2023年上海初三二模数学圆压轴题分类

1.(2023静安，青浦24)已知。。的半径为3,(DP与。。相切于点4经过点4的直线与

◎0、OP分别交于点B、C,cos/B力。,设OP的半径为x,线段OC的长为y.

⑴求4B的长；

(2)如图,当。P与。。外切时,求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域；

(3)当/0C4=/OPC时，求。P的半径.

〈解答〉

解：⑴在。中，作0。■L4B,垂足为D,

在/?必。4。中,cos^BAO==

AD=^AO=I,/.BD=AD=1,:.AB=2AD=2.

⑵连接OB、PA、PC,

；P与。相切于点4二点P、4、。在始终线上.

PC=PA,OA=OB,：.ZPCA=ZPAC=ZOAB=AOBA,

-：OD2=OA2-AD2=32-I2=8,CD=AD+AC=^x+1,

/.OC=VOD2+CD2=J(|x+l)2+8,

y=|V4x2+12x+81,(定义域为x>0).

⑶当P与0外切时，

ZBOA=ZOCA,ZCAO=ZPOC,

^OAC^/XOCP.—=—,OC2=OA-OP,

OCOP

：.19(4x2+12%+81)=3(3+%),/=0(不符合题意,舍去)，小=%

・•・这时P的半径为推

4

如图:当P与。内切时，

△CAOs^PAC,.•塔=%.•.亡=/解得:x=?

PAACX-x4

3

・•・这时P的半径为9P的半径为千或9

444

2.(2023年奉贤25)已知:如图1,在梯形ABCD中，AA=90°,AD//BC,AD=2,AB=

3,tanC=i点P是4。延长线上一点,F为DC的中点,联结BP,交线段DF于点G.

⑴若以4B为半径的08与以PD为半径的。P外切，求PD的长；

⑵如图2,过点F作BC的平行线交BP于点E,

①若设DP=x,EF=y,求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；

②联结DE和PF,若DE=PF,求PD的长.

〈解答〉

解：⑴丫在直角三角形4BP中,40=2,AB=3,DP=x,

BP=Q+(2+x)2,

•••以4B为半径的B与以PD为半径的P外切,

BP=AB+PD,.'.V32+(2+x)2=3+x,解得:x=2,

•••PD的长为2时，以AB为半径的B与以PD为半径的P外切.

(2)①联结DE并延长交BC于点M,

A_DP

HM

1••F^)DC^^,EF//BC,

：.DE=EM,：.CM=2EF,：AD//BC,.'.&DEP9/XMEB,DP=BM,

过。作DH1BC于点H,

tanC=I，DH=3,CH=6,AD=BH-2,BC=8,

DP=x、EF=y,BC=BM+CM

%4-2y=8,/.y=(0<x<8);

②;AD〃EF,DE=PF,

当。P=EF时，四边形OEFP为平彳亍四边形.y=xy：.x=I，

当DPH股时,四边形DE”为等腰梯形，

•/EQ//AB,BE=PE,AQ=子,

.•・。。=等一2,「.詈=等一2,解得:工=4,

P。的长为g或4.

3.（2023年虹口25）如图,扇形04B的半径为4,圆心角N/1OB=90°,点C是液上异于点

A、B的一动点,过点C作CO1。8于点。，作CE1。4于点E,联结DE,过。点作OF1OE于点

F,点”为线段。。上一动点，联结MF,过点F作NF1MF,交OA于点M

⑴当tan/M。F=泄,求等的值；

⑵设OM=x,0N=y,当窈=泄,求遥于x的函数解析式，并写出它的定义域;

⑶在⑵的条件下,联结CF,当aECF与△。尸N相像时,求OD的长.

〈解答》

四边形AC。。是矩形，

DE=0C=4,-.'OF1DE,：.OF2=DF-FE,

即

,,,tanZMOF=3OF3DF=-3OF,

2

1.OF=-3OFrF-EFE,3§P—=-,

/ZMFO+NOFN=ZNFE+ZOFN=90°,

•.ZMFO=NNFE=ZMOF+NODE=ZNEF+/ODE=90°,

•.ZMOF=ZNEF,：.AOMFs^ENF,

-OMI即"=I

NE=E2FL=3‘NE3'

(2)如图2,连接MN,

图2

设。M=x,ON=y,

•••瑞=：,即。。=2OM,△OF。是直角三角形，

OM=MD=MF=x,-：AMON=NMFN=90°,

MN是/ONF的角平分线,MN是。F的中垂线，

ON=NF,可得/FON=NNFO,

■：NFON+NNEF=ZNFO+ZNFE,

ZNEF=ZNFE,.-.ON=NE=NF=y,

-：DE=OC=4,

在RtACOE中,OD2+OE2=DE2

(2x)2+(2y)2=42,即y2=4—x2(0<x<2),

⑶如图3,

B

I

图3

©•••4ECFSA0FN，：M=M

利用AOOE的面积,20EOD=^DE-OF

OD=2x,OE=2y,DE=4,|x2yx2x=1X4-OF,

解得,OF=xy(OE=2y,

EF=VOF2­OF2=44y2_(xy)2=yV4—x2,

由(2)y2=4一%2,二EF=y2,'：CE=OD=2x,：.藁=筒

解得y=夜，代入/+y2=4,得%—y/2,OD=2x=2鱼，

②^ECF^/\ONF,:.焉得，

利用ADOE的面积,：OE•OD=\DE♦OF,

11

OD=2%,OE=2y,DE=4,-x2yx2%=-x4-OF,

解得,OF=xyf

「OE=2y,EF=>JOE2—OF2=^/4y2—(xy)2=yV4—x2,

由(2年=4-EF=y2：CE=OD=2x,：.子=京

解得,y=代入/+y2=4,得x=平,二.OD=2x=W，

综上所述0。的长为2夜或誓.

4.(2023年黄浦25)如图,在平行四边形ABCD中,4B=4,BC=2,44=60°.

(1)求证:BC1BC-

(2)延长CB至G,使BG=BC,E是边AB上一点,F是线段CG上一点，且/ED尸=60°,设4E=

%,CF=y.

①当点尸在线段BC上时(点尸不与点8,C重合)，求y关于x的函数解析式,并写出定义域；

②当以AE为半径的。E与以CF为半径的OF相切时，求x的值.

〈解答》

在/?必4"。中，AH=AD•cosA=BC-cosA=1,

丝一工些一工.”一些mAH—AD

AD~2"CD~2f'"AD~CDfWBC-CD'

又「ZC=ZA=60°,.,.2AHDs4CBD,

ZCBD=ZAHD=90°,/.BDIBC;

(2)①:AD//BCt

NADB=NDBC=90°,

,/ZBDH+ZHDA=90°,AA+ZHDA=90°,

・,.NBDH=ZA=60°,

ZEDF=60°,/.ZBDH=/EDF,§PZEDH+NBDE=ZFDB+NBDE,

ZEDH=ZFDB,

又丁/EHD=ZCBD=90°,/.2EHDs/\FBD,

•••器=万.•磊=言，・•・y=4-2x(l<"2);

②连接EF,分三种状况：

1。当点F在线段BC(点尸不与点B、C重合)上时，

•••△EHDs»m，*器.艮喘噂

又•「ZBDH=ZEDF,：.4BDHs/\FDE,：.NDEF=90°,

在RtAEDH中,DE=y/EH2+DH2=V%2-2x+4,

EF=DE-tan60°=V3-DE=V3x2—6x+12,

i)当E与F内切时,|x—(4—2x)|=V3x2-6x+12,

-同

解得,刈=干（舍），到9（舍）；

o6

ii）当E与F外切时,x+（4-2x）=V3x2-6x+12.

解得/=1（舍），小=一2（舍）；

2。点F与点B重合时,即x=1时,两圆外切；

3。当点F在线段BG（点F不与点B重合）上时，

易得CF=4—2x,且仍旧成立，

EF=V3x2-6x+12,

由1。计算可知x=上咨时两圆内切.

O

综上所述,当X=1时，两圆外切,当X=上咨时，两圆内切.

O

6.(2023年普陀25)如图,已知在等腰△4BC中,4B=4C=5,BC=6,点。为BC边上一动

点(不与点B重合)，过点。作射线DE交力B于点E,ZBDE=N4,以点。为圆心,DC的长为半

径作。D

(1)设BD=x,4E=y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

(2)当。。与边48相切时,求8。的长；

⑶假如。E是以E为圆心,4E的长为半径的圆,那么当8D为多少长时,。。与OE相切？

解：(1)如图，,:NB=NB,NBDE=ZA,

ABDEs/\BAC,

.BD_BE

''BA~BCy

•「AB=AC=5,BC=6,BD=%,AE=y,

.・q=手，艮叩=5-凯

0<x<6,且0Vy<5,

25

o

综上所述,y关于x的函数关系式及其定义域为:y=5-1x(0<x<^);

⑵如图，假设4B与。相切于点F,连接FD,则DF=DC,NBFD=90°,

过点4作AG18C于点G,则/BG4=90°,

在48尸。和ABG4中，NBFD=ZBGA=90°,NB=NB,

ABFDSLBGA,

.DF_BD

••AG一BA"

又：AB=AC=5,BC=6,AGA.BC,

BG=：BC=3,AG=7AB2-M=V52-32=4,

.••华=?,解得8。=日，

(3)-/由⑴知,

.处=竺即处=〃=i

BAACDEAC

BD=DEy

如图2,当。与球目外切时.

图2

AE+CD=DE=BD,

;由(1)知,BD=%,4E=y,y关于x的函数关系式是y=5-|x,

5-——6X4-6,—X=%,

解得,x=3符合

loo

•••BD的长度为衰

16

如图3,当。与E相内切时.CD—AE=DE=BD,

图3

由（1）知,BD=x,AE=y,y关于%的函数关系式是y=5-|x,

6—x—5+—X=%,解得,%=符合0V%V—,

546

8。的长度为:，

4

综上所述,BD的长度是意或・

7.（2023年徐汇25）如图，已知NMON两边分别为。M,ON,sin/。=:且。4=5,点。为

线段。A上的动点（不与。重合），以4为圆心、力。为半径作。4设。。=%.

⑴若。4交/。的边OM于乩C两点,BC=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义

域；

（2）将。A沿直线OM翻折后得到。4.

①若。4与直线04相切,求x的值；

②若。4与以。为圆心、DO为半径的OD相切,求x的值.

备用图

〈解答〉

解:⑴作AH10M于乩如图1,

在Rt△。力”中,OA=5,sinZAOH=—=

OA5

..4H=3,

AH1BC,

•**CH=BH=^BC=^

OD=x,

AD=5—%,

在RtMCH中,4C=5-x,4H=3,CH=1y,

.-.(1y)2=(5-x)2-32,

y=2A/X2—10%4-16(0<x<2);

(2)①作A'EIOA于E,如图，

•••A沿直线OM翻折后得到4,

/.A'H=AH=3,4的御空为5-x,

在Rt△。力H中,OH=\/OA2-AH2=4,

4与直线0月相切，

A'E=5-x,

ZHAO=ZEAA',

Rt^OAH^Rt^A'AE,

：.0A-.AA'=OH-.A'E,即5:6=4:(5-x),

・•・x=(；

②当。与小外切时，作4'G1。4于G,连结4D,如图3,

A与以。为圆心、。。为半径的。相切,

A'D=x+5—x=5,

•••ZHAO=ZGAA',

Rt^OAH^Rt^A'AG,

,AH_OH_OABn34_5

AGArGAArrAGArG6

・•.AG=—,A'G=

55

••DG=AG—AD=——(5—x)=x——,

在RtzU'GD中，•「AG?+GD2=A'D2,

.■.(Y)2+(X-1)2=52,

整理得/一=0,解得XI=0（舍去），X2=3

当。与A内切时，同理作图求解得x=^>OA（舍去）

x的值为？

8.（2023年杨浦18）如图,扇形04B的圆心角为2a,点P为弧力B上一点将此扇形翻折,当

点。和点P重合时折痕恰巧过点B,且箓=I，则a正切值为

oB

〈解答》

解：BE为折痕，作OC148于C,交弧4B于D,如图,

...一AB=6

PB5

・,・设AB=6t,PB=5t,

二•点。和点P重合时折痕恰巧过点当

BP=B0-5t,

,/0C1AB,

・•.AC=BC=^AB=3t,AB=ST),

/BOD=-/.AOB=--2a=a,

22

在RSBOC中,OC=>JOB2-BC2=4t,

.A/D”BC3t3

..tanZFOC=—=—=

OC4t4’

即tcma=

4

故答案为*

4

9.（2023年杨浦25）已知AM平分NBAC,力B=AC=10,cosZBAM=点。为射线力M上的

动点,以。为圆心,BO为半径画圆交直线4B于点E（不与点B重合）.

⑴如图⑴，当点。为BC与的交点时,求BE的长；

（2）以点4为圆心,力。为半径画圆,假如。4与。。相切,求4。的长；

⑶试就点E在直线XB上相对于4B两点的位置关系加以探讨,并指出相应的40的取值范

围.

备用图

解：(1):力M平分=力。,

/.AM1BC,

cosZ-BAM=45,AB=10,

3

cos/B=BO=6,AO=8,

作。〃1AEy

。为圆心，

BH=EH,

在RtZkB。“中，BHBO=cosB,

・•,BE=2BH=^

(2)v4与。相切,4。为4格至，

A与。只可能相内切,且力在。的内部，

/.OA=OB—OA,

OB=2OA,

设。4=居贝(JOB=2%,

作BP1AM,则4P=8,BP=6,OP=8-

在RSBP。中,OP2+BP2=OB2,即(8-%)2+62=4x2,

3x2+16%—100=0,

…警i,(负舍),

.八人-8+2V91

•.OA=x=----------.

3

(3)过4B中点作48的垂线交4M于点。i，可得40[=g

过B作4B的垂线交4M于点。2,可得A"=y,

当0<A0<E时,点E在BA的延长线上，

当彳《4。<与时,点E在线段AB上，

当4。>弓时，点E在48的延长线上.

10.(2023年长宁24)如图,在直角坐标平面内,四边形0ABe是等腰梯形，其中OA=4B=

BC=4,tanZBCO=V3.

⑴求经过。、8、C三点的二次函数解析式；

(2)若点P在第四象限，且△POCSAAOB相像,求满意条件的全部点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，若。P与以OC为直径的。。相切，请干脆写出OP的半径.

〈解答〉

解:⑴；四边形是等腰梯形，其中。4=AB=BC=4,tanNBC。=代,

0(0,0),B(6,2®C(8,0),

设经过。、B、C三点的二次函数解析式为:y=ax2+bx+c,

贝（l{36a+6b+c=2百,

64a+8b+c=0

解得a=-^-,b=c=0;

••・过。、B、C三点的二次函数解析式为:y=-哼/+竽方

Cx

P

(2)有两种状况，

如图1,当PO=PC时,

/tanZFCO=V3,

ZAOC=ZBCO=60°,

AOAB=120°,

•「OA=AB=4,

・•.ZAOB=/ABO=30°,

2P0Cs/\A0B,OA=AB,PO=PC,

・•.ZPOC=ZPCO=30°,

.♦•P(4，T),

如图2,当PC=OC时，

•••AP0Cs/\A0B,OA=OB,CO=PC,

：.NOPC=ZCOP=30°,

OC=PC=8,

/PCD=60°,

PD=4V3,CD=4,

P(12,-4V3),

图①

⑶P的半径是4+^^或—4;

如图①,PD=

P的半径为4+或4—

如图②，作QM1OP,-：ZPOC=30°,

QM=+OQ=：OC=2,OM=2亚

•••P(12,-4V3),

OP=8V3,

PM=OP-OM=6V3,

PQ=4PM2+QM?=4V7,

P的半径为4b-4或4,+4,

综上,P的半径为4+竽或4-誓或4夕-4或4夕+4.

11.（2023闸北24）已知:如图,二次函数y