福建省2024年中考真题数学试卷（含答案）

福建省2024年中考真题数学试卷阅卷人一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。得分1．下列实数中，无理数是（）A．−3 B．0 C．23 D．2．据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球PCT（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（）A．6961×10 B．696.1×102 C．3．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（） A． B． C． D．4．在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为（） A．30° B．45° C．60° D．75°5．下列运算正确的是（）A．a3⋅a3=a9 B．6．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（）A．14 B．13 C．127．如图，已知点A,B在⊙O上，∠AOB=72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为AB的中点，则 A．18° B．30° C．36° D．72°8．今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元，则符合题意的方程是（）A．(1+4.7%)x=120327 C．x1+4.7%9．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E,F分别是底边AB,A．OB⊥OD B．∠BOC=∠AOB C．OE=OF D．∠BOC+∠AOD=180°10．已知二次函数y=x2−2ax+a(a≠0)A．可以找到一个实数a，使得y1>a B．无论实数aC．可以找到一个实数a，使得y2<0 D．无论实数a阅卷人二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。得分11．因式分解：x2+x=12．不等式3x−2<1的解集是．13．学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是．（单位：分） 第13题图 第14题图 第15题图14．如图，正方形ABCD的面积为4，点E,F,G,H分别为边15．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx的图象与⊙O交于A,B两点，且点A,B都在第一象限．若16．无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2仪可以分解为两个力f1与f2,f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2阅卷人三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。得分17．计算：(−118．如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在边BC和CD上，且∠AEB=∠AFD．求证：19．解方程：3x+220．已知A、B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分：乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分．（1）求A地考生的数学平均分；（2）若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明：若不能，请举例说明．21．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，与y（1）求二次函数的表达式；（2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点22．如图，已知直线l1（1）在l1,l2所在的平面内求作直线l，使得l∥l1∥l2（2）在（1）的条件下，若l1与l2间的距离为2，点A,B,C分别在23．已知实数a,b,（1）求证：b2（2）若a,b,24．在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE=FB），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．（1）直接写出ADAB（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（） A． B． C． D．（3）今有三种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如下表所示卡纸型号型号Ⅰ型号Ⅱ型号Ⅲ规格（单位：cm）30×4020×8080×80单价（单位：元）3520现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）25．如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E,BE的延长线交（1）求OEAE（2）求证：△AEB∽△BEC；（3）求证：AD与EF互相平分．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：-3，0是整数，23是分数，它们都是整数，不是无理数；

5故答案为：D.【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.2．【答案】C【解析】【解答】解：69610=6.961×104，故答案为：C.【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.3．【答案】C【解析】【解答】解：这个立体图形的俯视图是一个圆，圆内部中间有一个矩形.故答案为：C.【分析】根据从上边向下看得到的正投影就是俯视图，即可求解.4．【答案】A【解析】【解答】解：如图：

∵AB∥CD，

∴∠CDB=∠ABF=60°，

∵CD⊥DE，

∴∠CDE=90°，

∴∠1=180°-60°-90°=30°．故答案为：A.【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠CDB=∠ABF=60°，结合平角及垂直定义即可求解.5．【答案】B【解析】【解答】解：A、a3•a3=a6，故此选项计算错误，不符合题意；

B、a4÷a2=a2，故此选项计算正确，符合题意；

C、（a3）2=a6，故此选项计算错误，不符合题意；

D、2a2-a2=a2，故此选项计算错误，不符合题意.故答案为：B.【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可判断A选项；由同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可判断B选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；由合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，可判断D选项.6．【答案】B【解析】【解答】解：列表如下：2352（2，3）（，2，5）3（3，2）（3，5）5（5，2）（5，3）共有6种等可能的结果，其中和是偶数的结果有：（3，5），（5，3），共2种，

∴和是偶数的概率为26=1【分析】先列表得出所有等可能的结果数以及和是偶数的结果数，再利用概率公式即可求解.7．【答案】A【解析】【解答】解：∵C为AB的中点，∠AOB=72°，

∴∠AOC=∠BOC=36°，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠OAC=72°，

∵直线MN与⊙O相切，切点为C，

∴∠OCM=90°，

∴∠ACM=∠OCM-∠ACO=90°-72°=18°，故答案为：A.【分析】根据等弧所对的圆心角也相等可得∠AOC=∠BOC=36°，根据等边对等角和三角形内角和是180°可得∠ACO=∠OAC=72°，由切线的性质得∠OCM=90°，最后根据∠ACM=∠OCM-∠ACO即可求解.8．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意得：（1+4.7%）x=120327.故答案为：A.【分析】根据今年第一季度社会消费品零售总额=去年第一季度社会消费品零售总额×（1+4.7%），即可列出关于x的一元一次方程.9．【答案】B【解析】【解答】解：∵△OAB与△ODC关于直线l对称，

∴∠AOB=∠COD，

∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，

∴∠AOE=∠BOE=12∠AOB，∠COF=∠DOF=12∠COD，

∴∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF，

∵OE⊥OF，

∴∠BOE+∠BOF=90°，

∵∠BOE=∠DOF，

∴∠DOF+∠BOF=90°，即∠BOD=90°，

∴OB⊥OD，故A选项正确，不符合题意；

∵∠AOB与∠BOC的度数不能确定，

∴无法证明∠BOC与∠AOB的关系，故B选项错误，符合题意；

∵△OAB与△ODC关于直线l对称，

∴△OAB≌△ODC，

又∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，

∴OE=OF，故C选项正确，不符合题意；

∵OB⊥OD，

∴∠BOC+∠COD=90°①，

∵OE⊥OF，

∴∠COF+∠EOC=90°，

∵∠COF=∠AOE，

∴∠AOE+∠EOC=90°，

∴OC⊥OA，

∴∠AOB+∠BOC=90°②，

故答案为：B.【分析】根据轴对称的性质得出∠AOB=∠COD，根据等腰三角形底边上的中线和顶角的角平分线重合可推得∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF，再结合OE⊥OF即可判断A选项，根据轴对称的性质得出△OAB≌△ODC，根据全等三角形对应边上的中线相等可得OE=OF，即可判断C选项，结合A选项中结论即可得出∠BOC+∠COD=90°，∠AOB+∠BOC=90°，即可判断D选项.10．【答案】C【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为y=x2-2ax+a（a≠0），

∴二次函数开口向上，对称轴为x=--2a2=a，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），当a＞0时，0<a2<a，则a-a2＜y1＜a，

当a＜0时，a<a2<0，则a-a2＜y1＜a，A和B选项说法错误；

故答案为：C.【分析】根据二次函数的解析式可得二次函数开口向上，对称轴为x=a，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），结合二次函数的性质逐项分析即可求解.11．【答案】x（x+1）【解析】【解答】解：x2+x=x（x+1）．【分析】根据观察可知原式公因式为x，直接提取可得．12．【答案】x<1​​​​​​​【解析】【解答】解：3x-2＜1，

3x＜1+2，

3x＜3，

x＜1，

∴不等式3x-2＜1的解集是：x＜1，故答案为：x＜1.【分析】根据解一元一次不等式的一般步骤进行计算即可求解.13．【答案】90【解析】【解答】解：这12名学生测试成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是90，因此中位数是90+902故答案为：90.【分析】中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此并结合条形统计图提供的信息求解即可.14．【答案】2【解析】【解答】解：连接HF、EG，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC∥AD，BC=AD，

∵H、F分别为边BC、DA的中点，

∴AH=BF，AH∥BF，

∴四边形BFHA是平行四边形，

∴AB=HF，AB∥HF，

同理可得：BC=EG，BC∥EG，

∵AB⊥BC，

∴HF⊥EG，

∴四边形EFGH的面积是12EG×HF=12×2×2=2；15．【答案】(2【解析】【解答】解：根据圆和反比例函数都是轴对称图形，得点A与B关于直线y=x对称，

设直线AB的解析式为y=-x+b，

将点A（1，2）坐标代入得：2=-1+b，

解得：b=3，

∴直线AB解析式为：y=-x+3，

∵点A（1，2）在反比例函数图象上，

∴反比例函数解析式为y=2x，

联立方程组得：y=2xy=-x+3，

解得：x=1y=2故答案为：（2，1）.【分析】先根据反比例函数及圆的轴对称性得出点A与B关于直线y=x对称，根据互相垂直的直线比例系数乘积为“-1”根据待定系数法求出直线AB的解析式，再根据待定系数法求反比例函数的解析式，联立方程组，解方程组求出点B的坐标.16．【答案】128【解析】【解答】解：如图，

∵∠PDA=70°，∠PDQ=30°，

∴∠ADQ=∠PDA-∠PDQ=70°-30°=40°，∠1=∠PDQ=30°，

∵AB∥QD，

∴∠BAD=∠ADQ=40°，

在Rt△ABD中，F=AD=400，∠ABD=90°，

∴F2=BD=AD•sin∠BAD=400•sin40°=400×0.64=256，

由题意可知，BD⊥DQ，

∴∠BDC+∠1=90°，

∴∠BDC=90°-∠1=60°，

在Rt△BCD中，BD=256，∠BCD=90°，

∴f2=CD=BD·故答案为：128.【分析】先求出∠ADQ=40°，∠1=30°，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD=∠ADQ=40°，根据锐角三角函数求出F2=256，求出∠BDC=90°-∠1=60°，根据锐角三角函数即可求解.17．【答案】解：原式=1+5−2=4．【解析】【分析】根据零指数幂：a0=1（a≠0）、负数的绝对值是其相反数、如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，先进行计算，再根据有理数的加减混合运算进行计算即可.18．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，

在△ABE和△ADF中，

∠B=∠D∴△ABE≌△ADF（AAS），

∴BE=DF【解析】【分析】根据菱形的四条边都相等，对角相等可得AB=AD，∠B=∠D，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等可得△ABE≌△ADF，由全等三角形的对应边相等即可证明.19．【答案】解：原方程两边都乘（x+2）（x-2），

去分母得：3（x-2）+（x+2）（x-2）=x（x+2），

整理得：3x-10=2x，

解得：x=10，

检验：当x=10时，（x+2）（x-2）≠0，

故原方程的解为x=10.【解析】【分析】方程两边同时乘以(x+2)(x-2)约去分母将原方程化为整式方程，再解整式方程求出x的值，最后检验即可.20．【答案】（1）解：由题意，得A地考生的数学平均分为15000（2）解：不能，举例如下：如B地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人，则B地考生的数学平均分为14000因为85<86，所以不能判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高．【解析】【分析】（1）根据若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则（x1w1+x2w2+…+xnwn）÷（w1+w2+…+wn）叫做这n个数的加权平均数列式计算即可求解；

（2）根据加权平均数的意义举例解答即可.21．【答案】（1）解：（1）将A（-2，0），C（0，-2）代入y=x2+bx+c，

得4−2b+c=0c=−2解得b=1c=−2所以，二次函数的表达式为y=x2+x-2.（2）解：设P（m，n），因为点P在第二象限，所以m＜0，n＞0，依题意，得S△PDBS△CDB=2，

即12由已知，得CO=2，所以n=2CO=4，由m2解得：m1=-3，m2=2（舍去），所以点P坐标为(−3,【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可；

（2）设P（m，n），根据同底边三角形的面积比就是对应底边上高的比求得n=4，代入二次函数解析式求得点P的横坐标，即可求解.22．【答案】（1）解：所以直线l就是所求作的直线．（2）解：①当∠BAC=90°，AB=AC时，

∵l∥l1∥l2，直线l1与l2间的距离为2，且l与l1间的距离等于l与l∴AB=AC=2∴S②当∠ABC=90°,分别过点A,C作直线l1的垂线，垂足为M∴∠AMB=∠BNC=90°．∵l∥l1∥l2，直线l1与l2间的距离为2，且l与l1间的距离等于l∴CN=2,∵∠MAB+∠ABM=90°，∠NBC+∠ABM=90°，∴∠MAB=∠NBC，∴△AMB≌△BNC，∴BM=CN=2．在Rt△ABM中，由勾股定理得AB∴AB=5∴S③当∠ACB=90°,CA=CB时，同理可得，S△ABC综上所述，△ABC的面积为1或52【解析】【分析】（1）利用尺规作图方法，过直线l1上任意一点作l1的垂线，再根据垂直平分线的作法即可作出直线l；

（2）分①当∠BAC=90°，AB=AC时，②当∠ABC=90°，BA=BC时，③当∠ACB=90°，CA=CB时，三种情况画出图形，结合等腰直角三角形性质及三角形的面积公式计算即可.23．【答案】（1）证明：因为3m+n=b所以b=a（3m+n），c=amn，则b===a因为a，m，n是实数，

所以a2所以b2（2）解：m,理由如下：若m,n都为整数，其可能情况有：①m,n①当m,n都为奇数时，则又3m+n=ba，所以因为a为奇数，所以a(3m+n)必为偶数，这与b为奇数矛盾．②当m,n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则又因为mn=ca，所以因为a为奇数，所以amn必为偶数，这与c为奇数矛盾．综上所述，m,【解析】【分析】（1）根据题意，可得b=a（3m+n），c=amn，将其代入原式进行因式分解，可得原式=a2（3m-n）2，结合a，m，n是实数，即可证明；

（2）根据若m，n都为整数的情况：①m，n都为奇数、②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数、分别进行分析即可求解.24．【答案】（1）解：2.（2）C（3）解：需要卡纸如表所示；理由如下：卡纸型号型号Ⅰ型号Ⅱ型号Ⅲ需卡纸的数量（单位：张）132所用卡纸总费用（单位：元）58根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为5cm，则要制作一个边长为10cm的正方体的展开图形为：

型号Ⅰ卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：

型号Ⅱ卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：

∴型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：∴可选择型号Ⅲ卡纸2张，型号Ⅱ卡纸3张，型号Ⅰ卡纸1张，则10×2+2×3+1×1=27（个），

∴所用卡纸总费用为：20×2+5×3+3×1=58（元）.【解析】【解答】解：如图：

上述图形折叠后变成如图：

由折叠和题意可知，GH=AE+FB，AH=DH，

∵四边形EFNM是正方形，

∴EM=EF，即AG=EF，

∴GH+AG=AE+FB+EF，即AH=AB，

∵AH=DH，

∴ADAB=AH+DHAB=2，

∴ADAB的值为2；

（2）根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意