2023上海高考数学名师模拟卷（12）（学生版+解析版）

2023年上海高考数学名师模拟卷(12)

—.填空题(共12小题)

1.设全集。=R,若4=｛划次-2]..3｝,则gA=.

2.设复数z满足|z|=l,使得关于x的方程〃?+2云+2=0有实根，则这样的复数z的和

为—,

3.已知“h=0,则直线依+勿+c=0的倾斜角为.

12------

4.已知向量2=(3,4),b=(sincr,cosa),且&//5,则tan(a+2)=___.

4

5.在等差数列他“｝中，若4+q=8，则其前15项和S”=.

6.己知函数/(x)=2+log“x(a>0且awl)的反函数为y=_T'(x).若广|(3)=2,则

7.若函数f(x)=xlog.(x+Jf+2/)偶函数,则。=.

8.用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数

为—.(用数字作答)

9.若一组样本数据11,9,x,10,8的平均数为10,则该组样本数据的标准差为一.

10.设等差数列｛”"｝的前”项和为黑，首项q>0,公差d<0,若对任意的〃eN*,总存

在kcN”,使S21=(2%-l)S,，则左一3〃的最小值为.

11.在AABC中，设角A,B,C对应的边分别为a,b,c,记A4BC的面积为S,且

4a2^b2+2c2,则g的最大值为一

(T

22

12.已知点尸(0,2),椭圆土+&=1上两点4项，y),8(工2，%)满足A户=2尸反义£氏)，

168

则|2西+3凹-12|+|29+3%-12|的最大值为.

二.选择题(共4小题)

13.设a,。,7是三个不重合的平面，/是直线，给出下列命题

①若a[(3,。,则a_Ly；

②若/上两点到a的距离相等，则"/a；

③若/J_a,////?,则a_L〃；

④若e///，lup,且〃/a,贝U//Q.

其中正确的命题是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

14.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很

大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：

数字123456789

形式

纵式1IIIIImimuTTTTTTTJTT

一

横式一二三三XXXX

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置

_L7T=Trr6728

空，如图：开T1T6708

如果把5根算筹以适当的方式全部放入右面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（

)

A.46B.44C.42D.40

15.如图，正方体ABC。-ASGR中，E、E分别是Afi、8C的中点，过点。广E、F

的截面将正方体分割成两个部分,记这两个部分的体积分别为乂、%（匕<%）,则匕：W=（

257

C.D.

479

16.抛物线y2=2px（p>0）的焦点为尸，点A、8在抛物线上，且NAFB=120。，弦回中

点M在准线/上的射影为M一则网公的最大值为()

'\AB\

A.迪B.6C.空D.B

333

三.解答题(共5小题)

17.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=26,BA=BC=2,O是线段AC的中点,

M是线段3c的中点.

(1)求证：POL平面ABC；

(2)求直线PM与平面PBO所成的角的大小.

18.设a>0且awl,twR,已知函数/,(x)=log“(x+l),g(x)=21og“(2x+f).

(I)当f二一1时，求不等式f(x)„g(x)的解;

(2)若函数尸(幻=小幻+4一2，+1在区间(T,2］上有零点，求f的取值范围.

19.如图某公园有一块直角三角形ABC的空地，其中NAC8=工，ZABC=-,AC长。千

26

米，现要在空地上围出一块正三角形区域。所建文化景观区，其中。、E、尸分别在8C、

AC.ABh.设NDEC=6.

(1)若。=工，求的边长；

3

(2)当。多大时，ADEE的边长最小？并求出最小值.

20•已知函数小)=廿：；二知其中人”是非空数集,且峭"。，设

/(P)={yly=/(x)，xeP},f(M)={y\y=f(x),xeM].

(I)若尸=(f,0),M=[0,4],求/(P)U/(M)；

(n)是否存在实数a>—3,使得尸|jM=[-3，a],且/(P)|J/(M)=1-3,2〃—3]?若存

在，请求出满足条件的实数。；若不存在，请说明理由；

(W)若MjM=R，且OwM,IeP,/(x)是单调递增函数，求集合P,M.

21.若数列｛«„｝满足”对任意正整数i,j,i*j,都存在正整数上,使得出=%%”，则

称｛4｝具有“性质P”.

（1）判断各项均等于〃的常数列是否具有“性质P”，并说明理由；

（2）若公比为2的无穷等比数列｛““｝具有“性质P”，求首项q的值；

（3）证明：首项为2的无穷等差数列｛4｝具有“性质产”的充要条件是公差d=l或d=2.

2023年上海高考数学名师模拟卷(12)

—.填空题(共12小题)

1.设全集U=R,若4={幻次一2|..3},则q,A=_(-l,5)_.

【解答】解：•••A={x|x,—1或x..5},U=R,

.-.^4=(-1,5).

故答案为：(-1,5).

2.设复数z满足|z|=l,使得关于x的方程2^+2衣+2=0有实根，则这样的复数z的和为

_3

~2~'

【解答】解：设2=<7+〃，(a,h&R,a1+b2-,

将原方程改为(a+bi)x2+2(a-bi)x+2=0,

分离实部与虚部后等价于：

ax2+2ar+2=0®.bx2-2hx=0@,

若匕=0,则/=[,但当q=i时，①无实数解，从而。=一1,

此时存在实数x=-l±G满足①②，

故z=-1满足条件：

若6/0,则由②知xe{0,2},

但显然x=0不满足①，故x=2,

代入①解得：a=--,则b=±巫，

44

故2=小近，

4

综上，满足条件的所有z的和为：一1+士巫+土巫=一3,

442

故答案为：.

2

3.已知;；=°，则直线"+勿+。=0的倾斜角为_万一arctang_.

【解答】解：由"”=0得：2a-b=0,

12

直线方+by+c=O的斜率攵=—£=—；；

故倾斜角为：7T-arctan—；

2

故答案为：7i-arctan—.

2

4.已知向量可=(3,4),b=(sina,cosa),且///5,则tan(a+C)=7.

4

【解答】解：,・,向量M=(3,4),i=(sina,cosa),且M///?,.a.3cosa-4sina=0,

sina3

二・tana=-------=—,

cosa4

7

/乃、tana+14_

tan(a+—)=-----------=—=^-=7,

41-tana13

4

故答案为：7.

5.在等差数列｛%｝中，若4+%=8,则其前15项和鼠=60.

【解答】解：由｛〃〃｝是等差数列，得百5=^(4+45)=叔(。3+43)=5'8=6.

故答案为：60.

6.已知函数/(x)=2+log“x(a>0且awl)的反函数为y=/T(x).若(3)=2,则。=

2.

【解答】解：・・・/T(3)=2,:.f(2)=3,代入可得3=2+log42,化为log〃2=l,解

得。=2.

故答案为：2.

7.若函数f(x)=Xloga(x++2a2)偶函数,则。=—W—.

【解答】解：由已知可得『(一x)=fa),

22

即-xloga(-x++2a)=xloga(x+4X+2a2),

221

B|Jloga(x+\/x+2a)+log”(-x++2a)=0,

所以，2cr=1,

因为。〉0,

iKa=—.

2

故答案为：—.

2

8.用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数

为17.(用数字作答)

【解答】解：根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，

当其千位数字为3或4时，有2A；=12种情况，即有12个符合题意的四位数，

当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134,则有6-1=5个比2134大的四位

数，

故有12+5=17个比2134大的四位数，

故答案为：17.

9.若一组样本数据11,9,x,10,8的平均数为10,则该组样本数据的标准差为_夜_.

【解答】解：因为一组样本数据11,9,x,10,8的平均数为10,

x=1x(9+8+x+10+ll)=10,

解得亍=12,

该组样本数据的方差S2=1X[(11-1O)2+(9-1O)2+(8-10)2+(12—10)2+(10-10)2]=2.

该组样本数据的标准差为0；

故答案为：及.

10.设等差数列｛”"｝的前〃项和为5“，首项《>(),公差d<0,若对任意的〃6N*,总存

在kwN*,使邑i=(2Z-l)S,,则4-3〃的最小值为_一8_.

【解答】解：由题意可得+%T)=(201电,

则得(21)«=(2^-l)S„,即ak=S„,

令”=2得：％=S,，即％+(々-1)4=24+d(*),即得&-2=幺，

d

因为首项4>0,公差d<0,则得％-2吟<0,即"<2,

又,:kd所以攵=1,代入(*)得：d=_q,

当d=-q时、由4=得4一(4—I)?=叫一,

即1=5—1)(〃—2)+匕所以&—+

222

即4_3〃=，K”-2力_卫，

222

因此当〃=4或5时，3〃的最小值为-8.

故答案为：—8.

11.在AABC中，设角A,B,C对应的边分别为。，b,c,记AABC的面积为S,且

4a2=b2+2c2,则之的最大值为叵

(T-6一

【解答】解：4a2=b2+2c2,a2=-(b2+2c2),

“+。2-:(〃+2。2):从+；。23y+202

b»-77-g--)

cosA=

2bc2bc——2bc—-—8bc

222

2-bc(\-cosA)2244

S4——;——=4152bc-9b-4c

4422

/=a面+202)216*b+4c+4bc

5218(71)

贝!JF=­•［、7］，

a4164r2+4r+l

人/、71—1，/、11—14，

令g(')=74广―+4；Z—+17'g(')=(/2.t/+11)、'3，

所以g⑺在(0,»递增，启+00)递减,

所以g(t)2=g(曰)=S

所以与的最大值为1

。24

当且仅当11〃=14c2时，取等号，

故答案为：叵

6

22

⑵已知点P(0,2),椭圆工+工=1上两点A(x/％),B(X2,%)满足衣=彳声反2eR)，

168

则12±+3%-121+1+3%-121的最大值为_2(9+5/17)

【解答】解：如图所示

满足/=4万QeR)，直线/的方程为：2x+3y-12=0.

,_|2x,+3^-12|,_|2x,+3>-12|

点A,5到直线/的距离分别为:S

4=~~乖，-='TH

设线段他的中点为4(%,%),点心到直线/点距离为4°.

则4+4=24.

/_12x(>+3%—121

代一而一

/.|2%j+3y-12|+|2工2+3%-12|=713(^+t/2)=2|2x0+3y0-12|.

..•二+芷=1,反+及=1,

168168

相减可得：9+支=0,k=kAB=阻二

可得：£+(%-1)2=1,即、+(y_l)2=[.

设宜线2x+3y+m=0与上述椭圆相切，

化为:17y2+(6〃?-16)y+=0,

令1\=(6m-16)2-68m2=0,

化为：m2+6m-8=0.

解得，〃=-3±VF7,

取利=-3+J17,

|-3+x/17+12|9+V17

4的最大值为:

,2?+3?

2万,即2(9+如).

,•J2x+3y,-12|+|2尤2+3y-12|的最大值为:个+野

t2V13

故答案为：2（9+折）.

二.选择题（共4小题）

13.设a,p,y是三个不重合的平面，/是直线，给出下列命题

①若al/7,。Ly,则a-L7：

②若/上两点到a的距离相等，则///a；

③若/l_a,lUp,则aJ■夕；

④若a//,,Itp,且〃/a,则〃/丑.

其中正确的命题是()

A.①②B.②③C.②④D.③④

【解答】解：若a,力，ply,则a与7可能相交，也可能平行，故①错误；

若"：两点到a的距离相等，则/与c可能相交，也可能平行，故②错误；

若///月，则存在直线au尸，使///a,乂/_La,，则a_L夕，故③正确；

若a//〃，且〃/a,则/u尸或///£,又由/9/?,;.///£,故④正确；

故选：D.

14.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很

大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：

数字123456789

形式

纵式1IIIII1111IIIIITTTT1TW

横式一一X

三二—±XX

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置

_L7T=TTT6728

空，如图：-LITTTT6708

如果把5根算筹以适当的方式全部放入右面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为(

)

A.46B.44C.42D.40

【解答】解：按每一位算筹的根数分布一共有15种情况，

如下(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,

3,0),(2,2,1),(2,1,2),(2,0,3),

(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4).

2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分步乘法计数原理，

则上列情况能表示的三位数字个数分别为：

2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2,

根据分步加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：

2+2+2+4+2+4+4+4+4+4+2+2+4+2+2=44,

故选：B.

15.如图，正方体A8CO-A8C2中，E、F分别是A3、3c的中点，过点鼻、E、F

的截面将正方体分割成两个部分,记这两个部分的体积分别为匕、％（匕<匕），则乂：匕=（

）

【解答】解：如图所示，设正方体的棱长为2“，则过点R、E、F的截面下方体积为

—1•—1•23a*3a»-2a——1•1—口小2——j・2=2—5a3,

323239

另一部分体积为8/-竺〃=电〃，

99

25

:匕=—

1247

故选：C.

16.抛物线y2=2px（p>0）的焦点为尸，点A、3在抛物线上，且NA£B=120。，弦45中

点M在准线/上的射影为则网包的最大值为（）

\AB\

A.妪„273

B.V3C.-----

33

【解答】解：设AF=a，BF=b,由抛物线定义，2\MM,^a+b.

而余弦定理，IAB\^=a2+。2-2abcos120°=(n4-b)2-ab,

再由〃+b..2\[ab,得至lj|AB|...——(a+b).

2

所以幽世的I最大值为3

IAB|3

故选：D.

三.解答题(共5小题)

17.在三棱锥产一ABC中，PA=PB=PC=AC=20,BA=BC=2,O是线段AC的中点,

用是线段5c的中点.

(1)求证：PO_L平面ABC；

(2)求直线PM与平面心。所成的角的大小.

P

B

【解答】证明：(1)BA=BC=2,AC=2x/2,

由于班2+质72=3,

所以NABC=工，

2

所以80LAC,且50=2,

由于APAC为等边三角形，

所以PO_LAC，尸。=#，乂P8=2夜，

所以「序:尸4+放下,

所以NPOB=&，

2

故P0J_30,

故PO_L平面ABC.

解：(2)过点、M作MNLBO交BO于N,

连接PN,

如图所示:

由(1)得：POJ.平面ABC,

得到MV_LPO,由于MV_L80,

所以MN_L平面ABC,

故4MPN为直线PM与平面尸8。的夹角，

由(1)知：BO1.AC,

从而点N为线段30的中点，

所以MN=1oC=4AC=立，

242

PM=y］PC2-MC2二不,

i^smZMPN=—=—.

PM14

故直线PM与平面P6O所成的角的大小为arcsin噜.

18.设a>0且"1,tsR,已知函数/(x)=log“(x+l),g(x)=21og“(2x+/).

(1)当，=-1时，求不等式/(戏,g(%)的解;

(2)若函数尸⑺=〃.+a2-2/+1在区间㈠，2］上有零点,求/的取值范围.

【解答】解：(1)当£=一1时，不等式/(%)”g(x)可化为logQ+l),,21oga(2x-l),

当0<“<1时，则有卜+1心一］)2,解得,

［2x-l>024

所以不等式f(x),,g(x)的解集为(；,|］；

当4>1时,则有+—If,解得其2,

2x-l>04

所以不等式/(X)„g(x)的解集为m,+8).

4

综上所述，当0＜。＜1时，不等式f(x),,g(x)的解集为(士马；

当a＞1时，所以不等式/(x)„g(x)的解集为[-,-K0).

4

(2)函数F(x)=af{x)+/X2-2f+1=x4-1+/x2-2^+1=Zx2+x-2/+2,

^tc2+x-2/+2=0,即f(d-2)=-(x+2),

因为xe(-l,2],所以x+2e(l,4],

所以fwO,幺-2工0,

Ir2-22

故'------=-[(x+2)+——1+4,

tx+2x+2

io

设相=X+2£(1,4],则有已=一(徵+*)+4,

tm

故！＜0或0」,,4-2夜，

2tt

解得f,,一2或f...2也，

4

故f的取值范围为f,,-2或f…药史.

4

19.如图某公园有一块直角三角形4BC的空地，其中NAC3=2,ZABC=~,AC长。千

26

米，现要在空地上围出一块正三角形区域£)砂建文化景观区，其中。、E、尸分别在BC、

AC.45上.设小EC=G.

(1)若。=工，求ADEF的边长；

3

(2)当。多大时，及郎的边长最小？并求出最小值.

【解答】解：(1)设AD£F的边长为x千米，由夕=工得CE=』x,AE=a--x,

322

AAE厂中，ZFEA=7r-0--=-,NA=C,

333

AA£F为等边三角形，AE=x=a——x»

即ADEF的边长为，■:

3

(2)设AD所的边长为x千米,

所以CE=xcos0，AE=a-xcos0,

AAEF中，ZFEA=--0,ZA=-,ZEFA=0,

由正弦定理得,

故彳=

2sin6+在。s/氏皿e+mtanf)

当。=巳-arctan走时”取得最小值华=叵，即AD防的边长最小值里a.

20.已知函数/(x)=P”“：P其中P,"是非空数集，且P「|M=0,设

-x+2x,xeM

/(P)=3y=f(X)，xeP},f{M}={y\y=f(x),xeM].

(I)若P=(-oo,0),M=[0,4],求/(P)U/(M)；

(H)是否存在实数a>-3,使得P|jM=[-3，a]，且/(P)UF(M)=[-3,2a-3]?若存

在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；

(III)若P|jM=R，且OeM,I&P,/(x)是单调递增函数，求集合尸，M.

【解答】解:(Z)vP=(-oo(0)，合/(P)={yly=|x|,xe(-oo,0)}=(0,+00),

■.■M=[0,4],f(M)={y\y=-x2+2x,xe[O,4]}=[-8,1].

/(P)|J/(M)=[-8,+oo)

(〃)若—3eM,则/1-3)=-15任[-3,2a—3],不符合要求

从而/(一3)=3

v/(-3)=3G[-3,2a-3]

:.2a-3..3得a.3

若q>3,则2〃一3>3>—。-1)2+1=——+2元

,.aPQM=0,・，.2。一3的原象工0sP且3<%,a

.・.Xo=2a-3,,a,得知3,与前提矛盾

二.a=3

此时可取P=L—3,-D|J[O,3],M=[-l,0),满足题意

(/〃)・・・/(x)是单调递增函数，.•.对任意％<0,有/(x)v/(0)=0,.”wM

.,.(YO,0)="，同理可证：(l,+oo)qP

若存在Ov/vl,使得与EM,则1>/(%)=一+2%>%,

2

于是[%,-X0+2^]CM

2

记为=—％+2/w(0[)，x2=-x^+2x,,...

?.[xQ,同理可知工，X2JGM,...

由%=~Xn+2天.得1-Xg]=1+X：_2%=(1_「)2;

22

1-x„=(1-x„,,)=(1-xn_2)2=...=(1-x0)2"

对于任意xe[%,1],取口08210以1_%)(1-了)-1,1082108(1_4)(1-切中的自然数.，则

xG[xnx,xnx+l]cA/

/.[x0,l)cM

综上所述，满足要求的p,M必有如下表示：

P=(O,r)|J[l.+8),M=(-oo,Oj|J[r,1),其中Ovf<l

或者尸=(0,r]|J[i,+8),A/=(-oo,O]|J(z,l),其中0<r<l

或者p=U，+a>),M=(-00,1)

或者p=(0,+oo),M=(e,0]

21.若数列｛4｝满足”对任意正整数i,j,iKj,都存在正整数%,使得《=4•丹”，则

称他“｝具有“性质P”.

(1)判断各项均等于a的常数列是否具有“性质P”，并说明理由；

(2)若公比为2的无穷等比数列伍“｝具有"性质P”，求首项q的值；

(3)证明：首项为2的无穷等差数列｛4｝具有“性质P”的充要条件是公差d=l或d=2.

【解答】(1)解：若数列｛4｝具有“性质尸”，“对任意正整数i,j，i#j，

都存在正整数火，使得4=《.•