中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题八函数的概念及其表示方法(原卷版+解析)

专题八函数的概念及其表示方法思维导图知识要点知识要点1．函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域和值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法：解析法、列表法和图像法．(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(6)复合函数如果y＝f(u)，u＝g(x)，x∈M，u∈Q，y∈G，每一个确定的x值在对应法则g，f下有唯一的y值与之对应，y就是x的函数，像这样的函数叫做复合函数，记作y＝f(u)，其中u＝g(x)叫做复合函数的内函数，y＝f(u)叫做复合函数的外函数．2．函数定义域的求法类型x满足的条件

，n∈N*

f(x)≥0

与[f(x)]0

f(x)≠0

f(x)＞0四则运算组成的函数

各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义3.函数值域的求法方法示例答案配方法y＝＋x－2

y∈

性质法y＝exy∈(0，＋∞)单调性法

y＝x＋y∈[2，＋∞)换元法y＝sin2x＋sinx＋1y∈

分离常数法y＝

y∈(－∞，1)∪(1，＋∞)典例解析典例解析【例1】求下列函数的定义域．y＝ (2)y＝【变式训练1】求函数f(x)＝的定义域．【例2】(1)已知f(x)＝则f[f(－4)]的值为________．已知f(x)＝若f()>1，则的取值范围是.【变式训练2】已知f(x)＝求：f(x)的定义域； f(x)的值域；当f(x)＝2时，x的取值．【例3】(1)已知f(x－1)＝－2x－1，则f(x)的解析式为．(2)已知f(x)＝，则的解析式为．(3)设f(x)是一次函数，且f(2)－f(－1)＝6，f(2)＋2f(0)＝13，则f(x)的解析式为．【变式训练3】已知f(2x－1)＝4－1，则f(x＋2)的解析式为．(2)已知f(x)是二次函数，f(x)－2f(－x)＝6＋3x，求f(x)的解析式．【例4】求下列函数的值域．y＝x＋2(x≥5); (2)y＝－＋2x＋2；(3)y＝4－ (4)f(x)＝(5)y＝【变式训练4】求下列函数的值域．y＝sin2x＋4sinx－3；(2)y＝＋2x＋3，x∈[－2，2]；(3)y＝(4)y＝【例5】与函数y＝x＋1有相同图像的一个函数是()A．f(x)＝ B．f(x)＝C．f(x)＝ D．f(x)＝【变式训练5】下列函数中表示同一函数的是()A．f(x)＝lg，g(x)＝2lgx B．f(x)＝sinx，g(x)＝sin(－4π＋x)C．f(x)＝1，g(x)＝ D．f(x)＝，g(x)＝【例6】下列图形中，是函数图像的是()【变式训练6】下列图形中，不可能是函数图像的是()高考链接高考链接1．(四川省2016年)函数y＝的定义域是()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－1，＋∞) D．[－1，＋∞)2．(四川省2019年)函数f(x)＝的定义域()A．(－1，1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)3．函数y＝2x－3(x∈N，1≤x≤5)的图像是()A．线段 B．直线C．射线 D．离散的点4．函数f(x＋1)＝＋5x＋1，则f(2)＝()A．7 B．15C．25 D．1同步精练同步精练选择题1．下列各组函数表示相同函数的是()A．y＝与y＝xB．y＝与y＝xC．y＝cosx与y＝cos(3π＋x)D．y＝与y＝x2．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图像可以是()3．函数f(x)＝的定义域是()A．[－2，2] B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－2，2) D．{－2，2}4．已知函数f(x)＝则f[f(0)]＝()A．0 B．1 C．2 D．55．函数y＝的值域是()A．[1，＋∞) B．[0，＋∞)C．[，＋∞) D．R6．已知f(2－x)＝x－2，则f(x)等于()A．x B．－2－x C．2＋x D．－x填空题7．已知函数f(x)＝若f[f(0)]＝4a，则实数a＝________.8．若函数f(3x)＝，则f(1)＝_______.9．已知函数f(x＋3)的定义域是[－1，2]，则函数f(4－2x)的定义域是．10．已知一次函数f(x)＝kx＋b，且f(1)＝2，f(2)＝4，则k＝________，b＝________.解答题11．求下列函数的定义域．(1)y＝ (2)y＝lg(－2x)＋12．设函数f(x)＝a－b＋cx－5，且f(－5)＝10，求f(5)的值．已知函数f(x)＝的定义域是R，求实数a的取值范围．14．某人开汽车沿一条直线以60km/h的速度从A地到150km远处的B地．在B地停留1h后，再以50km/h的速度返回A地，把汽车与A地的距离s(km)表示为时间t(h)(从A地出发开始)的函数，并画出函数的图像．专题八函数的概念及其表示方法思维导图知识要点知识要点1．函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域和值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法：解析法、列表法和图像法．(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(6)复合函数如果y＝f(u)，u＝g(x)，x∈M，u∈Q，y∈G，每一个确定的x值在对应法则g，f下有唯一的y值与之对应，y就是x的函数，像这样的函数叫做复合函数，记作y＝f(u)，其中u＝g(x)叫做复合函数的内函数，y＝f(u)叫做复合函数的外函数．2．函数定义域的求法类型x满足的条件

，n∈N*

f(x)≥0

与[f(x)]0

f(x)≠0

f(x)＞0四则运算组成的函数

各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义3.函数值域的求法方法示例答案配方法y＝＋x－2

y∈

性质法y＝exy∈(0，＋∞)单调性法

y＝x＋y∈[2，＋∞)换元法y＝sin2x＋sinx＋1y∈

分离常数法y＝

y∈(－∞，1)∪(1，＋∞)典例解析典例解析【例1】求下列函数的定义域．y＝ (2)y＝【思路点拨】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．答案：解：(1)由题意得解得3<x≤，所以函数的定义域为由题意得<x<1，所以函数的定义域为【变式训练1】求函数f(x)＝的定义域．解：由⇒－2≤x<4或4<x<5.∴定义域为[－2，4)∪(4，5)．【例2】(1)已知f(x)＝则f[f(－4)]的值为___10_____．【思路点拨】(1)分段函数求值，要先确定自变量属于哪一段区间，然后再代入该段的解析式求值，若是f[f(a)]形式时，应从内到外依次求值．f(－4)＝log28＝3，f[f(－4)]＝f(3)＝23＋2＝10.(2)已知f(x)＝若f()>1，则x0的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．【思路点拨】(2)已知函数值取值的范围，求自变量的取值范围，要分段讨论；所求自变量要满足该段函数的定义域，分段讨论的结果要取并集．当>1时，log2(－1)>1⇒>3；当≤1时，－1>1⇒x0<－1，综上，∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．【变式训练2】已知f(x)＝求：(1)f(x)的定义域； (2)f(x)的值域；(3)当f(x)＝2时，x的取值．解：(1)f(x)的定义域为并集，∴其定义域为(－∞，＋∞)．(2)f(x)的值域为并集，∴其值域为[－5，＋∞)．(3)当x≤－2时，f(x)＝－x－2＝2⇒x＝－4；当－2<x≤3时，f(x)＝－＋4＝2⇒x＝±当x>3时，f(x)＝x－8＝2⇒x＝10.综上，x＝－4，±，10.【例3】(1)已知f(x－1)＝－2x－1，则f(x)的解析式为f(x)＝－2．【思路点拨】求函数解析式常用的方法：①换元法：已知f[g(x)]的解析式，可令g(x)＝t，反解x＝z(t)代入原函数求解．②凑配法：已知f[g(x)]的解析式，将右边凑配成以含“g(x)”整体为变量的解析式．③待定系数法：若已知函数类型(一次、二次函数等)，可设函数解析式求解．④方程组法：已知f(x)的解析式，通过已知条件再构造出另外含有f(x)的解析式，并组成方程组，可通过解方程组求解．(1)配凑法，f(x－1)＝(x－1)2－2⇒f(x)＝－2.(2)已知f(x)＝，则的解析式为．(3)设f(x)是一次函数，且f(2)－f(－1)＝6，f(2)＋2f(0)＝13，则f(x)的解析式为f(x)＝2x＋3．【思路点拨】(2)换元法，【思路点拨】(3)设f(x)＝kx＋b，代入x解方程组得k＝2，b＝3.【变式训练3】(1)已知f(2x－1)＝4－1，则f(x＋2)的解析式为______f(x＋2)＝＋6x＋8．【提示】令2x－1＝t⇒x＝⇒f(t)＝＋2t，∴f(x＋2)＝＋6x＋8.(2)已知f(x)是二次函数，f(x)－2f(－x)＝6＋3x，求f(x)的解析式．解：设f(x)＝a＋bx＋c，则f(x)－2f(－x)＝a＋bx＋c－2a＋2bx－2c＝－a＋3bx－c＝6＋3x，所以f(x)＝－6＋x.【例4】求下列函数的值域．(1)y＝x＋2(x≥5); (2)y＝－＋2x＋2；(3)y＝4－ (4)f(x)＝(5)y＝【思路点拨】①由函数的单调性求出值域．②二次函数闭区间值域的求法：利用数形结合思想，确定区间与对称轴的相对位置，确定区间范围图像的最高点和最低点，从而求出最值．③分段函数求值域的求法：分别求出各自对应区间的解析式的值域再求并集．答案：解：(1)[7，＋∞)．(2)(－∞，3]．(3)由题意得1－2x≥0，即x≤，∵函数y＝4－单调递增，∴当x＝时，ymax＝4，故函数的值域为(－∞，4]．(4){－2，0，2}．(5)y＝∵≠0，∴1－≠1，即函数的值域是{y|y≠1}．【变式训练4】求下列函数的值域．(1)y＝sin2x＋4sinx－3；(2)y＝＋2x＋3，x∈[－2，2]；(3)y＝(4)y＝解：(1)y＝(sinx＋2)2－7，当sinx＝－1时，ymin＝－6；当sinx＝1时，ymax＝2.∴y的值域为[－6，2](2)y＝(x＋1)2＋2，x∈[－2，2]，当x＝－1时，ymin＝2；当x＝2时，ymax＝11.∴y的值域为[2，11]．(3)y＝＝4，∴y的值域为[0，4]．(4)反解法x2＝，即>0，解得－3<y<1，所以y的值域为(－3，1)．【例5】与函数y＝x＋1有相同图像的一个函数是(D)A．f(x)＝ B．f(x)＝C．f(x)＝ D．f(x)＝【思路点拨】判断两个函数是否相同，主要是看定义域和值域是否相同，若相同，则是同一个函数．【变式训练5】下列函数中表示同一函数的是(B)A．f(x)＝lgx2，g(x)＝2lgx B．f(x)＝sinx，g(x)＝sin(－4π＋x)C．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0 D．f(x)＝，g(x)＝【提示】判断定义域、值域是否相同．【例6】下列图形中，是函数图像的是(D)【思路点拨】根据函数定义，自变量x与因变量y应满足“一对一”和“多对一”，而“一对多”不满足函数的定义，故不是函数．【变式训练6】下列图形中，不可能是函数图像的是(D)【提示】D中当x＝0时，有2个y值与之对应．高考链接高考链接1．(四川省2016年)函数y＝的定义域是(C)A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－1，＋∞) D．[－1，＋∞)【提示】x＋1>0，x>－1.2．(四川省2019年)函数f(x)＝的定义域(A)A．(－1，1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)【提示】1－x2>0⇒x2<1⇒－1<x<1.3．函数y＝2x－3(x∈N，1≤x≤5)的图像是(D)A．线段 B．直线C．射线 D．离散的点4．函数f(x＋1)＝＋5x＋1，则f(2)＝(A)A．7 B．15C．25 D．1同步精练同步精练选择题1．下列各组函数表示相同函数的是(B)A．y＝与y＝xB．y＝与y＝xC．y＝cosx与y＝cos(3π＋x)D．y＝与y＝x2．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图像可以是(B)【提示】A．定义域为[－2，0]；C.对定义域中除2以外的任一x都有两个y与之对应，不符合条件；D.值域不是[0，2]．3．函数f(x)＝的定义域是(D)A．[－2，2] B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－2，2) D．{－2，2}【提示】⇒x＝±2.4．已知函数f(x)＝则f[f(0)]＝(A)A．0 B．1 C．2 D．55．函数y＝的值域是(C)A．[1，＋∞) B．[0，＋∞)C．[，＋∞) D．R【提示】y＝6．已知f(2－x)＝x－2，则f(x)等于(D)A．x B．－2－x C．2＋x D．－x【提示】令2－x＝t⇒x＝