高中数学选择性必修2课件第五章 一元函数的导数及其应用章末复习提升(人教A版)

章末复习提升网络构建

要点聚焦内容索引网络构建形成体系1要点聚焦

类型突破2要点一导数的几何意义及应用导数几何意义的应用，主要体现在与切线方程有关的问题上.利用导数的几何意义求切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点，常见类型有两种：一种是求“在某点处的切线方程”，此点一定为切点，先求导，再求斜率，进而求出切线方程；另一种是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1).①又已知y1＝f(x1)②由①②求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程.切线问题是高考的热点内容之一，在高考试题中既有选择题、填空题，也有综合性大题，难度一般为中等.【例1】

(1)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.1令x＝0，得y＝1，即直线l在y轴上的截距为1.解析由y′＝ex，知曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率k1＝e0＝1.(1，1)依题意k1k2＝－1，所以m＝1，从而n＝1.则点P的坐标为(1，1).2x＋y＋1＝02x＋y＋1＝0要点二导数与函数的单调性(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论导数的符号，进而判断函数的单调区间.特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接.(2)函数的单调性与导函数值的关系函数f(x)在(a，b)内可导，若f′(x)>0，则函数f(x)在(a，b)内单调递增；若f′(x)<0，则函数f(x)在(a，b)内单调递减.反之，若函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0；若函数f(x)在(a，b)内单调递减，则f′(x)≤0.即f′(x)>0(f′(x)<0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件.令f′(x)>0，则0<x<1或x>2，令f′(x)<0，则1<x<2，所以f(x)的单调递增区间为(0，1)和(2，＋∞)，单调递减区间为(1，2).即4x3＋3x2－6x＋6a≥0，则h′(x)＝2x2＋x－1＝(2x－1)(x＋1)，设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗要点三导数与函数的极值、最值(1)导数与函数极值的关系对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件.(2)利用导数求函数极值、最值应注意三点①求单调区间时，应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；②f′(x0)＝0时，x0不一定是极值点；③求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论.【例3】

已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1，y＝f(x)在x＝－2时有极值. (1)求f(x)的解析式；解f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝3＋2a＋b，过曲线上P点的切线方程为y－f(1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，整理得，y＝(3＋2a＋b)x－a＋c－2.已知该切线方程为y＝3x＋1，因为y＝f(x)在x＝－2时有极值，所以f′(－2)＝0，所以－4a＋b＝－12，所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.(2)求y＝f(x)在[－3，1]上的单调区间和最大值.解f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2).所以f(x)在区间[－3，1]上的最大值为13.解f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，函数分别取得极小值、极大值，当x＝－2时，f(－2)＝2，即切点为(－2，2).又因为切线斜率k＝f′(－2)＝－8，所以，所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)，即8x＋y＋14＝0.解当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值.要点四导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强.【例4】已知函数f(x)＝xlnx.(1)求f(x)的最小值；解

f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋lnx，(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围；解

∵f(x)＝xlnx，当x≥1时，f(x)≥ax－1恒成立，等价于xlnx≥ax－1(x≥1)恒成立，∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝1，∴a≤1，即实数a的取值范围为(－∞，1].(3)若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.解

若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，即y＝b的图象和y＝f(x)的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点，(2)若函数f(x)恰有一个零点，求a的取值范围.解

f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－2)(x－1)，由f′(x)>0⇒x>2或x<1，由f′(x)<0⇒1<x<2，∴f(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，备用工具&资料(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围；解

∵f(x)＝xlnx，当x≥1时，f(x)≥ax－1恒成立，等价于xlnx≥ax－1(x≥1)恒成立，∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝1，∴a≤1，即实数a的取值范围为(－∞，1].当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值