2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)5.1导数的概念及其意义(精讲)(原卷版+解析)

5.1导数的概念及其意义（精讲）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析重点题型一：求物体运动的平均速度及瞬时速度角度1：平均速度角度2：瞬时速度重点题型二：求解曲线在某点处的切线斜率重点题型三：函数的平均变化率和瞬时变化率重点题型四：导数定义的理解与应用重点题型五：导数几何意义的应用角度1：求切线方程（在型，过型）角度2：根据切线斜率求切点坐标第一部分：思第一部分：思维导图总览全局第二部分：知识点精准记忆第二部分：知识点精准记忆知识点一：函数的平均变化率1、定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为2、求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出和②作商：对所求得的差作商，即.3、平均变化率的几何意义平均变化率如图：表示直线的斜率。知识点二：函数在处的导数（瞬时变化率）1、定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.2、定义法求导数步骤：求函数的增量：；求平均变化率：；求极限，得导数：.知识点三：导数的几何意义如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率知识点四：曲线的切线问题1、在型求切线方程已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.第二步：计算切线斜率.第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。根据直线的点斜式方程得到切线方程：.2、过型求切线方程已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.步骤：第一步：设切点第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.第三部分：课前自我评估测试第三部分：课前自我评估测试1．(2023·全国·高二课时练习）某物体的运动路程（单位：）与时间（单位：）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（

）A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s2．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，若，则__________.3．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，其中，此函数在区间上的平均变化率为，则实数m的值为__________．4．(2023·河南·郑州四中高三阶段练习（文））如图，已知直线l是曲线在处的切线，则的值为___________．5．(2023·全国·高二单元测试）试求过点且与曲线相切的直线的斜率．第四部分：第四部分：典型例题剖析重点题型一：求物体运动的平均速度及瞬时速度角度1：平均速度典型例题例题1．(2023·全国·高二课时练习）某物体沿水平方向运动，其前进距离（米）与时间（秒）的关系为，则该物体在运动前2秒的平均速度为（

）A．18米/秒 B．13米/秒 C．9米/秒 D．米/秒例题2．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（

）A．2 B．1 C． D．例题3．(2023·全国·高二课时练习）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离(单位：)与时间(单位：s)之间的函数关系为，则：（1）前内球的平均速度为________m/s；（2）在这段时间内球的平均速度为________m/s.同类题型归类练1．(2023·全国·高二课时练习）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段上的平均速度分别为，则三者的大小关系为（

）A． B． C． D．2．(2023·全国·高二期末）已知自由落体的物体的运动方程为，求：(1)物体在到这段时间内的平均速度；角度2：瞬时速度典型例题例题1．(2023·西藏·拉萨中学高二阶段练习（理））某物体做直线运动，其运动规律是（时间的单位：，位移的单位：），则它在4s末的瞬时速度为（

）.A．m/s B．m/s C．m/s D．m/s例题2．(2023·湖南·高二课时练习）将原油精炼为汽油、柴油等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第时，原油的温度（单位：℃）为.计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.例题3．(2023·江苏·高二课时练习）已知函数．(1)函数在区间，，上的平均变化率各是多少？(2)函数在处的瞬时变化率是多少？同类题型归类练1．(2023·北京大兴·高二期中）一个小球从的高处下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则时小球的瞬时速度（单位：）为（

）A． B． C． D．2．(2023·全国·高二课时练习）若一物体运动方程如下（位移单位：，时间单位：求：(1)物体在内的平均速度；(2)物体的初速度；(3)物体在时的瞬时速度.重点题型二：求解曲线在某点处的切线斜率（倾斜角）典型例题例题1．(2023·全国·高二课时练习）曲线在点处的切线的倾斜角为（

）A． B． C． D．例题2．(2023·河南开封·高二期末（文））设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（

）A． B． C． D．例题3．(2023·全国·高二课时练习）设为可导函数，且满足条件，则曲线在点处的切线的斜率为（

）A．10 B．3 C．6 D．8例题4．(2023·湖南·高二课时练习）设是曲线上一点，求曲线在点处切线的斜率.同类题型归类练1．(2023·山东·文登新一中高二期中）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（

）A． B． C．1 D．22．(2023·全国·高二课时练习）曲线在点处的斜率为（

）A． B． C．2 D．43．(2023·全国·高二课时练习）设，若，则（

）.A．2 B．-2 C．3 D．不确定重点题型三：平均变化率和瞬时变化率典型例题例题1．(2023·北京丰台·高二期中）当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（

）A．1.21 B．0.21 C．2.1 D．12.1例题2．(2023·全国·高二课时练习）函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．不能确定例题3．(2023·山东·巨野县实验中学高二阶段练习）若函数，当时，平均变化率为2，则等于（

）A． B．2 C．3 D．1例题4．(2023·广东·南海中学高二期中）设，则（

）A． B． C．4 D．8同类题型归类练1．(2023·北京·北理工附中高二阶段练习）已知函数，则在以和为端点闭区间上的平均变化率为（

）A． B． C． D．2．(2023·全国·高二课时练习）函数在区间上的平均变化率等于（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高二课时练习）一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为（的单位：m，t的单位：s），则时的瞬时速度为（

）A． B． C． D．4．(2023·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二期中（理））函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（

）A． B．1 C．2 D．重点题型四：导数定义的理解与应用典型例题例题1．(2023·北京市房山区房山中学高二期中）函数的图象如图所示，则与的大小关系是（

）A．B．C．D．例题2．(2023·全国·高二课时练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（

）A．B．C．D．例题3．(2023·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（

）A． B．C． D．同类题型归类练1．(2023·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））已知函数的图像如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．2．(2023·江苏·高二课时练习）如图，求，并估计．重点题型五：导数几何意义的应用角度1：求切线方程（在型，过型）典型例题例题1．(2023·江苏南通·高二阶段练习）已知函数图像上两点、.(1)若割线的斜率不大于，求的范围；(2)用导数的定义求函数在处的导数，并求在点处的切线方程．例题2．(2023·全国·高二课时练习）已知曲线．求：（1）曲线上横坐标为1的点处的切线方程；例题3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）若函数的图象为曲线，过点作曲线的切线，求切线的方程．同类题型归类练1．(2023·全国·高二专题练习）已知曲线C：y＝x3＋.求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．2．(2023·全国·高二课时练习）试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率以及切线方程．3．(2023·全国·高二课时练习）求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1，2)处的切线方程.4．(2023·全国·高二课时练习）求抛物线f(x)＝x2－x在点(2，2)处的切线方程.5．(2023·全国·高二专题练习）试求过点且与曲线相切的直线方程．角度2：根据切线斜率求切点坐标典型例题例题1．（多选）(2023·全国·高二专题练习）（多选）已知曲线在点处的切线平行于直线，那么点的坐标为（

）A． B． C． D．同类题型归类练2．(2023·全国·高二课时练习）曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为______．5.1导数的概念及其意义（精讲）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析重点题型一：求物体运动的平均速度及瞬时速度角度1：平均速度角度2：瞬时速度重点题型二：求解曲线在某点处的切线斜率重点题型三：函数的平均变化率和瞬时变化率重点题型四：导数定义的理解与应用重点题型五：导数几何意义的应用角度1：求切线方程（在型，过型）角度2：根据切线斜率求切点坐标第一部分：思第一部分：思维导图总览全局第二部分：知识点精准记忆第二部分：知识点精准记忆知识点一：函数的平均变化率1、定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为2、求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出和②作商：对所求得的差作商，即.3、平均变化率的几何意义平均变化率如图：表示直线的斜率。知识点二：函数在处的导数（瞬时变化率）1、定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.2、定义法求导数步骤：求函数的增量：；求平均变化率：；求极限，得导数：.知识点三：导数的几何意义如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率知识点四：曲线的切线问题1、在型求切线方程已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.第二步：计算切线斜率.第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。根据直线的点斜式方程得到切线方程：.2、过型求切线方程已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.步骤：第一步：设切点第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.第三部分：课前自我评估测试第三部分：课前自我评估测试1．(2023·全国·高二课时练习）某物体的运动路程（单位：）与时间（单位：）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（

）A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s答案：D【详解】该物体在时间段上的平均速度为，当无限趋近于0时，无限趋近于3，即该物体在s时的瞬时速度为3m/s．故选：D2．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，若，则__________.答案：【详解】依题意，.故答案为：3．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，其中，此函数在区间上的平均变化率为，则实数m的值为__________．答案：【详解】解：根据题意，函数在区间上的平均变化率为：解得：故答案为：2.4．(2023·河南·郑州四中高三阶段练习（文））如图，已知直线l是曲线在处的切线，则的值为___________．答案：【详解】由已知，所以．故答案为：．5．(2023·全国·高二单元测试）试求过点且与曲线相切的直线的斜率．答案：或6【详解】设切点坐标为，则有．因为，所以．切线方程为，将点代入，得，所以，得或．当时，；当时，．所以所求直线的斜率为或6．第四部分：第四部分：典型例题剖析重点题型一：求物体运动的平均速度及瞬时速度角度1：平均速度典型例题例题1．(2023·全国·高二课时练习）某物体沿水平方向运动，其前进距离（米）与时间（秒）的关系为，则该物体在运动前2秒的平均速度为（

）A．18米/秒 B．13米/秒 C．9米/秒 D．米/秒答案：C【详解】∵，∴该物体在运动前2秒的平均速度为（米/秒）．故选：C．例题2．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（

）A．2 B．1 C． D．答案：A【详解】，，因为物体在这段时间内的平均速度为，所以，解得，故选：A例题3．(2023·全国·高二课时练习）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离(单位：)与时间(单位：s)之间的函数关系为，则：（1）前内球的平均速度为________m/s；（2）在这段时间内球的平均速度为________m/s.答案：

8

12【详解】第一空：由题设知，Δt＝3s，Δh＝h(3)－h(0)＝24(m)，即平均速度为v＝＝＝8(m/s).第二空：由题设知，Δt＝3－2＝1(s)，Δh＝h(3)－h(2)＝12(m)，即平均速度为v＝＝12(m/s).故答案为：8；12.同类题型归类练1．(2023·全国·高二课时练习）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段上的平均速度分别为，则三者的大小关系为（

）A． B． C． D．答案：C【详解】由题意得，，由题图易知，∴，故选：C.2．(2023·全国·高二期末）已知自由落体的物体的运动方程为，求：(1)物体在到这段时间内的平均速度；答案：(1)(1)解：物体在到这段时间内路程的增量，因此，物体在这段时间内的平均速度角度2：瞬时速度典型例题例题1．(2023·西藏·拉萨中学高二阶段练习（理））某物体做直线运动，其运动规律是（时间的单位：，位移的单位：），则它在4s末的瞬时速度为（

）.A．m/s B．m/s C．m/s D．m/s答案：B【详解】∵，，∴.故选：B.例题2．(2023·湖南·高二课时练习）将原油精炼为汽油、柴油等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第时，原油的温度（单位：℃）为.计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.答案：答案见解析【详解】在第2h时，原油温度的瞬时变化率为：，其意义表示当x＝2h时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，在第2h附近，原油温度大约以的速率下降.在第6h时，原油温度的瞬时变化率为：，其意义表示当x＝6h时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，在第6h附近，原油温度大约以的速率上升.例题3．(2023·江苏·高二课时练习）已知函数．(1)函数在区间，，上的平均变化率各是多少？(2)函数在处的瞬时变化率是多少？答案：(1)，，；(2)(1)解：因为，所以，，，，该函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为(2)解：函数在处的瞬时变化率为同类题型归类练1．(2023·北京大兴·高二期中）一个小球从的高处下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则时小球的瞬时速度（单位：）为（

）A． B． C． D．答案：B【详解】由题意可知时小球的瞬时速度为.故选：B.2．(2023·全国·高二课时练习）若一物体运动方程如下（位移单位：，时间单位：求：(1)物体在内的平均速度；(2)物体的初速度；(3)物体在时的瞬时速度.答案：(1)(2)(3)（1）解：由已知在时，其时间变化量为，其位移变化量为，故所求平均速度为；（2）解：求物体的初速度，即求物体在时的瞬时速度.因为物体在附近位移的平均变化率为所以物体在处位移的瞬时变化率为，即物体的初速度.（3）解：因为物体在附近位移的平均变化率为，故物体在时的瞬时速度为，即物体在时的瞬时速度为．重点题型二：求解曲线在某点处的切线斜率（倾斜角）典型例题例题1．(2023·全国·高二课时练习）曲线在点处的切线的倾斜角为（

）A． B． C． D．答案：C【详解】∵，∴．又切线的倾斜角的范围为，∴所求倾斜角为．故选：C例题2．(2023·河南开封·高二期末（文））设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（

）A． B． C． D．答案：C【详解】因为，所以，则曲线在点处的切线斜率为，故所求切线的倾斜角为.故选：C例题3．(2023·全国·高二课时练习）设为可导函数，且满足条件，则曲线在点处的切线的斜率为（

）A．10 B．3 C．6 D．8答案：A【详解】因为，所以，即，因此曲线在点处的切线的斜率为.故选：A.例题4．(2023·湖南·高二课时练习）设是曲线上一点，求曲线在点处切线的斜率.答案：【详解】，，当无限趋近于0时，无限趋近于所以曲线在点P处切线的斜率.同类题型归类练1．(2023·山东·文登新一中高二期中）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（

）A． B． C．1 D．2答案：A【详解】解：因为存在导函数且满足，所以，即曲线上的点处的切线的斜率为，故选：A.2．(2023·全国·高二课时练习）曲线在点处的斜率为（

）A． B． C．2 D．4答案：A【详解】因为，所以.故选：A.3．(2023·全国·高二课时练习）设，若，则（

）.A．2 B．-2 C．3 D．不确定答案：A【详解】因为，所以.故选：A.重点题型三：平均变化率和瞬时变化率典型例题例题1．(2023·北京丰台·高二期中）当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（

）A．1.21 B．0.21 C．2.1 D．12.1答案：C【详解】△，△．所以函数的平均变化率为．故选：C例题2．(2023·全国·高二课时练习）函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．不能确定答案：A【详解】，.由题意，知，所以.故选：A.例题3．(2023·山东·巨野县实验中学高二阶段练习）若函数，当时，平均变化率为2，则等于（

）A． B．2 C．3 D．1答案：D【详解】由题得，所以故选：D.例题4．(2023·广东·南海中学高二期中）设，则（

）A． B． C．4 D．8答案：C【详解】故选：C同类题型归类练1．(2023·北京·北理工附中高二阶段练习）已知函数，则在以和为端点闭区间上的平均变化率为（

）A． B． C． D．答案：A【详解】，,该函数在区间，上的平均变化率为:,故选：．2．(2023·全国·高二课时练习）函数在区间上的平均变化率等于（

）A． B． C． D．答案：C【详解】函数在区间上的平均变化率等于故选：C3．(2023·全国·高二课时练习）一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为（的单位：m，t的单位：s），则时的瞬时速度为（

）A． B． C． D．答案：D【详解】∵，∴故选：D4．(2023·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二期中（理））函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（

）A． B．1 C．2 D．答案：B【详解】函数在区间上的平均变化率等于，在时的瞬时变化率为，所以，解得.故选：B重点题型四：导数定义的理解与应用典型例题例题1．(2023·北京市房山区房山中学高二期中）函数的图象如图所示，则与的大小关系是（

）A．B．C．D．答案：A【详解】解：由图可知，且；故选：A例题2．(2023·全国·高二课时练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（

）A．B．C．D．答案：B【详解】由图象可知在上单调递增故，即故选：B例题3．(2023·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（

）A． B．C． D．答案：A【详解】由f(x)的图象可知，函数f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，由导数的几何意义可知，先减后增，且恒大于0，故符合题意的只有选项A.故选：A.同类题型归类练1．(2023·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））已知函数的图像如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．答案：B【详解】由题图可知函数的图像在处的切线的斜率比在处的切线的斜率大，且均为正数，所以.的斜率为，其比在处的切线的斜率小，但比在处的切线的斜率大，所以.故选:B2．(2023·江苏·高二课时练习）如图，求，并估计．答案：，【详解】解：由题意得，解得，所以，则，由图可估计为函数在处的切线，所以；重点题型五：导数几何意义的应用角度1：求切线方程（在型，过型）典型例题例题1．(2023·江苏南通·高二阶段练习）已知函数图像上两点、.(1)若割线的斜率不大于，求的范围；(2)用导数的定义求函数在处的导数，并求在点处的切线方程．答案：(1)(2)(1)解：，因为割线AB的斜率不大于，所以，解得，又，所以的范围为；(2)解：，又，所以点A处的切线方程为，即.例题2．(2023·全国·高二课时练习）已知曲线．求：（1）曲线上横坐标为1的点处的切线方程；答案：（1）；【详解】（1）将代入曲线的方程，得切点为过点的切线方程为，即；例题3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）若函数的图象为曲线，过点作曲线的切线，求切线的方程．答案：（1）y＝3x－2；（2）y＝0或y＝3x－2.【详解】解：（1）由