2024河南中考数学专题复习第三章 第十节 二次函数与线段、面积问题 课件

二次函数与线段、面积问题第十节【思维教练】要求抛物线的解析式，可根据题中所给条件代入两个点坐标即可求解；要求BC的长，由B，C两点的坐标再根据两点之间的距离公式求解．考点精讲例1

如图①，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式与BC的长；解：(1)∵抛物线经过点B(3，0)，C(0，3)，∴将(3，0)，(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c，得

解得

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；如图，连接BC，例1题图①∵OB＝3，OC＝3，∴BC＝

＝

；(2)如图②，点D为抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接BC，交DE于点F，连接AF，若AF＝BF，求点F的坐标；【思维教练】要求点F的坐标，可根据B，C两点的坐标求出点F所在直线的解析式，由DE⊥x轴和AF＝BF得出点F在AB的垂直平分线上，得出点F横坐标即可求解．例1题图②(2)∵DE⊥AB，且AF＝BF，∴点E为AB的中点，由(1)得，y＝－x2＋2x＋3，易得A(－1，0)，∴点E的坐标为(1，0)，∴点F的横坐标为x＝1，设直线BC的解析式为y＝kx＋m(k≠0)，将B(3，0)，C(0，3)代入，得

解得

例1题图②∴直线BC的解析式为y＝－x＋3，∵直线BC与直线DE交于点F，点F的横坐标为x＝1，∴点F的坐标为(1，2)；(3)如图③，在该抛物线上是否存在一点G，使得S△ABG＝6，若存在，求出所有满足条件的点G的坐标；若不存在，请说明理由；【思维教练】分两种情况进行讨论，点G在x轴上方及x轴下方．例1题图③设点G的坐标为(p，－p2＋2p＋3)，则GP＝－p2＋2p＋3，∵S△ABG＝

AB·GP＝6，AB＝4，∴

×4(－p2＋2p＋3)＝6，解得p＝0或p＝2，当p＝0时，－p2＋2p＋3＝3，当p＝2时，－p2＋2p＋3＝3，∴点G的坐标为(0，3)或(2，3)；例1题图③∟P(3)存在，分两种情况：①当点G在x轴上方时，如图，过点G作GP⊥AB于点P，②当点G在x轴下方时，如解图，过点G作GQ⊥AB于点Q，设点G的坐标为(q，－q2＋2q＋3)，则GQ＝－(－q2＋2q＋3)＝q2－2q－3，∵S△ABG＝

AB·GQ＝6，∴

×4(q2－2q－3)＝6，解得q＝1＋

或q＝1－

，当q＝1＋

时，－q2＋2q＋3＝－3，当q＝1－

时，－q2＋2q＋3＝－3，∴点G的坐标为(1＋

，－3)或(1－

，－3)，综上所述，在抛物线上存在一点G，使得S△ABG＝6，点G的坐标为(0，3)或(2，3)或(1＋

，－3)或(1－

，－3)；例1题解图(4)如图④，已知点K是第一象限内抛物线上一动点(不与点B，C重合)，连接BC，CK，BK，过点K作x轴的垂线交线段BC于点I.设点K的横坐标为k，△BCK的面积为S.①求S关于k的函数解析式；【思维教练】①采用“分割法”表示出所分割的三角形的面积，求和即可；例1题图④(4)由(2)知，直线BC的解析式为y＝－x＋3，设点K的坐标为(k，－k2＋2k＋3)，则点I的坐标为(k，－k＋3)，∴KI＝－k2＋2k＋3－(－k＋3)＝－k2＋3k，∴S＝S△KIB＋S△KIC＝

KI·OB＝

(－k2＋3k)×3＝－

k2＋

k，即S＝－

k2＋

k(0＜k＜3)；例1题图④②求当k为何值时，S有最大值，最大值是多少？此时KI同时取到最大值吗？例1题图④【思维教练】②结合二次函数的性质即可求得S的最大值及此时的k值．②将S＝－

k2＋

k化为顶点式得S＝－

(k－

)2＋

，∵－

＜0，0＜k＜3，∴当k＝

时，S取得最大值，最大值为

.∵KI＝－k2＋3k＝－(k－

)2＋

，∴当k＝

时，KI取得最大值，最大值为

，∴当k＝

时，S取得最大值，最大值