北师大版初中九年级数学上册第一章素养提优测试卷课件

第一章素养提优测试卷(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.(2024河南郑州二中期中,2,★☆☆)如图,菱形ABCD中,∠1=15°,则∠D=()DA.130°

B.125°

C.120°

D.150°解析

D∵四边形ABCD是菱形,∴∠DAB=2∠1,AB∥DC,∴∠DAB+∠D=180°,∵∠1=15°,∴∠DAB=30°,∴∠D=180°-∠DAB=180°-30°=150°,故选D.

2.(★☆☆)下列条件中能判定一个四边形是正方形的是

()A.三个角是直角的四边形B.对角线互相垂直的平行四边形C.对角线互相垂直的矩形D.有一个角是直角的平行四边形C解析

C

A.三个角是直角的四边形是矩形,不符合题意;B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形,不符合题意;C.对角线互相垂直的矩形是正方形,符合题意;D.有一个角是直角的平行四边形是矩形,不符合题意.故选C.3.(2024河北保定高碑店月考,7,★☆☆)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交

于点O,如果∠ADB=25°,那么∠AOB的度数为

()解析

A∵四边形ABCD是矩形,∴OA=

AC,OD=

BD,AC=BD,∴OA=OD,∵∠ADB=25°,∴∠OAD=∠ODA=25°,∴∠AOB=∠OAD+∠ODA=50°.故选A.AA.50°

B.45°

C.40°

D.35°4.(2024河北保定高碑店月考,9,★☆☆)如图,四边形ABCD是平行四边形,下列结

论中错误的是

()A.当AB=BC时,它是正方形

B.当AC⊥BD时,它是菱形C.当AC=BD时,它是矩形

D.当∠ABC=90°时,它是矩形解析

A∵四边形ABCD是平行四边形,∴当AB=BC时,平行四边形ABCD是菱

形,不一定是正方形,故选项A错误,符合题意;当AC⊥BD时,平行四边形ABCD是菱形,故选项B正确,不符合题意;当AC=BD时,平行四边形ABCD是矩形,故选项C正确,不符合题意;当∠ABC=90°时,平行四边形ABCD是矩形,故选项D正确,不符合题意.故选A.A5.[学科素养应用意识](2024陕西西安期末,2,★★☆)我们常常在建筑物中看到四边形的元素.如图,墙面上砌出的菱形窗户的边长为1米(边框宽度忽略不计),

其中较小的内角为60°,则该菱形窗户的采光面积为

()BA.4平方米

B.

平方米

C.1平方米

D.

平方米解析

B∵菱形窗户的边长为1米,较小的内角为60°,∴菱形窗户的一条对角线长1米,另一条对角线长

米,∴菱形窗户的采光面积=

×1×

=

(平方米),故选B.6.(2023内蒙古呼和浩特中考,7,★★☆)如图,矩形ABCD中,对角线BD的垂直平

分线MN分别交AD,BC于点M,N.若AM=1,BN=2,则BD的长为

()AA.2

B.3

C.2

D.3

解析

A如图,连接BM,设BD与MN交于点O.∵MN垂直平分BD,∴BO=DO,BM=DM.∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,AD∥BC.∴∠MDO=∠NBO.又∠DOM=∠BON,∴△DMO≌△BNO(ASA).∴DM=BN=BM=2.∴AB=

=

,AD=AM+DM=3.∴BD=

=2

.故选A.7.(2024广东佛山三水中学附中月考,8,★★☆)工人师傅在制作矩形窗框时,分三

个步骤进行:(1)如图①,先截出两对符合规格的木条,使AB=CD,EF=GH;(2)摆成如图②所示的四边形;(3)

,矩形窗框制作完成.下列方法中不能作为制作工序的第(3)个步骤的是

()A.将直角尺紧靠窗框一个角,调整窗框的边框使得直角尺的两条直角边与窗框

无缝隙B.调整窗框的边框使得两条对角线长度相等C.调整窗框的边框使得两条对角线互相垂直D.调整窗框的边框使得两条对角线与CD边的夹角相等C解析

C∵AB=CD,EF=GH,∴四边形ABDC是平行四边形.A.将直角尺紧靠窗框一个角,调整窗框的边框使得直角尺的两条直角边与窗框无缝隙,根据有一个角是直角的平行四边形是矩形,可知四边形ABDC是矩形,故该选项不符合题意;B.调整窗框的边框使得两条对角线长度相等,根据对角线相等的平行四边形是矩形,可知四边形ABDC是矩形,故该选项不符合题意;C.调整窗框的边框使得两条对角线互相垂直,此时无法判定四边形ABDC是矩形,故该选项符合题意;D.调整窗框的边框使得两条对角线与CD边的夹角相等,此时可以证明对角线相等,可知四边形ABDC是矩形,故该选项不符合题意.故选C.8.(2023山东青岛大学附中月考,4,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,四边形

OABC为菱形,O(0,0),A(4,0),∠AOC=60°,则对角线交点E的坐标为

()DA.(2,

)

B.(

,2)C.(

,3)

D.(3,

)解析

D如图,过点E作EF⊥x轴于点F,∵四边形OABC为菱形,∠AOC=60°,∴∠OEA=90°,∠AOE=

∠AOC=30°,∴∠FAE=60°,∵A(4,0),∴OA=4,∴AE=

AO=

×4=2,∵∠EFA=90°,∠FAE=60°,∴∠FEA=30°,∴AF=

AE=1,∴EF=

=

=

,OF=AO-AF=4-1=3,∴E(3,

).故选D.9.(2024重庆八中期末,9,★★☆)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点

O,P是AC上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥BC于F,若AC=8,BD=6,则PE+PF的值为

()CA.

B.

C.

D.

解析

C如图,过P作PM⊥CD于M,∵四边形ABCD是菱形,CD∥AB,AC⊥BD,

OA=

AC,OB=

BD,CA平分∠BCD,∵PF⊥BC,∴PF=PM,∵PE⊥AB,PM⊥CD,CD∥AB,∴P、E、M三点共线,∴PE+PF=PE+PM=ME,∵AC=8,BD=6,∴OA=

×8=4,OB=

×6=3,∴AB=

=5,∵菱形ABCD的面积=AB·EM=

AC·BD,∴5EM=

×8×6,∴EM=

,∴PE+PF的值为

.故选C.10.[学科素养推理能力](2022浙江宁波中考,10,★★★)将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图所示的方式不重叠地放置在矩形ABCD内,

其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出

()A.正方形纸片的面积

B.四边形EFGH的面积C.△BEF的面积

D.△AEH的面积C解析

C如图,

设PD=x,GH=y,则PH=x-y,∵矩形纸片和正方形纸片的周长相等,∴2AP+2(x-y)=4x,∴AP=x+y,∴图中阴影部分的面积=S矩形ABCD-2S△ADH-2S△AEB=(2x+y)(2x-y)-2×

·(x-y)(2x+y)-2×

·(2x-y)·x=4x2-y2-(2x2+xy-2xy-y2)-(2x2-xy)=4x2-y2-2x2+xy+y2-2x2+xy=2xy.A.正方形纸片的面积=x2,故A不符合题意;B.四边形EFGH的面积=y2,故B不符合题意;C.△BEF的面积=

EF·BQ=

xy,故C符合题意;D.△AEH的面积=

EH·AM=

y(x-y)=

xy-

y2,故D不符合题意.故选C.二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)11.(2022黑龙江齐齐哈尔中考,12,★☆☆)如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足

为O,AB∥CD,要使四边形ABCD为菱形,可添加的条件是

.(写出一个即可)AB=CD答案

AB=CD(答案不唯一)解析答案不唯一.添加的条件可以是AB=CD,理由:∵AB∥CD,AB=CD,∴四边

形ABCD是平行四边形,又∵AC⊥BD,∴平行四边形ABCD是菱形.12.(2024四川成都期中,12,★★☆)如图,四边形ABCD是菱形,∠DAB=40°,对角

线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,则∠DHO=

度.20答案

20解析∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,DO=BO,∵∠DAB=40°,∴∠ADB=70°,∵DH⊥AB,∴∠ADH=50°,∴∠HDO=20°,∵在Rt△DHB中,O是BD的中点,∴HO=

BD=OD,∴∠DHO=∠HDO=20°.故答案为20.13.(2024河南郑州嵩阳中学月考,11,★★☆)如图,连接四边形ABCD各边中点,得

到四边形EFGH,当AC、BD满足

时,才能保证四边形EFGH是矩形.AC⊥BD答案

AC⊥BD解析如图,∵G、H、E、F分别是BC、CD、AD、AB的中点,∴HG∥BD∥EF,EH∥AC∥FG,∴∠EHG=∠1,∠1=∠2,四边形EFGH是平行四边形,∴∠2=∠E-HG.当∠EHG=90°时,四边形EFGH是矩形,此时∠2=90°,即AC⊥BD.故当AC、BD满足AC⊥BD时,才能保证四边形EFGH是矩形.

模型拓展对角线的关系对中点四边形的影响当四边形ABCD的对角线互相垂直时,如图1,该四边形的中点四边形EFGH

为矩形.由“中点四边形”模型可知,四边形EFGH为平行四边形,通过中位线定

理得到的平行关系,可证明∠EFG=90°,即可证明中点四边形EFGH是矩形.当四边形ABCD的对角线相等时,如图2,该四边形的中点四边形EFGH为菱

形.由“中点四边形”模型可知,四边形EFGH为平行四边形,再通过中位线定理,

可证明EH=EF,即可证明中点四边形EFGH是菱形.14.(新独家原创,★★☆)如图,在边长为15的菱形ABCD中,E为对角线BD上的任

意一点,过E作EF⊥AB于F,EG⊥AD于G,若BD=24,则EF+EG=

.

14.4答案

14.4解析如图,连接AE,过A作AO⊥BD于O,∵在边长为15的菱形ABCD中,AB=AD=15,AO⊥BD,∴BO=DO=

BD=12,在Rt△OAB中,AO=

=

=9,∴S△ABD=

AO·BD=

×9×24=108,∵S△ABE+S△ADE=S△ABD,∴

AB·EF+

AD·EG=108,∴

×15×EF+

×15×EG=108,∴EF+EG=14.4.15.(2022辽宁鞍山中考,14,★★☆)如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,对角

线AC与BD交于点O,E为OB中点,F为AD中点,连接EF,则EF的长为

.答案

解析如图,取OD的中点H,连接FH,

∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴AB=AD=2,∠ABD=30°,AC⊥BD,BO=DO,

∴AO=

AB=1,∴BO=

=DO,∵点H是OD的中点,点F是AD的中点,∴FH=

AO=

,FH∥AO,∴FH⊥BD,∵点E是BO的中点,点H是OD的中点,∴OE=

,OH=

,∴EH=

,∴EF=

=

=

,故答案为

.16.[方程思想](2022江苏无锡中考,16,★★★)如图,正方形ABCD的边长为8,点E是CD的中点,HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G,则BG=

.1答案

1解析如图,连接AG,EG,∵HG垂直平分AE,∴AG=EG,∵E是CD的中点,∴DE=CE=4,设CG=x,则BG=8-x,在Rt△ABG和Rt△GCE中,根据勾股定理,得AB2+BG2=CE2+CG2,即82+(8-x)2=42+x2,解得x=7,∴BG=8-7=1.故答案是1.

三、解答题(本大题共6小题,共66分)17.(2023山东青岛月考,15,★☆☆)(8分)用圆规、直尺作图,

不写作法,但要保留作图痕迹.已知:点O在∠MAN的平分线AP上.求作:菱形ABCD,使∠MAN为菱形的一个内角,点B在AN上,且点O为菱形的对称

中心.

考向尺规作图解析如图,菱形ABCD为所作.18.(2024辽宁辽阳期末,19,★★☆)(10分)如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D

是AB的中点.求证:CD=

AB.下面是两位同学添加辅助线的方法:小星:如图②,延长CD到点E,使得DE=CD,连接AE,BE;小红:如图③,取BC的中点E,连接DE.请选择一位同学的方法,完成证明.第18题图解析选择小星的方法.证明:如题图②,延长CD到点E,使得DE=CD,连接AE,BE,∵点D是AB的中点,∴AD=BD,∴四边形ACBE是平行四边形,∵∠ACB=90°,∴四边形ACBE是矩形,∴AB=CE,∵CD=DE=

CE,∴CD=

AB.选择小红的方法.证明:如题图③,取BC的中点E,连接DE,∵点D是AB的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥AC,∴∠ACB=∠DEB=90°,∴DE垂直平分BC,∴CD=BD,∵BD=

AB,∴CD=

AB.19.(2024山西太原期末,18,★★☆)(10分)如图,已知矩形ABCD中,∠BAD和∠ADC的平分线交于BC边上一点E.点F为矩形外一点,四边形AEDF为平行四边形.

求证:四边形AEDF是正方形.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠CDA=90°,∵AE,DE分别平分∠BAD,∠CDA,∴∠EAD=

∠BAD=45°,∠EDA=

∠CDA=45°,∴∠EAD=∠EDA,∴AE=DE,∵∠EAD+∠EDA+∠AED=180°,∴∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=90°,∴▱AEDF是正方形.20.(2024贵州六盘水期中,23,★★☆)(12分)下面是多媒体上的一道试题:如图,在菱形ABCD中,过点B作BE⊥CD于点E,点F在边AB上,AF=CE,连接BD,DF.

求证:四边形BFDE是矩形.小星和小红分别给出了自己的思路.小星:先证明四边形BFDE是平行四边形,然后利用矩形定义即可得证;小红:先证明△ADF与△CBE全等,然后利用“有三个角是直角的四边形是矩

形”即可得证.

(1)请你选择一位同学的思路,并进行证明.(2)若BD=2

,BE=4,求BC的长.解析

(1)选择小星的思路.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD,AB∥CD.∵AF=CE,∴BF=DE,∴四边形BFDE是平行四边形.∵CD⊥BE,∴∠BED=90°,∴四边形BFDE是矩形.选择小红的思路.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AD=BC,∠A=∠C.∵AF=CE,∴△ADF≌△CBE(SAS),∴∠AFD=∠CEB=90°,∴∠DFB=90°.∵CD∥AB,∴∠FBE=∠CEB=90°,∴∠DFB=∠FBE=∠BED=90°,∴四边形BFDE是矩形.(2)在Rt△BDE中,DE=

=

=2,∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD,∴CE=CD-DE=BC-2.在Rt△BCE中,BC2=CE2+BE2,∴BC2=(BC-2)2+42,解得BC=5.∴BC的长为5.21.(2023甘肃兰州中考,24,★★☆)(12分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交

于点O,CD∥OE,直线CE是线段OD的垂直平分线,CE分别交OD,AD于点F,G,连

接DE.

(1)判断四边形OCDE的形状,并说明理由.(2)当CD=4时,求EG的长.解析

(1)四边形OCDE是菱形.理由如下:∵CD∥OE,∴∠FDC=∠FOE,∵直线CE是线段OD的垂直平分线,∴FD=FO,ED=OE,CD=CO,在△FDC和△FOE中,

∴△FDC≌△FOE(ASA),∴CD=OE,∴ED=OE=CD=CO,∴四边形OCDE是菱形.(2)∵四边形ABCD为矩形,∴∠BCD=∠CDA=90°,DO=CO,又∵CD=CO,∴CD=CO=DO=4,∴△ODC为等边三角形,∴∠ODC=60°,∵DF=

DO=2,∴在Rt△CDF中,由勾股定理得CF=

=2

,由(1)可知,四边形OCDE是菱形,∴EF=CF=2

,∵∠GDF=∠CDA-∠ODC=30°,∴GD=2GF.设GF=x,则GD