高中数学选择性必修二课件：4 3 1 第2课时 等比数列的应用及性质(人教A版)

第四章

4.3.1等比数列的概念第2课时等比数列的应用及性质学习目标XUEXIMUBIAO1.理解复利计算方法，能解决存款利息的有关计算方法.2.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题.3.理解等比数列的常用性质.4.掌握等比数列的判断及证明方法.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一实际应用题常见的数列模型1.储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y＝a(1＋r)n.2.总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n，则总产值y＝N(1＋p)n.知识点二等比数列的常用性质设数列{an}为等比数列，则：(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则

.(2)若m，p，n成等差数列，则

成等比数列.(3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列.ak·al＝am·anam，ap，anpq1.某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成A.64 B.128 C.256 D.255解析某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次，所以经过2小时，这种细菌由1个繁殖成28＝256.√预习小测自我检验YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN2.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么A.{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列B.{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列C.{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列D.{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列解析当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列.两个等比数列的积一定是等比数列.√2.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么A.{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列B.{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列C.{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列D.{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列解析当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列.两个等比数列的积一定是等比数列.√3.某储蓄所计划从2018年底起，力争做到每年的吸蓄量比前一年增加8%，则到2021年底该储蓄所的吸蓄量比2018年的吸蓄量增加A.24% B.32%

C.1.083－1 D.1.084－1解析设2018年储蓄量为a

，根据等比数列通项公式得2019年储蓄量为a(1＋0.08)＝1.08a，2020年储蓄量为a(1＋0.08)(1＋0.08)＝1.082a，2021年储蓄量为a(1＋0.08)(1＋0.08)(1＋0.08)＝1.083a，所以2021年底该储蓄所的吸蓄量比2018年的吸蓄量增加了√＝1.083－1.4.已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是解析奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a9＝2，√2题型探究PARTTWO一、数列的实际应用例1

某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；解从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1.∴n年后车的价值为an＋1＝(13.5×0.9n)万元.解从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1.∴n年后车的价值为an＋1＝(13.5×0.9n)万元.(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元.反思感悟等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题.跟踪训练1

有纯酒精a(a>1)升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共取出纯酒精_____________升.则第九次和第十次共取出纯酒精数量为二、等比数列的性质及其应用例2

已知{an}为等比数列.解在等比数列{an}中，(2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；即(a6＋a8)2＝49，∵an>0，∴a6＋a8＝7.(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.解由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.反思感悟利用等比数列的性质解题(1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题.(2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.跟踪训练2

(1)公比为

的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16等于A.4 B.5 C.6 D.7√又因为an>0，所以a7＝4，所以a16＝a7q9＝32，即log2a16＝5.(2)已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝_____.解析方法一因为{an}是等比数列，所以a2＝所以a8＝三、等比数列的判定与证明例3

已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.(1)求a1的值；解因为Sn＝2an＋n－4，所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列.证明因为Sn＝2an＋n－4，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋n－1－4，Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列.反思感悟判断一个数列是等比数列的常用方法(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列.(3)等比中项法：若

＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列.(4)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可.跟踪训练3

(1)已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列.证明由已知，有2a2＝a1＋a3，

①即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3).又a1，a3，a5均不为0，∴a1，a3，a5成等比数列.解依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，3随堂演练PARTTHREE1.在等比数列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于√又因为a1<0，a2>0，所以q<0.12345123452.在等比数列{an}中，若a2a3a6a9a10＝32，则

的值为A.4 B.2 C.－2 D.－4√3.已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为A.100 B.－100C.10000 D.－1000012345√12345A.－3 B.－1 C.1 D.9√√即a1q2＝3a1＋2a1q，∵a1≠0，∴q2－2q－3＝0.解得q＝3或q＝－1.5.某工厂2020年1月的生产总值为a万元，计划从2020年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2021年8月底该厂的生产总值为____________万元.12345a(1＋m%)1912345解析设从2020年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an＋1＝an＋anm%，∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列.∴an＝a(1＋m%)n－1.∴2021年8月底该厂的生产总值为a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19(万元).1.知识清单：(1)等比数列的实际应用.(2)等比数列的常用性质.(3)等比数列的判定和证明.2.方法归纳：方程和函数思想.3.常见误区：不注重运用性质，使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR基础巩固12345678910111213141516√2.在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则a5等于A.2 B.－2 C.±2 D.412345678910111213141516√解析由等比数列的性质可得，∴a3＝1，a7＝4，∴a5＝2.解析因为a4a8＝a5a7＝3a7且a7≠0，所以a5＝3，3.设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2·…·a9)等于A.38 B.39 C.9 D.712345678910111213141516√√解析因为a2＋a4＋a6＋a8＝q(a1＋a3＋a5＋a7)，123456789101112131415165.(多选)设{an}是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是√12345678910111213141516√√123456789101112131415166.已知在等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式an＝________.123456789101112131415163×2n－3解析由已知得a10＝a3·q7＝3·q7＝384，所以q7＝128＝27，故q＝2.所以an＝a3·qn－3＝3×2n－3.7.已知数列{an}为等比数列，且a3＋a5＝π，则a4(a2＋2a4＋a6)＝___.解析因为数列{an}为等比数列，且a3＋a5＝π，所以a4(a2＋2a4＋a6)π212345678910111213141516＝(a3＋a5)2＝π2.123456789101112131415162且数列{nan＋1}是等比数列，2a2＋1＝3＋1＝4,3a3＋1＝7＋1＝8，所以数列{nan＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以nan＋1＝2n，123456789101112131415169.已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值.解∵{an}为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64.又∵a3＋a7＝20，∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.123456789101112131415161234567891011121314151610.已知数列{an}为等比数列.(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；解∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.12345678910111213141516(2)若数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项.12345678910111213141516解设等比数列{an}的公比为q，∵a2－a5＝42，∴q≠1.∴a5，a7的等比中项为±3.11.设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1，S2，S4成等比数列，则a1等于综合运用√12345678910111213141516解析因为{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，12345678910111213141516代入可得(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，12.等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于A.±2 B.±4 C.2 D.412345678910111213141516√解析∵T13＝4T9，∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，∴a10a11a12a13＝4.又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴(a8·a15)2＝4，∴a8a15＝±2.又∵{an}为递减数列，∴q>0，∴a8a15＝2.123456789101112131415161234567891011121314151613.在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于_____.解析由于{an}是等比数列，－213而a7＝－2.∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.12345678910111213141516102412345678910111213141516所以a1a2a3·…·an＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝所以当n＝4或n＝5时，a1a2a3·…·an取最大值，且最大值为210＝1