八年级数学几何动点最值压轴题专项练习

八年级数学几何动点最值压轴题专项练习

一、单选题

1.在"BC中，AB=AC,ZB=50°,P是边AB上的一个动点（不与顶点A重合），则NBPC的值可能是（）

2.如图，等边AA8C的边长为4,AQ是8c边上的中线，尸是4）边上的动点，E是AC边上一点.若AE=2,当

EF+C尸取得最小值时，则/。CF的度数为（）

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

3.如图，等边三角形A8C的边长为6,A、B、4三点在一条直线上，且AABCg△AiBCi.若。为线段BG上一

动点，则A3+CD的最小值是（）

4.如图，边长为9的等边三角形A8C中，M是高C”所在直线上的一个动点，连接M8,将线段绕点8逆时

针旋转60。得到BN,连接HN.则在点“运动过程中，线段“N长度的最小值是（）

5.如图，矩形ABC。中，AB=3,BC=5,点E是线段AO上的一个动点（与点A不重合），点P是点4关于BE的

对称点.在点E的运动过程中，能使得APCB为等腰三角形的点E的位置共有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

6.如图，在等边AA8c中，AD.CE是AABC的两条中线，AD=5,P是AD上一个动点，则P8+PE最小值的是

)

A.2.5B.5C.7.5D.10

7.如图，已知AABC为等边三角形，点。为8c上一动点，AD=AE,/D4E=60。，若月8=4,当四边形AOCE的周

长取最小值时，8。的长是()

A.1B.2C.3D.4

8.如图，点A在y轴上，点8、C在X轴上，5(4,0),0(2,0),D8与EC关于y轴对称，/C4B=60。，点P、Q

分别是边A3、AC上的动点，则。P+PQ+E。的最小值是()

二、填空题

9.如图，点P为乙408内一点，点M、N分别是边OA和OB上的动点，且M、尸、N不共线，若NAO8=30。,

试卷第2页，共6页

OP=Scm,则APMN周长的最小值是

10.如图，在RtZ\A3C中，NACB=90。，AC^BC,以BC为边在2C的右侧作等边△BCD,点E为2。的中点,

点P为CE上一动点，连结AP,BP.当AP+BP的值最小时，NC6P的度数为.

11.如图，在等边AABC中，E是AC边的中点，P是AABC的中线AO上的动点，且AB=6,则BP—PE的最大值

是.

12.如图，AABC和AOCE都是边长为4的等边三角形，且点8、C、E在同一条直线上，点P是CD边上的一个动

点，连接AP、BP,贝IJAP+8P的最小值为一.

13.如图，408=60。，点C是3。延长线上一点，0C=6cm,动点P从点C出发沿射线C8以2cm/s的速度移

动，动点Q从点。出发沿射线0A以Icm/s的速度移动，如果点P、。同时出发，用r(s)表示移动的时间，当f

=—s时，△P0。是等腰三角形.

A

14.如图，点M在等边AABC的边8c上，BM=8,射线COLBC垂足为点C,点P是射线CO上一动点，点N是

线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN=9,则AC的长为.

15.如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AQ=BE,AE与CO交于点F,AG

J_C£)于点G,则乙阴G='

16.如图，在AABC中，Zfi=30。，“、N为边AB、BC上的两个动点，将△8/WN沿翻折，翻折后点B的对应

点。落在直线BC上方，连接C。,ZDCB=2ZAMD,且ZAM£>>20。，则当△CDN是等腰三角形时,

三、解答题

17.如图，四边形MNP。中，MP与NQ交于点0,NQMP=18。，NMNQ=42。,ZMON=\14°,ZMPN=1S°.

(1)求证：MQ=NQ;

(2)求/MP。的度数；

(3)若PQ=10,V是线段MP上的一动点，求QV的最小值.

试卷第4页，共6页

QpQp

MNMN

备用图

18.如图，在直角坐标系中，AABC的位置如图所示，请回答下列问题:

(1)请直接写出A、B、C三点的坐标、、.

(2)画出AABC关于x轴的对称图形

(3)△ABC的面积为.

(4)已知P为x轴上一动点，贝1JAP+BP的最小值为.

19.如图，等边三角形AAOB,点C为射线0A上一动点，连接8C,以线段BC为边在射线同侧作等边三角形

△CBD,连接。A.

(1)求证：AOBC咨AABD

(2)在点C的运动过程中，/CA。的度数是否会变化？如果不变，请求出NCA。的度数；如果变化，请说明理由.

D

20.如图，AABC是边长为6的等边三角形，P是4C边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），。是CB延

长线上一点，与点尸同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（。不与8重合），连接尸。交A8于D.

（1）若设AP=x,则PC=—,QC=—;（用含x的代数式表示）

（2）当乙8。。=30。时，求AP的长.

试卷第6页，共6页

参考答案

I.A

解：'：AB=AC,

：.ZB=ZACB=50°,

：.ZA=180°-50°X2=80°,

•：ZBPC^ZA+ZACP,

：.ZBPOZA,

：.ZBPC>SO0,

VZB=50°,

/.NBPC<180°-50°=130°,

则50°<ZBPC<130°,

故/BPC的值可能是95°.

故选：A.

2.C

解：如图，

取48的中点G,连接CG交于点F,

•.•等边"BC的边长为4,AE=2,

.♦.点E是AC的中点，

所以点G和点E关于AD对称，

此时EF+FC=CG最小，

根据等边三角形的性质可知：

ZGCB=-ZACB=30°.

2

所以NZJCF的度数为30°.

故选：C.

答案第1页，共18页

3.B

VAABC^AA.BCi,三角形ABC是等边三角形，边长为6,

ZABC=ZAf=60°,A1B=BC=AG=6,

•••A、B、4i三点在同一直线上，

•••点c关于8G的对称点是A,

...当点。与点B重合时，AO+CQ取最小值，

此时AD+CD=6+6=12,

故选：B.

4.B

解：如图，取BC的中点G,连接MG,

NMBH+/HBN=6。。,

又：ZMBH+ZMBC=ZABC=60°,

:.NHBN=NGBM,

'：CH是等边AABC的对称轴，

:.HB=BG,

又♦.•MB旋转到BN,

：.BM=BN,

答案第2页，共18页

在AMBG和△N8”中,

BG=BH

,4MBG=NNBH,

MB=NB

:•△MBG乌ANBH(SAS),

:・MG=NH,

根据垂线段最短，当时，MG最短，即HN最短，

1119

此时NBCH=5x60°=30°,CG=AB=yx9=-,

1i99

.,.MG=：CG=gx_=_,

2224

9

：.HN=~,

4

故选B.

5.A

解：分三种情况：

①以BC为底边时，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点，此时的情况

交点只有一个；

②以8P为底边，C为顶点时，有一个，是以B为圆心84为半径的圆与以C为圆心BC为

半径的圆的交点；

答案第3页，共18页

③以CP为底，B为顶点时，没有，因为以8为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半

径的圆没有交点，

综上满足要求的P有2个，

故选：A.

6.B

解：连结PC,

•••△ABC为等边三角形，

：.AB=AC,

'.'AD为中线，

：.AD±BC,BD=CD^BC,

•••点P在A。上，BP=CP,

：.PE+PB=PE+PC,

•：PE+PC>CE

.•.C、P、E三点共线时PE+CP弼=CE,

•；CE为AABC的中线，

：.CE±AB,AE=BE^-AB,

2

•••△ABC为等边三角形，

：.AB=BC,NABC=60。，

：.BE=BD,

答案第4页，共18页

在AABO和△C8E中，

AB=CB

ZABD=ZCBE,

BD=BE

：./\ABD^/\CBE(SAS)

：.AD=CE=5,

：,PB+PE的最小值为5.

故选择B.

：.AB=AC,ZBAC=60°,

,.・Z£>AF=60°,

ZBAD+ZDAC=ZCAE-i-ZDAC,

即N5AZANCAE,

在AABD和"CE中，

AB=AC

</BAD=ZCAE,

AD=AE

：.AABD^AACE(SAS).

：.CE=BD,

•••△ABC是等边三角形，

：.AB=BC=AC=4,

：.四边形ADCEm^:=CE+DC+AD+AE=BD+DC+2AD=4+2AD,

根据垂线段最短，当AO_LBC时，AO值最小，四边形AOCE的周长取最小值,

・.・AB=AC,

BD=—BC=—x4=2.

22

答案第5页，共18页

故选：B.

8.C

解：分别作出点。、E关于AB、AC的对称点£＞或E",

连接。E分别交AB、AC于尸、Q,如图所示，

则QE=QE',P。=P£>',

此时。P+尸。+EQ=D'E'为最小.

由题知AABC为正三角形,0(2,0)、3(4,0),

连3D,过。勿乍£>'〃_1_尢轴于，，

由对称性可得：NPBD=NPBD'=60°,

ZD'BH=60°,BD=BD=2,

•••BH=\,D'H=6

：.玫5,6),同理可得网-5,百),

。'£=5-(-5)=10.

故选C.

9.8cm

解：分别作点尸关于。4、。8的对称点C、D,连接C3,分别交。人。8于点M、N,连

接OP、OC、OD、PM.PN,当点何、N在C£＞上时，APA/N的周长最小.

答案第6页，共18页

•・•点P关于。4的对称点为C,关于。8的对称点为。，

[PM=CM,OP=OC,ZCOA=ZPOA;

・・•点尸关于。8的对称点为

:・PN=DN,OP=OD,NDOB=NPOB,

：.OC=OD=OP=8cm,ZCOD=ZCOA+ZPOA+ZPOB+ZD0B=2ZPOA+2ZP0B=2Z

AOB=60°,

:•△COD是等边三角形，

CD=OC=OD=Scm.

・・.△PMN的周长的最小值为

PM+MN+PN=CM+MN+D股CD=8cm.

故答案为：8c机

10.15°

解：连接产。、AD,设4。与CE交于点Pi,

,/ABCD是等边三角形，息E为BC的中点，

；・NCBD二NBCD=/BDC=60。,BC=CD,CE_LBDyBE=DE,

:・CE为线段BD的垂直平分线，

・・・PD=BP,

・・.当点尸运动时，AP-^BP=AP+PD,[fi]AP+PD>AD,

J当点A、P、。共线时即点尸运动到Pi时,AP+3P有最小值，

连接3尸],则8P尸DR,

:.NPiBD=/PiDB,又NCBD=NBDC,

:・/CBP\=/CDP、,

■:AC=BC=CD,

：・NCDPi=NCAD,即

延长AC至Q,

VZACB=90°,ZBCD=60°,

・・・NDCQ=90。-60°=30°,又NDQ2=NCZ)P|+NC4£>=2NCOP|,

.\ZCDPi=l5°,即NC3Pi=15。，

工当AP+B尸的值最小时，ZCBP=15°,

答案第7页，共18页

故答案为：15。.

II.3

解：连接PC,

•在等边AABC中，AB=6,P是AABC的中线AD上的动点,

.♦.40是8c的中垂线，

：.BP=CP,

：.BP-PE=CP-PE,

•.•在△CPE中，CP-PE<CE,

，当点P与点A重合时，CP-PE=CE,

YE是AC边的中点，

二8P-PE的最大值=6+2=3.

故答案是：3.

12.8

解：如图，连接PE,

答案第8页，共18页

D

「△ABC和AOCE都是边长为4的等边三角形，

：.AC=EC,ZACB=ZDCE=60°,

：.ZACD=60°,

：.ZACD=ZDCE,

在A4CP和AECP中，

AC=EC

"ZACP=NECP,

CP=CP

：.AACP^AECP(SAS),

：.AP=EP,

：.AP+BP=AP+EP,

当点P与点C重合时，AP+BP的值最小，正好等于BE的长,

所以AP+BP的最小值为：2x4=8.

故答案为：8.

13.2或6

分两种情况：

当点P在线段OC上，

设t秒后△PO。是等腰三角形，

有OP=OC-CP=OQ,即6—2r=f,解得：f=2;

当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用3s,

当△POQ是等腰三角形时，NPOQ=60。，

，△尸。。是等边三角形，

：.OP=OQ,

即2(f—3)=f,解得：.=6;

故答案是：2或6.

答案第9页，共18页

14.13

解：・・・△ABC是等边三角形，

：.AC=BCyZB=60°,

作点M关于直线CO的对称点G,过G作GNJ_A8于N,交CO于P,

则此时，MP+PN的值最小，

VZB=60°,NBNG=90°,

.,.ZG=30°,

♦；BN=9,

:・BG=2BN=18,

：.MG=BG-BM=\S-S=\O,

:・CM二CG=5,

：.AC=BC=\3,

解：・・・△ABC为等边三角形，

：.AC=CB=AB,NAC8=N8=60°,

;AD=BE,

：.BD=CE,

•・•在aACE和△C8。中

AC=CB

・.・<NACE=NB,

CE=BD

：./XACE^^CBD(SAS),

：.ZCAE=ZBCD,

•・•ZAFG=ZCAF+NACF,

答案第10页，共18页

・・・ZAFG=ZBCD+ZACF=ZACB=60°,

9：AG±CD,

：.ZAGF=90°,

.•.ZMG=90°-60o=30°.

故答案为30。.

16.40

解:连接3,如图,

由折叠可得，MB=MD,BN=DN,

：./MBD=/MDB,NNBD=Z.NDB,

丁ZABC=30°

：.MBD=ZNDB=30。一ZMBD

.・・ZAMD=2AMBD/DNC=2(30°-ZDBM)

■:ZDCN=2ZAMD

：.ZDCN=4ZMBD

・・・△aw是等腰三角形，

・・・分三种情况讨论：

①当NC=DC时，4DNC=NNDC=2(30°-NMBD)

又Z.DNC+ZNDC+ZDCN=180°

.・.2(30°-NMBD)+2(30°-NMBD)+4/MBD=180°

整理得，120°=180°

故此种情况不存在；

②当。N=OCB寸，ZDNC=ZDCN

：.2(30°-NMBD)=4NMBD

解得，/MBD=10。

：.Z4MD=20。；

答案第11页，共18页

VNAM。＞20。，

・,・此种情况须舍去；

③当ON=NC时，ZNDC=ZNCD=4ZMBD

■:ZDNC+ZNDC+ZDCN=180°

.・.2(30°-NMBD)+4/MBD+4NMBD=180°

解得，ZMBD=20°

：.ZAMD=4O0

综上，NAMD的度数为40。

故答案为：40

17.(1)见解析；(2)30°;(3)5

(1)•・•NMO2114。,/“\。42。，

/.ZOMN=24°

•・・NQMP=18°,

・•.NQMN=ZQMP+/PMN=42°,

・•.4QMN=4QNM,

：.QM=QN,

(2)•・•/QMN=/QNM=42°,

ZMQN=180°-42°-42°=96°,

如图，将QP绕点。旋转96。，得到QS,连接SMSM,

答案第12页，共18页

SQ=PQ

/MQP=4MQN+4NQP=96°+NNQP,ZNQS=ZNQP+ZPQS=96°+4NQP,

4MQP=4NQS,

又QQM=QN,

4QMP”丛QNS,

:.4QMP=4QNS=、8。，MP=NS,4QPM=NQSN,

•・・NQNM=4h,

/MNS=Z.QNM+NQNS=60°,

・・・ZOMN=24°,/MPN=78°,

.・.ZMNP=180°-ZOMN-ZMPN=78°,

:.ZMNP=ZMPN,

；.MP=MN,

•:MP=NS、

:.NS=MN,

・•.△MSN是等边三角形，

：.SM=SN,ZMSN=6O0,

在△SQM和△SQN中

SQ=SQ

<SM=SN

QM=QN

/.△SQMg/\SQN,

/QSN=ZQSM=；/MSN=30°,

答案第13页，共18页

ZMPQ=ZNSQ=30°,

(3)如图，过点。作QVJ.MP,

当时，QV最小，

••・△尸。丫是直角三角形，

NMPQ=30°,

QV=gpQ=gxlO=5,

，。丫的最小值为5.

18.(I)A(1,4),B(4,2),C(3,5)；(2)见解析；(3)3.5;(4)36

(1)由平面直角坐标系中点的位置可知41,4),8(4,2),C(3,5)

故答案为：(1,4),(4,2),(3,5);

(2)根据题意作AA8c的各顶点关于x轴对称的点，顺次连接即可，—8©即为所求作三

角形；

答案第14页，共18页

(3)S^ABC=3x3-jxlx2-5*2x3-QX1X3=3.5;

(4)连接A®根据AP+8P=AP+8P2AR

A^B=y)32+62=3亚

KPAP+BP的最小值为3石.

故答案是：3后

【点睛】

本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，轴对称的性质，勾股定理求两点之间的距离，掌握

轴对称的性质是解题的关键.

19.(1)见解析；⑵变化，ZG4D=60°或12(T或0°

【分析】

(1)根据等边三角形可得OB=BA,NOBA=60,BC=BD,NCBD=60,可推得

ZOBC=ZABD,可证AOBC=„ABD(SAS);

(2)变化，由AOBC三AA3。，ZOCB=ZADB,由对顶角性质得NAEC=/BE£>,利用三角

答案第15页，共18页

形内角和可求NCAD=180°-NACB-/AEC=180°-ZEDB-ZBED=NEB£)=60°或ZCAD-Z

04B+N8AD=60°+60°=120°,即可.

【详解】

证明：(I)•・•△OAB是等边三角形，

:.OB=BA,ZOBA=60,

是等边三角形，

/.BC=BD,ZCBD=60,

:.ZOBA=ZCBD