解】在中，，，由正弦定理得，则，在中，，因此，所以这颗银杏树的高度为.故选：B.8．ABD【分析】A：由一个复数是纯虚数的充要条件是实部为0且虚部不为0判断；B：由实数与其共轭复数对应的点都在实轴上判断；C：由得到与都是实数判断；D：分实数和虚数.【详解】对A，一个复数是纯虚数的充要条件是实部为0且虚部不为0，故A选项错误；对B，实数与其共轭复数对应的点都在实轴上，故B选项错误；对C，说明与都是实数，所以C正确；对D，举例如但不成立，故D错误.故选：ABD9．BD【分析】利用线面垂直的性质可判断B选项；利用面面垂直的判定定理可判断D选项；利用反证法可判断AC选项.【详解】因为平面，平面，所以，，因为点是以为直径的圆上且异于、的任一点，，则，因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，平面平面，B对D对；因为平面，平面，则，则为锐角，即与不垂直，故与平面不垂直，C错；若，又因为，，、平面，所以，平面，与C选项矛盾，A错.故选：BD.10．ABC【分析】根据向量平行的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合二次函数的性质即可判断C；由向量与向量的夹角为钝角，可得且不共线，进而可判断D.【详解】对于A，若，则，解得，故A正确；对于B，若，则，解得，故B正确；对于C，，则，当时，，故C正确；对于D，因为向量与向量的夹角为钝角，所以且不共线，由，得，由得，所以的取值范围为，故D错误.故选：ABC.11．AC【分析】根据正弦定理及三角恒等变换化简条件式可判定A，由余弦定理可判定B，设，由正弦定理结合三角函数的性质可判定C、D.【详解】由正弦定理，得，，，B是等腰的底角，，是等边三角形，A正确；对于B，若四点共圆，则四边形对角互补，由A正确知，但由于时，，∴B不正确.对于C、D，设，则，，，，，，，，∴C正确，D不正确；故选：AC.12．第四象限【分析】利用复数的除法运算化简得到，然后求其共轭复数，再判断其所在象限即可.【详解】因为，所以，所以在复平面对应的点为，该点在第四象限.故答案为：第四象限.13．##【分析】根据给出的条件，利用共线向量定理求出，即可求解.【详解】由已知，是两个不共线的向量，则，又因为与共线，则，即，即，即，解得.故答案为：.14．【分析】根据斜二测画法规则求出，判断四边形的形状，确定，由此求出面积.【详解】在正方形中可得，由斜二测画法可知，且，所以四边形为平行四边形，所以原四边形的面积是，故答案为：.15．【分析】根据题意，列出方程求得上，下底面半径以及高，再由圆台的体积公式，即可得到结果.【详解】

设上底面半径为，则下底面半径为，高为，因为母线长为10，所以，解得，所以下底面半径为，高，则体积.故答案为：16．(1)(2)【分析】（1）先对复数进行化简，然后结合是纯虚数可求的值；（2）结合复数的模长公式，表示出，利用二次函数的知识求解.【详解】（1）若复数是纯虚数，则，所以.（2）由（1）得，，因为是开口向上的抛物线，有最小值,所以.17．(1)(2)12(3)【分析】（1）根据向量数量积的运算律和，可求（2）根据平面向量数量积的运算法则求值.（3）欲求向量的夹角，应先求两向量的数量积，再求两向量的模，根据求夹角的余弦，再求夹角.【详解】（1），所以.（2）.（3）所以，所以.18．(1)(2)【分析】（1）旋转后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，由此能求出旋转体的体积；（2）先求出圆柱的侧面积、底面积，再求出圆锥的侧面积、底面积和旋转体上底面的面积，由此能求出结果.【详解】（1）旋转后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，，所以小圆锥的半径，圆柱的体积圆锥的体积旋转体的体积；（2）圆柱的侧面积圆锥的侧面积圆柱的底面积，圆锥的底面积旋转体上底面的面积旋转体的表面积.19．(1)(2)【分析】（1）利用平面向量垂直的坐标表示求解即可.（2）利用平面向量共线的坐标表示求解即可.【详解】（1）易知，，若与垂直，则，即，解得，故当时，与垂直.（2）若三点共线，则与共线，由题意得，，可得，解得，故的值为.20．(1)或(2)(3)或【分析】（1）由正弦定理得，求出或，检验后得到答案；（2）求出，利用正弦和角公式求出，由正弦定理得到；（3）利用三角形面积公式得到答案.【详解】（1）由正弦定理得，即，故，其中，解得或，经检验，均满足要求；（2）角为锐角，则，故，其中，由正弦定理得，即，解得；（3）当时，由（