2021-2022学年山东省临沂市八年级下册数学期末模拟试题（四）含答案

2021-2022学年山东省临沂市八年级下册数学期末模拟试题（四）

一、选一选（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列约分正确的是（）.

x+y

B.―^=0A

x+y

2xy21

D.-^-=-

4x2y2

【答案】C

【解析】

V6

【详解】A.故本选项错误；

x

B.土土上=1,故本选项错误；

x-\-y

c.—~,故本选项正确；

x+xyx

D.与=2，故本选项错误；

4xy2x

故选：C.

2.关于频率与概率有下列几种说法：①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大;

②“抛一枚硬币正面朝上的概率为4”表示每抛两次就有正面朝上；③“某彩票中奖的概率是

1%”表示买10张该种彩票没有可能中奖；④“抛一枚硬币正面朝上的概率为表示随着抛掷

次数的增加，“抛出正面朝上”这一发生的频率稳定在上附近，正确的说法是（）

A.②④B.②③C.①④D.①③

【答案】C

【解析】

【分析】分别利用概率的意义分析得出答案.

【详解】①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大；正确；

②“抛一枚硬币正面朝上的概率为L”表示每抛两次就有正面朝上；错误;

2

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③“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票没有可能中奖；错误;

④“抛一枚硬币正面朝上的概率为表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一发生的频

2

率稳定在l附近，正确.

2

故选C.

【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键.

3+2m

3.已知力（・1,必），8（2,打）两点在双曲线歹=-------上，且必＞为，则加的取

值范围是（

A.m>0m<0D.m<——

2

【答案】D

【解析】

（2,外）两点在双曲线丁=士”上，

【详解】-A（-1,必），B

3+2m3+2m

必=；一，%=一一

—12

必>%，

故选D.

4.如图，在平行四边形N3CD中，AC,8。相交于点。，点E是C£＞的中点，若OE=3cm,

则AD的长是（）

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm

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【答案】B

【解析】

【分析】证明OE是△BC。的中位线，然后根据中位线定理求解即可.

【详解】解：ABCD

：.()B=OD

是8中点

.♦.0E是△BCD的中位线

/.J£>=2OE=2x3=6(cm).

故答案为B.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的判定和性质，证得OE是△8CO的中

位线是解答本题的关键.

5.如图，矩形的两条对角线的一个交角为60。，两条对角线的长度的和为20cm,则这个矩形的

一条较短边的长度为()

A.10cmB.8cmC.6cmD.5cm

【答案】D

【解析】

【详解】试题解析：；四边形ABCD是矩形，

.*.OA=OC=yAC,OD=OB=yBD,AC=BD,

；.OA=OB,

VAC+BD=20,

AC=BD=10cm,

OA=OB=5cm,

VOA=OB,ZAOB=60°,

.-.△OAB是等边三角形，

AB=OA=5cm,

故选D.

考点：1.矩形的性质；2.等边三角形的判定与性质.

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6.在同一直角坐标系中，函数歹=-色与夕=＜zx+l(aWO)的图象可能是()

x

【解析】

【分析】本题可先由反比例函数丁=-@图象得到字母a的正负，再与函数尸a户1的图象相比

x

较看是否一致即可解决问题.

【详解】解：小由函数歹=-q的图象可知。＞0,由y=ax+l(。/0)的图象可知。＜0故选项

X

力错误.

B、由函数的图象可知a＞0,由^=如+1(aWO)的图象可知。＞0,且交于y轴于正半

x

轴，故选项B正确.

C＞y=ax+\(a^O)的图象应该交于y轴于正半轴，故选项C错误.

D、由函数了=-@的图象可知。＜0,由y=or+l(aWO)的图象可知。＞0,故选项。错误.

x

故选：B.

【点睛】本题考查反比例函数的图象、函数的图象等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解

决问题，属于中考常考题型.

7.如图，在菱形X5CO中，M,N分别在45,CD上,且4W=CN,MN与AC交于点、O,连

接BO.若ND4c=28。，则NO8C的度数为()

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A.28°B.52°C.62°D.72°

【答案】C

【解析】

【分析】根据菱形的性质以及4W=CN,利用/1S/1可得之△CNO,可得4。=。。，然后

可得8OL4C,继而可求得NO8C的度数.

【详解】解：•••四边形488为菱形，

J.AB//CD,AB=BC,

NMAO=NNCO,ZAMO=ZCNO,

在△4W0和△CN。中，

ZMAO=ZNCO

<AM=CN,

NAMO=NCNO

：./\AMO^/\CNO(ASA),

:.AO=CO,

"：AB=BC,

：.BOA.AC,

：.ZBOC=90°,

：ND4c=28。，

...N8C4=/rUC=28°,

：.ZOBC=90°-28°=62°.

故选：C.

【点睛】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角

线相互垂直的性质.

8.已知9>0,化简二次根式xJM的正确结果为()

A.y[yB.yj-yC.-y[yD.-1-y

【答案】D

【解析】

【分析】先判断x和y的符号，然后根据二次根式的符号化简即可.

【详解】"•*xy>0,—彳20,

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Ax,0,y<0,

故选D.

【点睛】本题考查了二次根式的性质,熟练掌握性质是解答本题的关键.

r-r-..(a(a>01C7~匚

,八，—=~~r=(介0，fr>0)

—a(a<0)vby[b

9.如图，在平面直角坐标系中，A(-3,1),以点0为直角顶点作等腰直角三角形AOB,双曲

线必=4■在象限内的图象点B,

设直线AB的解析式为为=&x-b,当时，x的取值

X

范围是()

A.-5<x<lB.0<:x<l或x<-5C.-6<x<lD.0<x<l或

x<-6

【答案】D

【解析】

【分析】由旋转的性质可得点A的坐标，分别根据点A,B的坐标求出双曲线的解析式和直线

AB的解析式，得到它们的交点坐标，图象即可求解.

【详解】根据题意得,B(l,3),ZAOB=90°,所以，ki=3,A(—3,1).

所以〈3=k',—b,，

1=—3&—b

k2=—

解得,,

b=—

2

…15

所以为=~2

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3

y=-x2=—6

演=1

解方程组x得，1.

15=3'

y=­x+-1凹%=-5

22

图象可知，当o<x<i或x<-6时，y1>y2.

故选D.

点睛：解答正比例函数与反比例函数的交点问题时，要善于运用数形思想分析图象，然后以两

个函数图象的交点横坐标为分界点确定在没有同的范围内函数值有大小.

10.如图，在正方形ABCD中,AD=5,点E、F是正方形ABCD内的两点,且AE=FC=3,BE=DF=4,

B.|立7

A.一C.一D.历

25

【答案】D

【解析】

【分析】延长/E交。尸于G,再根据全等三角形的判定得出△/G。与AABE全等，得出AG=BE=4,

由4E=3,得出EG=1,同理得出GF=1,再根据勾股定理得出£户的长.

【详解】解：延长/E交。F于G.如图,

:四边形ABCD为正方形

；.AB=AD=DC=5,ZBAD=ZADC=90°,

'：AE=3,BE=4,

是直角三角形，

...同理可得是直角三角形，

VAE=FC,BE=DF,AB=DC,

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.,.△ABE^ACDF,

/.ZBAE=ZDCF,

•."ZFCD+ZCDF=90°,

/.ZBAE+ZCDF=90°,

.,.ZDAG+ZADG=90°,

：./\AGD是直角三角形，

ZABE+ZBAE=ZDAE+ZBAE,

：.ZGAD=ZEBA,

同理可得：ZADG=ZBAE.

在A/GO和△B/E中，

.NEAB=NGDA

：<AD=AB,

NABE=ZDAG

：./\AGD^/\BAE（ASA）,

：.AG=BE=4,DG=AE=2>,

：.EG=4-3=1,同理可得：GF=\,

22

.,.£F=71+1=V2-

故选D.

【点睛】本题考查了正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出EG=FG=1,再利

用勾股定理计算.

二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分）

11.任意选择电视的某一频道，正在播放动画片，这个是—.（填“必然”“没有可能”或“没有确

定”）

【答案】没有确定.

【解析】

【分析】确定包括必然和没有可能.

必然指在一定条件下，一定发生的；

没有可能是指在一定条件下，一定没有发生的；

没有确定即随机是指在一定条件下，可能发生也可能没有发生的.

【详解】：任意选择电视的某一频道，正在播放动画片，这个可能发生，也可能没有发生，

,这个是随机；

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故答案是：随机.

【点睛】用到的知识点为：一定条件下，可能发生也可能没有发生的叫没有确定.

12.若反比例函数y=(m+1)的图象在第二、四象限，m的值为一

【答案】一百

【解析】

【分析】首先根据反比例函数定义可得2加2=-1,且m+1#),求出m的值，再根据图象在第二、

四象限可得m+1V0,进而确定m的值.

【详解】解：由题意得：2-m2=-L且m+l#0,

解得：m=±6,

・・,图象在第二、四象限，

m+1<0,

解得：m<-l,

m=-5/3，

故答案为一百.

【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义以及性质，是将一般式产或(修0)转化为产kx」

X

(k#0)的形式.

13.若代数式点Y在实数内范围有意义,则X的取值范围为_______________.

2x-3

【答案】42且x卷

【解析】

【详解】解：由题意得，2-x>0,2x-3r0,

解得,XS2且x限3

故答案为x<2且x#1.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数、分式分

母没有为0是解题的关键.

x—b

14.已知x=・2时，分式----无意义，x=4时，此分式的值为0,则a+b=.

x+a

【答案】6

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【解析】

【分析】根据分式有意义和分式的值为零的条件得出a和b的值，代入a+b即可

X—h

【详解】解：因为x=-2时，分式——无意义，

x+a

所以-2+a=0,所以a=2>

又因为x=4时，此分式的值为0,

所以4-b=0,所以b=4,

所以a+b=2+4=6.

故答案为：6.

15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,0E1AB,垂足为E,若NADC=140°,

则NAOE的大小为：

【答案】70。

【解析】

【分析】根据“菱形的性质、三角形内角和定理”已知条件分析解答即可.

【详解】解：•••四边形ABCD是菱形，

，AB〃CD,AC平分/DAB,

・・.NDAB+NADC=180。，ZOAB=yZDAB,

VZADC=140°,

AZDAB=40°,ZOAB=20°,

VOE1AB,

・,.ZOEA=90°,

ZAOE=180o-90°-20o=70°.

故答案为:70°.

【点睛】熟记“菱形的相关性质并能由此解得NOAB=20。”是解答本题的关键.

16.若关于x的分式方程'一=2的解为正数，则m的取值范围是____.

x+1

【答案】m>3

【解析】

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【分析】先解关于X的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立没有等式求m的

取值范围.

【详解】解:去分母得，m-l=2x+2,

EF〃？一3

解得，x=----

2

:方程的解是正数,

解这个没有等式得，m>3,

m-3

-------+1W0,

2

.♦.mWl,

则m的取值范围是m>3.

故答案为m>3.

【点睛】本题考查了分式方程的解，解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数

的值叫做方程的解.注意分式方程分母没有等于0.

17.下列说确的有（请填写所有正确结论的序号）

①在一个装有2白球和3个红球的袋中摸3个球，摸到红球是必然.②若J（2a+1）2=-1-2。，

则“2-彳；③己知反比例函数y=-一，若演<当，则必<%；④分式生77是最简分式；

2xa+b

⑤R和屈是同类二次根式：

【答案】①④⑤

【解析】

【详解】分析：

根据每种说法中所涉及的数学知识进行分析判断即可.

详解：

（1）•••袋子中没有是红球的球只有2个，其余的球都是红球，

“从袋子中摸出3个球，摸到红球是必然”的说法是正确的，

故①中说确；

（2）•••J（2a+1）2=—1一2a，

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2a+1W0,解得：a«—，

2

故②中说法错误；

2

（3）•・•在反比例函数^=——中，

x

当芭=-2时，乂=1；当天=2时，%=T；

2

・・・“在反比例函数丁=一一中，若玉时，则必＜外”的说法没有成立；

x

故③中说法错误；

（4）•.•分式字勺的分子和分母没有存在除1之外的其它公因式，

a+6

...“分式手与是最简分式”的说确；

a+b

故④中说确；

（5）*.•»VFs=sVs，

•••和JiW是同类二次根式.

故⑤中说确.

综上所述，上述5种说法中正确的是①④⑤.

故答案为：①④⑤.

点睛：熟悉“5种说法中所涉及的相关数学知识”是正确解答本题的关键.

18.如图，直线y=-3x+3与x轴交于点B,与y轴交于点A,以线段AB为边，在象限内作

正方形ABCD,点C落在双曲线歹=幺（左力0）上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个

X

单位长度，使点D恰好落在双曲线y=«（攵W0）上的点Di处，则2=.

X

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【答案】2

【解析】

【详解】试题分析：对于直线y=-3x+3,令x=0,得到尸3；令尸0,得到％=1,即/(0,3),

8(1,0),过C作CE_Lx轴于点E,过。作。尸J_x轴于凡如图所示，

:四边形ABCD为正方形，

:.AB=BC=AD,ZABC=ZDAB=90°,

0/8+480=90。，NABO+NEBC=90°,

：.NOAB=/EBC,

在△/08和△BEC中，

•；N4OB=NBEC=9。。,ZOAB=ZEBC,AB=BC,

：./\AOB^/\EBC(AAS),

：.BE=OA=3,CE=OB=\,

：.OE=OB+BE=\+3=4,

：.C(4,1),

把C点坐标代入反比例函数解析式得：k=4,

4

即y=一,

x

同理得到△£>7%g08,

:.DF=()A=3,AF=()B=1,

：.OF=OA+AF=3+\=4,

：.D(3,4),

由平移性质知：DD"/x轴,则点。与。的纵坐标相等

把尸4代入反比例解析式得：x=l,

即点口的横坐标为1,

/.DZ)i=3-l=2,即a=2.

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故答案为：2

考点：1.反比例函数综合题；2.平移的性质；3.综合题；4.压轴题.

三、解答题：(本题满分76分)

19.计算：

(1)1-^2^-^-；(2)(-3)°-V27+|l-V2|+1

aa2+2a'，11V3+V2

【答案】(1)0；(2)-2.73

【解析】

【详解】分析：

(1)按分式混合运算的相关运算法则计算即可；

(2)按二次根式混合运算的相关运算法则零指数幕的意义进行计算即可.

详解：

1。一2Q（4+2）

（1）原式=]------x

a伍+2）（白一2）

=1-1

=0.

(2)原式=1_36+0_1+------7==

(行了_(.)2

=—3^3+y/2+也—>/2

=-273.

点睛：熟记“分式混合运算和二次根式混合运算的相关运算法则，理解零指数基的意义”是解

答本题的关键.

20.解方程:

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v1>--------1=-7------；-----——―.....=—；7・

x+2xx2+2xx+22-xx~-4

【答案】(1)x=-；(2)石=一2(增根，舍去)，x=1

22

【解析】

【详解】分析：

这是两道解分式方程的题，按照解分式方程的思路和一般步骤进行解答即可.

详解：

(1)去分母得：3x+x+2=4,

移项、合并同类项得：4x=2,

系数化为1得：x=-,

2

检验：当工=」时，x(x+2)=-^0,

24

...原方程的解为x=L；

2

(2)去分母得：x(x—2)+(X+2)2=8,

去括号得：x2-2x+x2+4x+4=8>

2

化简、整理得：x+x-2=0.解此方程得：%,=-2,x2=l,

检验：当x=-2时，(x+2)(x-2)=0；当x=l时，(%+2)(%-2)=-30；

；.x=-2是增根，x=l是原方程的解，

.•.原方程的解为：x=l.

点睛：(1)解分式方程的基本思路是：去分母，化分式方程为整式方程；(2)解分式方程时,

有可能会产生增根，因此求得未知数的值后，需检验后再作结论.

21.先化简再求值生2/(a+l)+，其中a=6+L

a-l''a2-2a+l

【答案】—,1+^

a-13

【解析】

【分析】先根据分式的运算法则进行化筒，再进行二次根式的运算即可.

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2(。+1)1(«+1)(«-1)

【详解】解：原式=ZX[

a-lQ+1("1)-

2Q+1a+3

--------1--------=

a-\a-\--a-\

当°=百+1时，原式=立尹=1+逑.

V33

【点睛】掌握分式和二次根式化简方法.

22.如图，在D/BC。中，瓦尸分别为边/从。。的中点，NC是对角线，过点8作8G//ZC

交。力的延长线于点G.

（1）求证：CEHAF■,

（2）若/G=90°,求证：四边形CEZR是菱形.

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解

【解析】

【分析】（1）根据已知条件证明AE=CF,AE//CF,从而得出四边形CEAF是平行四边形，即可

证明CE//AF；

（2）先证明AF=CF,再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论.

【详解】证明：（1）在口力88中，AB//CD,AB=CD,

•；E、F分别为边AB、CD的中点，

ACF=yCD,AE=yAB,

；.CF=AE,

二四边形CEAF为平行四边形，

.,.CE//AF.

（2）VBG//AC,

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.*.ZG=ZDAC=90°,

.•.△DAC为直角三角形,

又：F为边CD的中点，

/.AF=yCD=CF,

又；四边形CEAF为平行四边形，

四边形CEAF为菱形.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定，直角三角形的性质：在直角

三角形中斜边中线等于斜边一半，比较综合，难度适中.

m

23.如图，已知A(-4,n),B(2,-4)是函数y=+6的图像和反比例函数y=—的图像的两个

x

交点.

(1)求反比例函数和函数的解析式；

m

⑵求没有等式kx+b-一<0的解集(请直接写出答案).

x

(3)求△A0B的面积；

Q

【答案】(1)y=---；y=-x-2；(2)-4<x<0或x>2；(3)6.

x

【解析】

【详解】分析：

m

(1)由点A(-4,n),B(2,4)在反比例函数y=—的图象上，可得m=-8,n=2,从而可得反比

x

例函数的解析式和点A的坐标，再将点A、B的坐标代入函数的解析式>=丘+方列出方程组解

得k、b的值，即可得到函数的解析式；

(2)根据图象和点A、B的坐标写出函数值小于反比例函数值所对应的x的取值范围即可；

(3)由(1)中所得函数解析式求得直线AB与x轴的交点C的坐标，这样由SAAOB=SAAOC+SABOC

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即可求得其面积了.

详解：

m

(1)VA(-4,n),B(2,-4)是函数户kx+b的图象和反比例函数y二一的图象的两个交点,

x

，m=2x(-4)=-8,-4n=2x(-4),

Q

，反比例函数的解析式为：y=-n=2,

x

・••点A的坐标为(-4,2),

[—4k+b=2

将A、B的坐标代入产kx+b得：\2k+b__4，

k=—1

解得：|L9

b=-2

，函数的解析式为：y=-x-2：

(2)没有等式Ax+b---<0的解集为：-4VxV0或x>2；

x

(3),:在直线y=-x-2中,当y=0时,x=-2,

・・・直线AB与x轴交于点C(-2,0),

==

**•SAAOBSAAOC+SABOC-X2X2+—X2X4=6.

22

点睛：这是一道综合考查反比例函数的图象和性质及函数的图象和性质的题目，熟悉两种函数

的图象和性质，能用“待定系数法”求得两个函数的解析式是解答本题的关键.

2

24.(1)已知函数y=x+5的图象与反比例函数y二--的图象的一个交点为A(a,6),则

_1___1_

ab

(2)如果1满足工2一3%+1=0,试求代数式的值.

1,14A

(3)已知。~——求Q+b+ab的值.

【答案】(1)---；(2)5；(3)-5.

2

【解析】

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【详解】分析：

(1)把点A(a,b)代入两个函数的解析式可得：b-a=5,ab=-2,将工一：化简为"3，然后

代值计算即可；

(2)由题题意可知：xwO,因此由x2-3x+l=0可得：x-3+-=0,由此可得x+'=3,

XX

11

这样由(X——)29=(X+—)92—4即可求得所求的值了；

XX

(3)将a、b的值化简，再将化简的结果代入。+方中计算即可.

详解：

2

(1):函数y=x+5的图象与反比例函数y=--的图象的一个交点为A(a,b),

X

:.b=a+5,ab=-2,

・11_b-a_5_5

••-------=-------=—=—；

abab-22

故答案为—；

2

(2)Vx2-3x+l=0,x和

1

.*•x・3+—=0,

x

1

・\x+—=3,

x

：.(x--)2=(x+-)2.4=32-4=5；

XX

b=Ar-2+B

(3),/a=~=-2-y[5，

:.a+b+ab

=-2-V5-2+V5+(-2-5/5)(-2+75)

=-4+(-1)

点睛：(1)由己知条件得到b-a=5,ab=-2是解答第1小题的关键；(2)知道x-,与x+，间的

XX

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数量关系是解答第2小题的关键；(3)熟练掌握“分母有理化”的方法和二次根式的相关运算

法则是解答第3小题的关键.

25.某校有学生2000名，为了了解学生在篮球、足球、排球和乒乓球这四项球类运动中最喜爱

的一项球类运动情况，对学生开展了随机，丙将结果绘制成如下的统计图.

80

60

40

20

00

80

60

40

20

(1)本次的样本容量是;

(2)某位同学被抽中的概率是一；

(3)据此估计全校最喜爱篮球运动的学生人数约有名；

(4)将条形统计图补充完整.

【答案】(1)400；(2)-；(3)800；(4)答案见试题解析.

5

【解析】

【详解】试题分析：(1)用篮球的人数除以篮球的百分比，即可得到结论；

(2)根据概率公式即可得到结论；

(3)根据样本估计总体，即可得到结论；

(4)计算出乒乓球的人数，即可得到结论.

试题解析：(1)160-40%=400(人)，即本次的样本容量是400.故答案为400.

(2)400+2000=一.故答案为一.

55

(3)2000x40%=800(人).故答案为800.

(4)乒乓球的人数：400x30%=120(人).

如图所示：

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80

60

40

20

00

80

60

40

20

考点：1.条形统计图；2.用样本估计总体；3.扇形统计图；4.概率公式.

26.某工厂承担了加工2100个机器零件的任务，甲车间单独加工了900个零件后，由于任务紧

急，要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原计划提前12天完成任务.己知乙车间的工作效率

是甲车间的1.5倍，求甲、乙两车间每天加工零件各多少个？

【答案】甲乙两车间每天加工零件分别为60个、90个.

【解析】

【分析】

【详解】先设甲车间每天加工零件x个，则乙车间每天加工零件1.5x个，由题意列分式方程即

可得问题答案.

解：设甲车间每天加工零件x个，则乙车间每天加工零件1.5x个.

但2100-9002100-900

根据题意,得----------=12,

Xx+1.5x

解之,得x=60,

经检验，x=60是方程的解，符合题意,

1.5x=90.

答：甲乙两车间每天加工零件分别为60个、90个.

27.己知：等腰AOAB在直角坐标系中的位置如图，点A坐标为卜3百,3),点B坐标为(-6,

0).

(1)若将△OAB沿x轴向右平移a个单位，此时点A恰好落在反比例函数歹=述的图象上,

x

求a的值：

(2)若△OAB绕点。按逆时针方向旋转a度(0<a<360).

①当a=30°时，点B恰好落在反比例函数丁=上的图象上，求k的值；

X

②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图象上？若能，直接写出a的值；若没有能，请

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说明理由.

【答案】(1)a=5jj;(2)①人=9百；②a=60°

【详解】分析：

(1)由题意可得将aAOB向右平移a个单位后点A坐标为(-3JJ+4,3),将此时点A的坐

标代入丁=还中，即可求得a的值；

x

(2)①如图1,设旋转后点B的对应点是点B，，连接OB，，过点B，作B，E_Lx轴于点E,则由

题意可得OB，=OB=6,NEOB，=30。，由此在△OB，E中求得BT和OE的长，即可得到此时点B'

的坐标，将点B，的坐标代入丁=4中即可求得k的值；

X

②如图2,当点A旋转后落到①中B'的位置上，同时点B旋转到了B”的位置上，过点B"作

B"F±y轴于点F,已知条件求出此时点B”的坐标，得到此时点B”也在①中反比例函数的图象

上的结论，再求得NAOB的度数，即可得到此时的旋转角a的值了.

详解：

(1)由题意可知，将AAOB向右平移a个单位后点A坐标为(-3月+a,3)，

:平移后的点A刚好落在反比例函数夕=g叵的图象上，

X

:.3(-36+a)=66，解得：a—5>/3;

(2)①如图1,设旋转后点B的对应点是点B，，连接OB)过点B，作B，E，x轴于点E,则由

题意可得OB』OB=6,ZEOBf=30°,

・,.NOEB，=90。，

・・・OE=OB'cos300=6x6=3百，B,E=OB'sin300=6xi=3,

22

.•.点B，的坐标为（一3JJ，-3）,

第22页/总28页

:此时点B'在反比例函数y=人的图象上,

X

**•k——3^3x(—3)=9^3；

②能，理由如下：

・・•点A的坐标为(—36,3),

3出

••tanNAOB=—尸=,

3733

AZAOB=30°,

V0A=0B=6,

工当旋转后点A落在①中B，的位置时，此时点A，在①中的反比例函数的图象上(如图2),此

时点B旋转到了B”的位置上，则/A，OB=30。，

,此时NAOA，=60。,

/BOB"=60。，

.♦./B"OF=30。，

过点B”作B"F±y轴于点F,贝lJ/B"FO=90。，

/.OF=OB),cos30o=6x—=3G，B"F=OB".sin3(r=6xi=3,

22

二此时点B”的坐标为(-3,-36)，

3x(—3拘=9/，

此时点B"在①中反比例函数的图象上，

...当&=60。时，点A、B同时落在①中反比例函数的图象上.

第23页/总28页

点睛：本题是一道涉及反比例函数、图形的旋转和锐角三角函数的综合题，熟悉“反比例函数

的图象和性质、旋转的性质和锐角三角形函数的相关知识”是解答本题的关键.

28.如图，在平面直角坐标系中，直线产船和双曲线y=幺在象限相交于点”(1,2),点8

在y轴上，且轴.有一动点尸从原点出发沿y轴以每秒1个单位的速度向y轴的正方向

运动，运动时间为，秒(f>0),过点P作POLy轴，交直线于点C,交双曲线于点D

k'

(1)求直线尸fcr和双曲线'=—的函数关系式；

x

(2)设四边形CD48的面积为S,当P在线段08上运动时(尸没有与8点重合)，求S与,

之间的函数关系式；

(3)在图中象限的双曲线上是否存在点。，使以4、8、C、。四点为顶点的四边形是平行四边

形？若存在，请求出此时f的值和。点的坐标；若没有存在，请说明理由.

-1；f=时，，，指+1：/=3—石时，

【解析】

【分析】(1)把点力的坐标代入两个函数的解析式求出左和〃的值即可得到两个函数的解析式;

第24页/总28页

t2

(2)由题意易得力3=1,()B=2,OP=t,(1)中所得两个函数的解析式可得：PC=-,PD=-,

2t

2t

BP=2-t,由此可得当点尸在线段力8上(没有与点8重合)时，CD=PD-PC=----,这样

t2

S=S1Mg(AB+CD)BP即可求得S与，间的函数关系式了；

(3)根据题意，分①。在的下方，AB//CD,S.AB=CD,点0与点。重合；②在48

上方，AB//CD,且42=8,点0与点。重合；③C。在下方，BQ//AC,BQ=AC；根据这

三种情况画出对应的图形(图2和图3)已知条件进行分析解答即可.

k'

【详解】解：(1)把/(1,2)代入尸依和尸一，k=2,k=2

x

k'?

・•・直线尸点的函数关系式是尸2x,双曲线尸一的函数关系式是尸一；

xx

(2)由题意可得：AB=\,0B=2,OP=t,

t2

：.PC=-,PD=-,BP=2-t,

2t

・••当CO在力5下方时，CD=PD-Pc2L

t2

•'.5=y(1+--^)(2-r)=，34『+8(0<,<2]

2t24/''

(3)存在以下3种情形，具体如下：

①当CD在48的下方，AB//CD,SLAB=CD,点。与点。重合(如图2)时，，四边形ZBC0

是平行四边形，

2t

•：CD=PD-PC=--=\,

t2

-------=1,解得Lt2——y/s—1(舍去)，

t212

.uz22+l八

.,止匕时PD=-=—=------,OP=t=、/r5・1，

tV5-12

当片后-1时，存在0(逅土1,V5-1)使以小B、C、。四点为顶点的四边形是平行四

2

边形；

第25页/总28页

②当C。在的上方，AB//CD,KAB=CD,点。与点。重合（如图2）时，四边形/C80

是平行四边形，

•:CD=PC-PD,

=

------1,解得：/.=V5+1,t2—\[54-1（舍去），

2t