高考数学大题精做专题02各类角的证明与求解(第三篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题02各类角的证明与求解类型对应典例平移法作异面直线所成角典例1利用三余弦公式求解异面直线所成角典例2定义法求解线面角典例3转化法求线面角典例4常规二面角的求解典例5附加条件的二面角求解典例6【典例1】【天津市南开区2019届高三第二学期模拟】如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E分别是AC，BC的中点，F在SE上，且SF=2FE.（Ⅰ）求异面直线AF与DE所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：AF⊥平面SBC；（Ⅲ）设G为线段DE的中点，求直线AG与平面SBC所成角的余弦值。【典例2】【天津市红桥区2019届高三一模】如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，，.（1）求证：平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）求点E到平面ACD的距离。【典例3】【2020届河北省衡水中学模拟】如图，四棱锥中，平面，，，，为的中点.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.【典例4】【甘肃省张掖市2020届高三诊断】如图，在三棱锥中，，，，，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【典例5】【湖南省湖南师范大学附属中学、岳阳市第一中等六校2020届联考】在中，，．已知，分别是，的中点．将沿折起，使到的位置且二面角的大小是．连接，，如图：（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的大小．【典例6】【2020届重庆育才中学高三入学考试】已知长方形中，，，现将长方形沿对角线折起，使，得到一个四面体，如图所示.（1）试问：在折叠的过程中，异面直线与能否垂直？若能垂直，求出相应的的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体体积最大时，求二面角的余弦值.【针对训练】1.【天津市河西区2019届高三一模】如图，已知三棱锥中，平面平面ABC，，，BD=3，AD=1，AC=BC，M为线段AB的中点.（Ⅰ）求证：平面ACD；（Ⅱ）求异面直线MD与BC所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线MD与平面ACD所成角的余弦值.2.【湖师范大学附属中学2020届模拟】如图，在直三棱柱中，D为AC边的中点，，，.（1）求证：AB1/∥平面BDC1；（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值.3.【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考】如图所示，在四棱锥中，平面，，是线段的中垂线，，为线段上的点．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若为的中点，求异面直线与所成角的正切值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的大小．4.【湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷】如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且平面ABCD⊥平面DCE．AF∥DE，且AF＝DE＝2，BF＝2．（1）求证：AC⊥BE；（2）若点F到平面DCE的距离为，求直线EC与平面BDE所成角的正弦值．5.【2020届山西长治联考】如图所示，和所在平面互相垂直，且，，，分别为，的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.6.【安徽省安庆市2020届高三模拟】如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面上的射影恰好落在边上.（1）求证：平面平面；（2）当时，求二面角的余弦值.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题02各类角的证明与求解类型对应典例平移法作异面直线所成角典例1利用三余弦公式求解异面直线所成角典例2定义法求解线面角典例3转化法求线面角典例4常规二面角的求解典例5附加条件的二面角求解典例6【典例1】【天津市南开区2019届高三第二学期模拟】如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E分别是AC，BC的中点，F在SE上，且SF=2FE.（Ⅰ）求异面直线AF与DE所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：AF⊥平面SBC；（Ⅲ）设G为线段DE的中点，求直线AG与平面SBC所成角的余弦值。【思路引导】（Ⅰ）由题意可知DE∥AB，故∠FAB或其补角为异面直线AF与DE所成角；（Ⅱ）由（I）知AF⊥SE，易证BC⊥AF，从而AF⊥平面SBC；（Ⅲ）延长AG交BC于P点，连结PF.由（II）知AF⊥平面SBC，所以PF为AP在平面SBC上的投影，故∠APF即为直线AG与平面SBC所成角【详解】解（I）.连结BF.在△ABC中，D，E分别是AC，BC的中点，∴DE∥AB，∴∠FAB或其补角为异面直线AF与DE所成角由AC=AB=SA=2，AC⊥AB，E是BC的中点，得AE=∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AE.在Rt△SAE中，SE=，可得∵SA⊥底面ABC，∴.SA⊥BC，又BC⊥AE，∴BC⊥平面SAE，∴BC⊥SE，∵∴BF=∴即异面直线AF与DE所成角的余弦值。（II）.由（I）知，∴AF⊥SE.∵BC⊥平面SAE，所以BC⊥AF.又SEBC=E，.AF⊥平面SBC.（III）.延长AG交BC于P点，连结PF.由（II）知AF⊥平面SBC，∴PF为AP在平面SBC上的投影，∴∠APF即为直线AG与平面SBC所成角∵G为线段DE的中点，∴CP=2PE，又SF=2FE，.∴,即直线AG与平面SBC所成角的余弦值为【典例2】【天津市红桥区2019届高三一模】如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，，.（1）求证：平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）求点E到平面ACD的距离。【思路引导】（1）连接OC，由BO＝DO，AB＝AD，知AO⊥BD，由BO＝DO，BC＝CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由题设知，AC＝2，故AO2+CO2＝AC2，由此能够证明AO⊥平面BCD；（2）取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在△OME中，，由此能求出异面直线AB与CD所成角大小的余弦；（3）设点E到平面ACD的距离为h．在△ACD中，，故，由AO＝1，知，由此能求出点E到平面ACD的距离．【详解】（1）证明：连接OC，∵BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD，∵BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD．在△AOC中，由题设知，AC＝2，∴AO2+CO2＝AC2，∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC．∵AO⊥BD，BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD．（2）解：取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在△OME中，，∵OM是直角△AOC斜边AC上的中线，∴，∴，∴异面直线AB与CD所成角大小的余弦为（3）解：设点E到平面ACD的距离为h．，，在△ACD中，，∴，∵AO＝1，，∴，∴点E到平面ACD的距离为．【典例3】【2020届河北省衡水中学模拟】如图，四棱锥中，平面，，，，为的中点.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.【思路引导】（Ⅰ）由线面平行的性质可得，由勾股定理可得，从而可得平面，进而可得结果；（Ⅱ）取的中点为，连接，可证明为平行四边形，，是与所成的角，利用余弦定理可得结果；(Ⅲ)作于，由面面垂直的性质可得平面，连接，则就是直线与平面所成角，求出与的值，进而可得结果.【详解】（Ⅰ）平面平面，

，，

，

又平面，平面，平面平面；（Ⅱ）取的中点为，连接，则，为平行四边形，，是与所成的角，，，，又直角三角形中，所以，，即异面直线与所成角的余弦值为；(Ⅲ)作，为垂足.

由(Ⅰ)知平面平面，

平面平面，

平面，连接，则

就是直线与平面所成角，在中,，

，

即直线与平面所成角的正弦值为.【典例4】【甘肃省张掖市2020届高三诊断】如图，在三棱锥中，，，，，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【思路引导】（1）要证平面BDE⊥平面ACD，需证BE⊥面ACD，由数量关系可得，则可求证．（2）用等体积方法求出C到面ABD的距离，则可求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．【详解】（1）由已知得，，又，∴.又∵，∴面，∵面，∴面面.（2）设到平面的距离为，由，得，则.设与平面所成角为，则，∴与平面所成角的正弦值为.【典例5】【湖南省湖南师范大学附属中学、岳阳市第一中等六校2020届联考】在中，，．已知，分别是，的中点．将沿折起，使到的位置且二面角的大小是．连接，，如图：（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的大小．高三下学期联考理科数学试题【思路引导】（Ⅰ）法一：由．设的中点为，连接．设的中点为，连接，．而即为二面角的平面角．，推导出．由，，从而平面．由，得平面，从而，即．进而平面．推导出四边形为平行四边形．从而，平面，由此能证明平面平面．法二：以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面平面．（Ⅱ）以为原点，在平面中过.作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成二面角大小．【详解】（Ⅰ）证法一：是的中点，．设的中点为，连接．设的中点为，连接，．由题意得，，即为二面角的平面角．，为的中点．，为等边三角形，．，，，平面．，平面，，即．，平面．，分别为，的中点．，四边形为平行四边形．，平面，又平面．平面平面．法二：如图，以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设．则，，，，．设平面的法向量为，，，，令，则，设平面的法向量为，，，，取，得．，平面平面．解：（Ⅱ）如图，以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设．则，，，，．平面的法向量设平面的法向量为，，，，取，得．设平面与平面所成的二面角的平面角为，由图形观察可知，平面与平面所成的二面角的平面角为锐角．平面与平面所成二面角大小为．【典例6】【2020届重庆育才中学高三入学考试】已知长方形中，，，现将长方形沿对角线折起，使，得到一个四面体，如图所示.（1）试问：在折叠的过程中，异面直线与能否垂直？若能垂直，求出相应的的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体体积最大时，求二面角的余弦值.【思路引导】（1）若AB⊥CD，得AB⊥面ACD，由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,解得a2=1，成立;（2）四面体A﹣BCD体积最大时面ABD⊥面BCD，以A为原点，在平面ACD中过O作BD的垂线为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CD﹣B的余弦值．【详解】(1)若AB⊥CD，因为AB⊥AD，AD∩CD＝D，所以AB⊥面ACD⇒AB⊥AC.由于AB=1,AD=BC=,AC=,由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,所以12＋a2＝()2⇒a＝1,所以在折叠的过程中，异面直线AB与CD可以垂直,此时的值为1(2)要使四面体A－BCD体积最大，因为△BCD面积为定值，所以只需三棱锥A－BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD.过A作AO⊥BD于O，则AO⊥面BCD，以O为原点建立空间直角坐标系(如图)，则易知,显然，面BCD的法向量为,设面ACD的法向量为＝(x，y，z),因为所以，令y＝，得＝(1，，2)，故二面角A－CD－B的余弦值即为.【针对训练】1.【天津市河西区2019届高三一模】如图，已知三棱锥中，平面平面ABC，，，BD=3，AD=1，AC=BC，M为线段AB的中点.（Ⅰ）求证：平面ACD；（Ⅱ）求异面直线MD与BC所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线MD与平面ACD所成角的余弦值.【思路引导】（Ⅰ）由题意结合几何关系可得，结合，和线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；（Ⅱ）取AC中点N，连接MN，DN，易知（或其补角）为异面直线MD与BC所成的角，据此结合几何性质可得异面直线MD与BC所成角的余弦值.（Ⅲ）结合（Ⅱ）可知为直线MD与平面ACD所成的角，据此可得线面角的余弦值.【详解】（Ⅰ）∵平面平面ABC于AB，，平面ABD，∴平面ABC，∴，又，，∴平面ACD.（Ⅱ）取AC中点N，连接MN，DN，∵M是AB中点，∴，∴（或其补角）为异面直线MD与BC所成的角，由（Ⅰ）知平面ACD，∴平面ACD，，在中，，，∴，即异面直线MD与BC所成角的余弦值为.（Ⅲ）由（Ⅱ）为直线MD与平面ACD所成的角，在中，，∴.2.【湖师范大学附属中学2020届模拟】如图，在直三棱柱中，D为AC边的中点，，，.（1）求证：AB1/∥平面BDC1；（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值.【思路引导】（1）连接B1C交BC1于点E连接DE，推导出DE/∥AB1由此证明AB1/∥平面BDC1(2)由异面直线AB1与BC1所成角即DE与BC1所成角．由此能求出异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．【详解】（1）.如图，连接B1C交BC1于点E，连接DE，由直三棱柱ABC-A1B1C1可知，点E为B1C的中点，又D为AC的中点，所以DE/∥AB1，且平面BDC1，平面BDC1，所以AB1/∥平面BDC1（2）.由（1）可知异面直线AB1与BC1所成角即DE与BC1所成角.因为，，所以，.又因为，，所以，所以．由，，得在△EC1D中，，故所求角的余弦值为.3.【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考】如图所示，在四棱锥中，平面，，是线段的中垂线，，为线段上的点．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若为的中点，求异面直线与所成角的正切值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的大小．【思路引导】（Ⅰ）根据线面垂直得线线垂直，再根据线线垂直得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论，（Ⅱ）先根据三角形中位线性质得线线平行，即得异面直线所成角的角或补角，再根据直角三角形求结果，（Ⅲ）作,根据线面垂直判定定理得面，即得线面角，最后根据直角三角形求结果.【详解】（Ⅰ）面,面又，面又面面面(II)连结,分别为边的中点，为异面直线与所成角或其补角在中，所以异面直线与所成角的正切值为.(III)连结，作交于点,由(I)可知面面面面=面面=面，为斜线在面内的射影,为线与面所成角,在中，直线与面所成角为.4.【湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷】如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且平面ABCD⊥平面DCE．AF∥DE，且AF＝DE＝2，BF＝2．（1）求证：AC⊥BE；（2）若点F到平面DCE的距离为，求直线EC与平面BDE所成角的正弦值．【思路引导】（1）由题意及勾股数可证得平面平面，再由面面垂直的性质可证DE与平面ABCD垂直,可得AC⊥DE，再结合菱形中的垂直证得平面，从而得到结论；（2）设，连接.由（1）平面，则是在平面内的射影，可得与平面所成的角为.由点F到平面DCE的距离可得菱形中，，可求得OC，在中，可求得EC，则可得结果.【详解】（1）∵，，∴，∴，即.∵，，∴.∵平面平面，平面，平面平面，∴平面，∴AC⊥DE.①∵四边形为菱形，∴.②由①②，且，∴平面.∴.（2）设，连接.由（1）平面，∴是在平面内的射影，∴与平面所成的角为.∵，平面，平面，∴平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离.在平面内作，交延长线于.∵平面平面，∴平面，∴.（或转化为点到平面的距离）∵，∴，∴菱形中，，∴.在中，，∴.∴与平面所成角的正弦值为.5.【2020届山西长治联考】如图所示，和所在平面互相垂直，且，，，分别为，的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.【思路引导】（1）（方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，即可证明EF⊥BC.（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得,所以，因此,从而得；（2）（方法一）在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG，由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，从而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG垂直BF，因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角；在△EOC中，EO=EC=BC·cos30°=，由△BGO∽△BFC知，,因此tan∠EGO=,从而sin∠EGO=，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.（方法二）在图2中，平面BFC的一个法向量为，设平面BEF的法向量，又,由得其中一个，设二面角E-BF-C的大小为，且由题意知为锐角，则，因此sin∠EGO=，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.解：（1）证明：（方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，又EF面EFO，所以EF⊥BC.（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线