中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题十函数的奇偶性(原卷版+解析)

专题十函数的奇偶性思维导图知识要点知识要点1．函数的奇偶性奇偶性定义图像特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内①两个奇函数的“和函数”是奇函数，两个奇函数的“积函数”是偶函数．②两个偶函数的“和函数”和“积函数”都是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的“积函数”是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．典例解析典例解析【例1】判断下列函数的奇偶性：f(x)＝2＋x； (2)f(x)＝＋3；(3)f(x)＝＋2x＋3； (4)f(x)＝【变式训练1】设函数f(x)＝－4，x∈(－6，6]，那么f(x)是()A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数【例2】设函数f(x)＝＋bx＋c，对任意实数t都有f(t－1)＝f(－t－1)，那么()A．f(－3)<f(－1)<f(0) B．f(0)<f(－1)<f(－3)C．f(－1)<f(0)<f(－3) D．f(－1)<f(－3)<f(0)【变式训练2】已知偶函数f(x)在区间[－5，－2]上是单调增函数，且有最大值3，则f(x)在[2，5]上是()A．增函数且有最大值－3B．减函数且有最小值－3C．减函数且有最大值3 D．增函数且有最小值3【例3】已知f(x)是奇函数，在(－∞，0)上是增函数，求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．【变式训练3】已知奇函数f(x)，当x<0时，f(x)＝2x－4，则当x>0时，f(x)的解析式．【例4】奇函数f(x)在定义域(－∞，－1]内单调递减，且f(x)＋f(5－3x)<0，求x的取值范围．【变式训练4】函数f(x)＝|x|，g(x)＝－＋1，那么在(－∞，0)上，下列说法正确的是()A．f(x)为增函数，g(x)为减函数B．f(x)为减函数，g(x)为增函数C．f(x)，g(x)都是增函数D．f(x)，g(x)都是减函数【例5】已知f(x)是R上周期为2的函数，且f(1)＝2，f(2)＝3，则f(5)＋f(－2)＝_______.【变式训练5】已知函数f(x)是定义域在R上的偶函数，对任意x∈R都有f(x＋7)＝f(x)，若f(－4)＝3，则f(－2019)＝________.高考链接高考链接1．(四川省2015年对口升学考试试题)已知y＝f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝3，f(－2)＝－5，则f(－1)＋f(2)＝()A．－2 B．－1 C．1 D．22．下列函数中，为奇函数的是()A．y＝sin B．y＝sin2xC．y＝cos(2x＋π) D．y＝3．函数f(x)＝a＋(m－3)x－5为偶函数的充要条件是()A．a＝0 B．m＝3 C．a＝0且m＝0 D．a<04．(四川省2018年对口升学考试试题)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)．当0<x<1时，f(x)＝x＋1，则f(－1)＋f(0)＋f＝________(用数字作答)．同步精练同步精练选择题1．定义域为R的四个函数y＝，y＝，y＝x|x|，y＝sin(x－π)中，奇函数的个数是()A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．已知f(x)＝3＋(a－1)x＋1为偶函数，则a的值为()A．－1 B．0 C．1 D．23．函数f(x)＝－＋1(x>0)的奇偶性是()A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数4．函数f(x)＝的奇偶性是()A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数5．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－＋x，则当x<0时，f(x)的解析式为()A．f(x)＝x2－x B．f(x)＝－x2＋xC．f(x)＝x2＋x D．f(x)＝－x2－x6．已知f(x)是R上的偶函数，且满足f(x－3)＝f(x)，当x∈(－3，－1)时，f(x)＝＋1，则f(4)＝()A．－5 B．5 C．3 D．－3填空题7．设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围是．若函数f(x)＝是奇函数，则a的值为_______．9．设函数f(x)是R上的奇函数，且f(－a)＋f(－b)＋1＝f(a)＋f(b)－1，则f(a)＋f(b)＝________.10．若函数f(x)是定义在[3－a，5]上的奇函数，则a＝________.已知函数f(x)在R上是减函数，则满足f<f(1)的实数x的取值范围．12．用定义法证明下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3－； (2)f(x)＝13．定义域相同的奇函数f(x)和偶函数g(x)，满足f(x)＋g(x)＝，求f(x)与g(x)的解析式．14．已知f(x)＝(x∈R)．(1)求证：函数f(x)是奇函数；(2)求证：函数f(x)是增函数；(3)求函数f(x)在区间[－1，1]上的值域．专题十函数的奇偶性思维导图知识要点知识要点1．函数的奇偶性奇偶性定义图像特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内①两个奇函数的“和函数”是奇函数，两个奇函数的“积函数”是偶函数．②两个偶函数的“和函数”和“积函数”都是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的“积函数”是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．典例解析典例解析【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2＋x； (2)f(x)＝＋3；(3)f(x)＝＋2x＋3； (4)f(x)＝【思路点拨】判断函数的奇偶性，分两步：①定义域是否关于原点对称，若不对称，是非奇非偶函数；②若定义域关于原点对称，判断f(－x)与f(x)、－f(x)是否相等．若f(－x)＝f(x)，是偶函数；若f(－x)＝－f(x)，是奇函数；若前两个式子都不成立，是非奇非偶函数．答案：解：(1)定义域为R，f(－x)＝－f(x)，所以为奇函数．(2)定义域为R，f(－x)＝f(x)，所以为偶函数．(3)定义域为R，但f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，所以为非奇非偶函数．(4)定义域为x≠－1，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数．【变式训练1】设函数f(x)＝－4，x∈(－6，6]，那么f(x)是(D)A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数【例2】设函数f(x)＝＋bx＋c，对任意实数t都有f(t－1)＝f(－t－1)，那么(C)A．f(－3)<f(－1)<f(0) B．f(0)<f(－1)<f(－3)C．f(－1)<f(0)<f(－3) D．f(－1)<f(－3)<f(0)【思路点拨】二次函数的对称轴，开口，画简图．【变式训练2】已知偶函数f(x)在区间[－5，－2]上是单调增函数，且有最大值3，则f(x)在[2，5]上是(C)A．增函数且有最大值－3B．减函数且有最小值－3C．减函数且有最大值3 D．增函数且有最小值3【例3】已知f(x)是奇函数，在(－∞，0)上是增函数，求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．【思路点拨】综合利用奇函数、增函数的性质，建立两个关于原点对称区间上，任意函数值大小的关系．答案：证明：设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则－x1，－x2∈(－∞，0)，且－x1>－x2，∵f(x)是R上的增函数，∴f(－x1)>f(－x2)，又f(x)是奇函数，∴f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)，得f(x1)<f(x2)，故在(0，＋∞)是增函数．【变式训练3】已知奇函数f(x)，当x<0时，f(x)＝2x－4，则当x>0时，f(x)的解析式．解：设x>0⇒－x<0，∴f(－x)＝－2x－4，又f(－x)＝－f(x)⇒f(x)＝2x＋4.【例4】奇函数f(x)在定义域(－∞，－1]内单调递减，且f(x)＋f(5－3x)<0，求x的取值范围．【思路点拨】利用函数的奇偶性和单调性以及函数的三要素等基本概念解决问题．答案：解：由函数是奇函数知f(x)<f(3x－5)，∴⇒x≤－1，∴x的取值范围为(－∞，－1]．【变式训练4】函数f(x)＝|x|，g(x)＝－＋1，那么在(－∞，0)上，下列说法正确的是(B)A．f(x)为增函数，g(x)为减函数B．f(x)为减函数，g(x)为增函数C．f(x)，g(x)都是增函数D．f(x)，g(x)都是减函数【提示】利用绝对值和二次函数的图像可得答案．【例5】已知f(x)是R上周期为2的函数，且f(1)＝2，f(2)＝3，则f(5)＋f(－2)＝___5_____.【思路点拨】函数的周期性，主要运用f(x＋T)＝f(x)，将未知区间上的值转化为已知区间上的值．∵f(x)是周期为2的函数，∴f(5)＝f(2×2＋1)＝f(1)，f(－2)＝f[(－2)＋2×2]＝f(2)．【变式训练5】已知函数f(x)是定义域在R上的偶函数，对任意x∈R都有f(x＋7)＝f(x)，若f(－4)＝3，则f(－2019)＝___3_____.【提示】周期为7，f(－2019)＝f(－288×7－3)＝f(－3)＝f(－7＋4)＝f(4)＝f(－4)＝3.高考链接高考链接1．(四川省2015年对口升学考试试题)已知y＝f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝3，f(－2)＝－5，则f(－1)＋f(2)＝(D)A．－2 B．－1 C．1 D．2【提示】f(－1)＋f(2)＝－f(1)－f(－2)＝－3＋5＝2.2．下列函数中，为奇函数的是(B)A．y＝sin B．y＝sin2xC．y＝cos(2x＋π) D．y＝【提示】奇偶函数的定义，诱导公式．3．函数f(x)＝a＋(m－3)x－5为偶函数的充要条件是(B)A．a＝0 B．m＝3 C．a＝0且m＝0 D．a<04．(四川省2018年对口升学考试试题)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)．当0<x<1时，f(x)＝x＋1，则f(－1)＋f(0)＋f＝________(用数字作答)．【提示】f(x)在R上为奇函数，f(0)＝0，又f(x＋2)＝f(x)，因此周期为2，f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，又f(x)为奇函数，f(－1)＝－f(1)，∴f(－1)＝0，同步精练同步精练选择题1．定义域为R的四个函数y＝，y＝，y＝x|x|，y＝sin(x－π)中，奇函数的个数是(B)A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．已知f(x)＝3＋(a－1)x＋1为偶函数，则a的值为(C)A．－1 B．0 C．1 D．2【提示】∵f(－x)＝f(x)，∴a－1＝0，a＝1.3．函数f(x)＝－＋1(x>0)的奇偶性是(C)A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数【提示】定义域不关于原点对称．4．函数f(x)＝的奇偶性是(B)A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数【提示】∵定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．5．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－＋x，则当x<0时，f(x)的解析式为(C)A．f(x)＝－x B．f(x)＝－＋xC．f(x)＝＋x D．f(x)＝－－x【提示】当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－－x，又∵f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)＝＋x，∴当x<0时，f(x)＝＋x.6．已知f(x)是R上的偶函数，且满足f(x－3)＝f(x)，当x∈(－3，－1)时，f(x)＝＋1，则f(4)＝(B)A．－5 B．5 C．3 D．－3【提示】f(x)周期为－3，f(4)＝f(4－3×2)＝f(－2)＝5.填空题7．设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围是．【提示】∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．∴不等式f(1－m)＜f(m)⇒f(|1－m|)＜f(|m|)．又当x∈[0，2]时，f(x)是减函数，∴解得－1≤m＜若函数f(x)＝是奇函数，则a的值为___0_____．【提示】f(x)＋f(－x)＝0.9．设函数f(x)是R上的奇函数，且f(－a)＋f(－b)＋1＝f(a)＋f(b)－1，则f(a)＋f(b)＝____1____.【提示】∵f(x)为奇函数，∴－f