中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题二集合之间的关系(原卷版+解析)

专题二集合之间的关系思维导图知识要点知识要点1．子集(1)概念：对于两个集合A与B，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B(或B包含A)”．(2)性质：①任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A.②空集是任何一个集合A的子集，即∅⊆A.2．真子集(1)概念：对于两个集合A与B，如果A⊆B，且B中至少有一个元素不属于A，则称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)，读作“A真包含于B(或B真包含A)”．(2)性质：①空集是任何非空集合的真子集．②含n个元素的集合，有2n个子集，2n－1个真子集．3．相等如果集合A与B的元素完全相同，那么称集合A等于集合B，记作A＝B.若A⊆B且B⊆A，则A＝B.典例解析典例解析【例1】下列关系中，正确的是()A．{0}＝∅ B．∅∈{0} C．0∈∅ D．∅⊆{0}变式训练1下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅.其中正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3【例2】已知集合M＝{x|x>1}，N＝{x|2≤x≤4}，则集合M，N的关系是()A．MN B．NM C．M＝N D．M⊆N变式训练2设A＝{0，1}，且B＝{x|x∈A}，则集合A，B的关系是()A⊂B B．B⊂A C．A＝B D．A∈B【例3】写出集合A＝{1，2，3}的所有子集，并指出哪些是真子集．变式训练3设集合A＝{x∈N|－2<x<2}的非空子集的个数是()A．8 B．7 C．4 D．3【例4】已知{a}⊆A{a，b，c}，则满足条件的集合A的个数为____个．变式训练4设集合A＝{2，9}，B＝{，2}，若A＝B，则实数a＝________.【例5】集合A＝{x|(x＋2)(x－5)≤0}，B＝{x|m－2<x<2m－3}，且B⊆A，求实数m的取值范围．变式训练5已知集合M＝{x|－px＋q＝0}＝{1，3}，求实数p，q的值．高考链接高考链接1．若集合A＝{x|1<x<6}，B＝{x|1<x<6，x∈N}，则集合A与集合B的关系是()A．A＝B B．B⊆AC．B⊇A D．B∈A2．下列关系中，正确的是()A．∅∈{0} B．N*⊇NC．N⊆Z D．∅＝{x|＝0}3．A＝{1，4，3－2x}，B＝{1，}，若A⊇B，则x的值是____．4．A＝{0，2}，B＝{0，1}，则A∪B的真子集个数为_____．同步精练同步精练选择题1．下列四个命题中正确的是()A．空集没有子集B．空集是任何一个集合的子集C．{0}＝∅D．任何一个集合必有两个或两个以上的子集2．设集合A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N，y∈N}，则集合A中有________个元素．()A．5 B．6 C．7 D．83．若集合M＝{x|＋ax＋b＝0}，N＝{－4，3}，且M＝N，则a，b的值分别为()A．1，12B．－1，－12C．1，－12D．－1，124．已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x|x＝2|a|，a∈A}，则B等于()A．{－4，0，4，8} B．{0，4，8}C．{0，2，4} D．{2，4，8}5．已知集合P＝{x|－4＝0}，Q＝{－2}，则下列关系正确的是()A．PQ B．P⊉QC．P＝Q D．PQ填空题6．已知集合A＝{x||x|≤3}，B＝{x|x≥a}且A⊆B，则实数a的取值范围是__．7．用符号“∈”、“∉”、“”、“”、“＝”填空．(1)1________{x|x3＝1}; (2)N__________Z；(3){x|x2－1＝0}______{－1，1}; (4){1，3，5}________{1，3}；(5)∅________{0}; (6)0______∅.8．设集合M＝{1，3，a}，N＝{1，－a＋1}，且M⊇N，则实数a的值为．解答题已知集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|－x－6＝0}．若A⊆B，求实数a的值．设集合A＝，B＝，试判断A，B的关系．已知集合A＝，其中方程＝1有唯一实数解，求集合A.已知{a，b}A⊆{a，b，c，d}，写出满足条件的集合A.13．已知集合P＝{x|－a<0}，Q＝{x|x<3}，若PQ，求实数a的取值范围．专题二集合之间的关系思维导图知识要点知识要点1．子集(1)概念：对于两个集合A与B，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B(或B包含A)”．(2)性质：①任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A.②空集是任何一个集合A的子集，即∅⊆A.2．真子集(1)概念：对于两个集合A与B，如果A⊆B，且B中至少有一个元素不属于A，则称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)，读作“A真包含于B(或B真包含A)”．(2)性质：①空集是任何非空集合的真子集．②含n个元素的集合，有2n个子集，2n－1个真子集．3．相等如果集合A与B的元素完全相同，那么称集合A等于集合B，记作A＝B.若A⊆B且B⊆A，则A＝B.典例解析典例解析【例1】下列关系中，正确的是(D)A．{0}＝∅ B．∅∈{0} C．0∈∅ D．∅⊆{0}【思路点拨】{0}是只有一个元素0的集合，0是元素，∅是不含任何元素的集合．变式训练1下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅.其中正确的个数是(B)A．0 B．1 C．2 D．3【提示】空集的子集是空集，故①错误；空集只有一个子集，还是空集，故②错误；空集是任何非空集合的真子集，故③错误．【例2】已知集合M＝{x|x>1}，N＝{x|2≤x≤4}，则集合M，N的关系是(B)A．MN B．NM C．M＝N D．M⊆N【思路点拨】在同一个数轴上作出两个集合的数轴表示，由定义知，集合N是M的真子集．变式训练2设A＝{0，1}，且B＝{x|x∈A}，则集合A，B的关系是(C)A．A⊂B B．B⊂A C．A＝B D．A∈B【例3】写出集合A＝{1，2，3}的所有子集，并指出哪些是真子集．【思路点拨】集合A中有3个元素，其子集可以是空集、含1个元素的集合、含2个元素的集合和含3个元素的集合．答案：解：集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}．除集合{1，2，3}外，其他集合都是集合A的真子集．变式训练3设集合A＝{x∈N|－2<x<2}的非空子集的个数是(B)A．8 B．7 C．4 D．3【例4】已知{a}⊆A{a，b，c}，则满足条件的集合A的个数为__3__个．【思路点拨】由{a}⊆A知A中必有元素a，由A{a，b，c}知A中元素除a外，还必须在b，c两个元素中任取0个或1个，即A可能是{a}，{a，b}，{a，c}．变式训练4设集合A＝{2，9}，B＝{，2}，若A＝B，则实数a＝____±3____.【例5】集合A＝{x|(x＋2)(x－5)≤0}，B＝{x|m－2<x<2m－3}，且B⊆A，求实数m的取值范围．【思路点拨】先求出A的解集，再根据条件B⊆A进行解题．答案：解：A＝{－2≤x≤5}，∵B⊆A，(1)当m－2≥2m－3⇒m≤1时，B＝∅，满足；(2)B≠∅，∵B⊆A，则综上(1)，(2)，m的取值范围为(－∞，4]．变式训练5已知集合M＝{x|－px＋q＝0}＝{1，3}，求实数p，q的值．解：集合M＝{x|－px＋q＝0}＝{1，3}，可得1，3是方程－px＋q＝0的两根，利用根与系数的关系，则1＋3＝p，1×3＝q，∴p＝4，q＝3.高考链接高考链接1．若集合A＝{x|1<x<6}，B＝{x|1<x<6，x∈N}，则集合A与集合B的关系是(B)A．A＝B B．B⊆AC．B⊇A D．B∈A2．下列关系中，正确的是(C)A．∅∈{0} B．N*⊇NC．N⊆Z D．∅＝{x|＝0}3．A＝{1，4，3－2x}，B＝{1，}，若A⊇B，则x的值是____－3，－2，2．【提示】根据子集的定义＝4或＝3－2x⇒x＝±2或x＝1或x＝－3，验证得x＝1时不满足互异性．4．A＝{0，2}，B＝{0，1}，则A∪B的真子集个数为___7个_____．【提示】A∪B＝{0，1，2}，真子集个数为23－1.同步精练同步精练选择题1．下列四个命题中正确的是(B)A．空集没有子集B．空集是任何一个集合的子集C．{0}＝∅D．任何一个集合必有两个或两个以上的子集2．设集合A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N，y∈N}，则集合A中有________个元素．(A)A．5 B．6 C．7 D．83．若集合M＝{x|＋ax＋b＝0}，N＝{－4，3}，且M＝N，则a，b的值分别为(C)A．1，12B．－1，－12C．1，－12D．－1，12【提示】由M＝N知3，－4是方程＋ax＋b＝0的解，代入得32＋3a＋b＝0，(－4)2－4a＋b＝0，联立解得a，b的值．4．已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x|x＝2|a|，a∈A}，则B等于(B)A．{－4，0，4，8} B．{0，4，8}C．{0，2，4} D．{2，4，8}【提示】将集合A中的元素分别代入集合B中，即可求得．5．已知集合P＝{x|－4＝0}，Q＝{－2}，则下列关系正确的是(D)A．PQ B．P⊉QC．P＝Q D．PQ填空题6．已知集合A＝{x||x|≤3}，B＝{x|x≥a}且A⊆B，则实数a的取值范围是__{a|a≤－3}．【提示】A＝{x||x|≤3}＝{x|－3≤x≤3}，用数轴表示可得．7．用符号“∈”“∉”“”“”“＝”填空．(1)1___∈_____{x|x3＝1}; (2)N__________Z；{x|x2－1＝0}___＝_____{－1，1}; (4){1，3，5}________{1，3}；(5)∅________{0}; (6)0___∉_____∅.8．设集合M＝{1，3，a}，N＝{1，－a＋1}，且M⊇N，则实数a的值为－1或2．【提示】∵M⊇N，∴－a＋1＝3或－a＋1＝a，解得a＝－1或a＝1或a＝2.当a＝1时，M＝{1，3，1}与集合中元素的互异性矛盾，舍去，故a＝－1或a＝2.解答题9．已知集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|－x－6＝0}．若A⊆B，求实数a的值．解：∵A⊆B，又A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|－x－6＝0}＝{－2，3}，∴(1)当A＝∅时，即a＝0，满足条件．(2)当A≠∅时，A⊆B⇒A＝{－2}或A＝{3}．①当A＝{－2}时，有－2a－1＝0，∴a＝，②当A＝{3}时，有3a－1＝0，∴a＝综上所述，实数a的值为或0或10．设集合A＝，B＝，试判断A，B的关系．故B⊆A故B⊆A.11．已知集合A＝，其中方程＝1有唯一实数解，求集合A.解：∵方程＝1有唯一实数解，∴－x－1－a＝0有两个相等实数解，且x≠±1，或a＝±1，即Δ＝(－1)2＋4×(a＋