北师大版初中九年级数学上册第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质课件

第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质基础过关全练知识点1正方形的定义1.下列条件可以利用定义说明平行四边形ABCD是正方形的

是

(

)A.AB=CD,∠A=90°

B.AB=AD,∠A=90°C.AB∥CD,∠A=90°

D.以上均错B解析正方形定义中需要平行四边形满足的条件是有一个

角是直角,且有一组邻边相等,符合的只有B.2.(2021广西玉林中考)一个四边形顺次添加下列条件中的三

个条件便得到正方形:a.两组对边分别相等

b.一组对边平行且相等c.一组邻边相等

d.一个角是直角顺次添加的条件:①a→c→d;②b→d→c;③a→b→c.则正确的

是

(

)

CA.仅①

B.仅③

C.①②

D.②③解析①添加a得到四边形是平行四边形,添加c得到平行四

边形是菱形,再添加d得到菱形是正方形,故①正确;②添加b

得到四边形是平行四边形,添加d得到平行四边形是矩形,再

添加c得到矩形是正方形,故②正确;③添加a得到四边形是平

行四边形,添加b得到平行四边形仍是平行四边形,再添加c得

到平行四边形是菱形,不能得到四边形是正方形,故③不正

确.故选C.知识点2正方形的性质3.(2024福建三明三元期中)如图,在正方形ABCD的外侧,作等

边△ADE,则∠BAE=

(

)

A.145°

B.150°

C.155°

D.160°B解析∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,又∵△ADE是等边三角形,∴∠DAE=60°,∴∠BAE=90°+60°=150°.故选B.4.(2023贵州贵阳期中)如图,在平面直角坐标系中,正方形

OABC的顶点O,B的坐标分别是(0,0),(4,0),则顶点C的坐标是

(

)

A.(2,2)

B.(2,-2)

C.(-2,2)

D.(2

,-2)B解析连接AC,如图:

∵四边形OABC是正方形,O、B在x轴上,∴点A,C关于x轴对

称,AC所在直线为OB的垂直平分线,即A,C的横坐标均为2,根

据正方形对角线相等的性质可得AC=BO=4,又∵A,C关于x轴

对称,∴A点纵坐标为2,C点纵坐标为-2,故C点坐标为(2,-2),故选B.5.(2023河北中考)如图,在Rt△ABC中,AB=4,M是斜边BC的中

点,以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF=16,则S△ABC=

(

)

A.4

B.8

C.12

D.16B解析∵四边形AMEF是正方形,S正方形AMEF=16,∴AM2=16,∴AM=4,在Rt△ABC中,M是斜边BC的中点,∴AM=

BC,即BC=2AM=8,在Rt△ABC中,AB=4,∴AC=

=

=4

,∴S△ABC=

AB·AC=

×4×4

=8

,故选B.6.(新独家原创)如图,在菱形ABCD中,以AC为对角线作正方形AECF,若∠DAB=60°,AB=4,则正方形AECF的面积=

.

24解析如图,连接DB,交AC于O,∵四边形ABCD是菱形,∴DB

⊥AC,∵∠DAB=60°,∴∠OAB=

∠DAB=30°,∴OB=

AB=2,

在Rt△OAB中,AO=

=

=2

,∴正方形AECF的对角线AC=2AO=4

,∴正方形AECF的面积=

AC2=

×4

×4

=24.7.(十字模型)(教材变式·P21例1)(2023湖北黄石中考)如图,正

方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且BM=CN,AN与DM相

交于点P.(1)求证:△ABN≌△DAM.(2)求∠APM的大小.

解析

(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=BC,∠DAM=∠ABN=90°,∵BM=CN,∴AB-BM=BC-CN,即AM=BN,在△ABN和△DAM中,

∴△ABN≌△DAM(SAS).(2)由(1)知△ABN≌△DAM,∴∠MAP=∠ADM,∴∠MAP+∠AMP=∠ADM+∠AMP=90°,∴∠APM=180°-(∠MAP+∠AMP)=90°.8.(2022湖北恩施州中考)如图,已知四边形ABCD是正方形,G

为线段AD上任意一点,CE⊥BG于点E,DF⊥CE于点F.求证:

DF=BE+EF.

证明∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠BCD=90°,∵CE⊥BG,DF⊥CE,∴∠BEC=∠DFC=90°,∴∠BCE+∠CBE=90°=∠BCE+∠DCF,∴∠CBE=∠DCF,在△CBE和△DCF中,

∴△CBE≌△DCF(AAS),∴CF=BE,CE=DF,∵CE=EF+CF,∴DF=BE+EF.能力提升全练9.(2023湖南常德中考,7,★★☆)如图,在正方形ABCD中,对角

线AC、BD相交于点O,E,F分别为AO,DO上的点,且EF∥AD,

连接AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED的度数为

(

)

A.80°

B.90°

C.105°

D.115°C解析∵四边形ABCD为正方形,∴AD∥BC,OA=OD,∠OBC

=∠OCB=∠OAD=∠ODA=45°,∵EF∥AD,∴EF∥BC,∴∠OEF=∠OCB=45°,∠OFE=∠OBC=45°,∴∠OEF=∠OFE=45°,∴∠AEF=∠DFE=135°,OE=OF,∵OA=OD,∴AE=DF,在△AEF和△DFE中,AE=DF,∠AEF=∠DFE=135°,EF=FE,∴△AEF≌△DFE(SAS),∴∠FAE=∠FDE=15°,∴∠ADE=∠ODA-∠FDE=45°-15°=30°,∴∠AED=180°-∠OAD-∠ADE=180°-45°-30°=105°.故选C.10.(2024河南郑州二中期中,9,★★☆)如图,正方形ABCD的

边长为8cm,M是对角线BD上一动点,点E在边AD上,且AE=2cm,则AM+EM的最小值为

(

)

A.4cm

B.6cm

C.8cm

D.10cmD解析如图,连接CM,CE,

∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD=8cm,∠ADC=90°,∠ADB=∠CDB,∵DM=DM,∴△ADM≌△CDM(SAS),∴AM=

CM,∴AM+EM=CM+EM≥CE,即AM+EM的最小值为CE的长,

∵AE=2cm,∴DE=6cm,∴CE=

=10cm,即AM+EM的最小值为10cm.故选D.11.(2023四川攀枝花中考,11,★★☆)如图,已知正方形ABCD

的边长为3,P是对角线BD上的一点,PF⊥AD于点F,PE⊥AB

于点E,连接PC,当PE∶PF=1∶2时,PC=

(

)

A.

B.2

C.

D.

C解析如图,连接AP,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=3,

∠ADB=∠ABD=∠CBD=45°,∠BAD=90°,∵PF⊥AD,PE⊥

AB,∴四边形AEPF是矩形,∴PE=AF,∠PFD=90°,∴△PFD是等腰直角三角形,∴PF=DF,∵PE∶PF=1∶2,∴AF∶DF=1∶2,∴AF=1,DF=PF=2,∴AP=

=

,∵AB=BC,∠ABD=∠CBD=45°,BP=BP,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PC=AP=

,故选C.12.(2024浙江温州二中月考,9,★★☆)如图,在正方形ABCD

中,点E,N,P,G分别在边AB,BC,CD,DA上,点M,F,Q在对角线

BD上,且四边形MNPQ和四边形AEFG均为正方形,则

等于

(

)

A.

B.

C.

D.

D解析∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABD=∠CBD=45°,∵四

边形MNPQ和四边形AEFG均为正方形,∴∠BEF=∠AEF=90°,∠BMN=∠QMN=90°,∴△BEF和△BMN都是等腰直角三角

形,∴FE=BE=AE=

AB,BM=MN=QM,同理可得DQ=MQ,∴MN=

BD=

AB,∴

=

=

=

,故选D.13.(2023浙江绍兴中考,22,★★☆)如图,在正方形ABCD中,G

是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,

F分别为垂足.连接EF,AG,并延长AG交EF于点H.(1)求证:∠DAG=∠EGH.(2)判断AH与EF是否垂直,并说明理由.

解析

(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴∠ADE=90°,∵GE⊥CD,∴∠GEC=90°,∴AD∥GE,∴∠DAG=∠EGH.(2)AH⊥EF.理由如下,连接GC交EF于点O,如图,

∵BD为正方形ABCD的对角线,∴∠ADG=∠CDG=45°,又∵DG=DG,A