中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题二十三三角函数的图像与性质(原卷版+解析)

第二十三章三角函数的图像与性质思维导图知识要点知识要点1．正弦、余弦、正切函数的图像与性质(k∈Z)

函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR

图像值域[－1，1][－1，1]R对称性对称轴：

对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：

对称中心：

周期2π2ππ单调性单调增区间：单调减区间：单调增区间：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)单调减区间：

[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间：

奇偶性奇函数偶函数奇函数2.“五点法”作图(1)y＝sinx的图像在[0，2π]上的五个关键点的坐标为(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．(2)y＝cosx的图像在[0，2π]上的五个关键点的坐标为(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的特征若函数y＝Asin(ωx＋φ)[A＞0，ω＞0，x∈(－∞，＋∞)]表示一个振动量，则A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换(1)若先平移再伸缩，则平移的单位|φ|.(2)若先伸缩再平移，则平移的单位.5．函数y＝asinx＋bcosx可化成正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的形式y＝asinx＋bcosx＝，其中tanθ＝，常见形式是a∶b＝1∶1(∶)，a∶b＝1∶，a∶b＝3∶4.典例解析典例解析【例1】辨析感悟：对三角函数的图像与性质理解．(1)由sin(30°＋120°)＝sin30°知，120°是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．()(2)函数y＝是奇函数．()(3)函数y＝sinx的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．()(4)存在x∈R，使得2sinx＝3.()【变式训练1】函数sinα＝，求a的取值范围【例2】求函数y＝cos2x＋sinx－1，x∈[－π，0]的最大值与最小值．【变式训练2】求函数y＝cos2x－sinx，x∈[0，π]的最大值与最小值．【例3】已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图像如图所示，则ω＝________.【变式训练3】已知函数f(x)＝Asin(wx＋φ)在一个周期内的一个最高点为，一个最低点为，则w＝_______，φ＝________.【例4】已知f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且(1)求ω和φ的值；(2)作出函数f(x)在[0，π]上的图像．【变式训练4】函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)，图像的一个对称中心为.求：(1)φ的值；(2)f(x)的增区间．【例5】已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期为π，且图像上有一个最低点为M.求f(x)的解析式．【变式训练5】已知函数f(x)＝Asin(wx＋φ)(A>0，w>0，|φ|<π)的最小正周期为4π，且图像有一个最低点为.求f(x)的解析式．【例6】将函数y＝cos2x的图像怎样平移可以得到函数y＝cos的图像？【思路点拨】利用左“加”右“减”的平移规律．【变式训练6】函数y＝的图像通过向右平移个单位，得到另一个函数图像，求平移后函数的解析式．【例7】已知函数f(x)＝sin2x－cos2x.求f(x)的最小正周期和对称轴方程．【变式训练7】已知函数f(x)＝.求f(x)的最小正周期和最大值．高考链接高考链接1．函数y＝的图像是()2．函数y＝的最小正周期是()A.B．πC．2πD．4π3.把函数y＝的图像向右平移，得到的图像所对应的函数是()A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝4．(四川省2018年对口升学考试试题)在△ABC中，内角A，B，C所对的对边分别为a，b，c.(1)设△ABC的面积为S，证明：S＝；(2)已知△ABC的面积是1.记u＝a2＋b2－abcosC.证明：u≥.同步精练同步精练选择题1．将函数f(x)＝的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数g(x)的图像，则g(x)的解析式为()A．g(x)＝cos2xB．g(x)＝cos2x－2C．g(x)＝D．g(x)＝2．函数f(x)＝2cos2x＋1是()A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数3．函数y＝cos2x的图像的一个对称轴是()A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝4．函数y＝的一个单调增区间为()A.B.C.D.5．下列函数中周期为π且为偶函数的是()A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝6．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件填空题7．要得到函数y＝的图像，只需将函数y＝的图像向_______平移________个单位．8．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝_______.9．函数f(x)＝2sin22x的最小正周期为________．10．函数f(x)＝的定义域为．解答题11．求函数y＝的单调区间．12．函数y＝sin2x＋2sin2x－3cos2x.求：(1)最小正周期；(2)当x取何值时，f(x)取得最值，最值为多少？第二十三章三角函数的图像与性质思维导图知识要点知识要点1．正弦、余弦、正切函数的图像与性质(k∈Z)

函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR

图像值域[－1，1][－1，1]R对称性对称轴：

对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：

对称中心：

周期2π2ππ单调性单调增区间：单调减区间：单调增区间：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)单调减区间：

[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间：

奇偶性奇函数偶函数奇函数2.“五点法”作图(1)y＝sinx的图像在[0，2π]上的五个关键点的坐标为(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．(2)y＝cosx的图像在[0，2π]上的五个关键点的坐标为(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的特征若函数y＝Asin(ωx＋φ)[A＞0，ω＞0，x∈(－∞，＋∞)]表示一个振动量，则A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换(1)若先平移再伸缩，则平移的单位|φ|.(2)若先伸缩再平移，则平移的单位.5．函数y＝asinx＋bcosx可化成正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的形式y＝asinx＋bcosx＝，其中tanθ＝，常见形式是a∶b＝1∶1(∶)，a∶b＝1∶，a∶b＝3∶4.典例解析典例解析【例1】辨析感悟：对三角函数的图像与性质理解．(1)由sin(30°＋120°)＝sin30°知，120°是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．(×)(2)函数y＝是奇函数．(×)(3)函数y＝sinx的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．(×)(4)存在x∈R，使得2sinx＝3.(×)【思路点拨】周期函数定义中注意“x”的任意性；函数y＝sinx与y＝cosx的对称轴分别是经过其图像的最高点或最低点且平行于y轴的直线；函数y＝sinx与y＝cosx的最大值为1，最小值为－1.【变式训练1】函数sinα＝，求a的取值范围解：∵sinα∈[－1，1]，∴－1≤≤1⇒－3≤a≤1，∴a的取值范围为[－3，1]．【例2】求函数y＝cos2x＋sinx－1，x∈[－π，0]的最大值与最小值．【思路点拨】先用二倍角公式把原函数转化为关于sinx的函数，再利用二次函数知识求解．答案：解：函数变形为y＝－2sin2x＋sinx，设t＝sinx，x∈[－π，0]，∴t∈[－1，0]，则函数变形为f(t)＝－2t2＋t，由二次函数图像的性质易知，f(t)min＝f(－1)＝－3，f(t)max＝f(0)＝0.【变式训练2】求函数y＝cos2x－sinx，x∈[0，π]的最大值与最小值．解：∵y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx＝－sin2x－sinx＋1，且x∈[0，π]，∴sinx∈[0，1]，∴由二次函数的图像的性质可知，当sinx＝0时，ymax＝1，当sinx＝1时，ymin＝－1.【例3】已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图像如图所示，则ω＝________.思路点拨】先由点和点求出周期，再代入一个点的坐标求φ.由图像可知函数的四分之三周期为＝，T＝3π，ω＝＝【变式训练3】已知函数f(x)＝Asin(wx＋φ)在一个周期内的一个最高点为，一个最低点为，则w＝____1____，φ＝________.【提示】⇒T＝2π⇒w＝1，又2sin＝2⇒φ＝【例4】已知f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且(1)求ω和φ的值；(2)作出函数f(x)在[0，π]上的图像．【思路点拨】ω可由周期公式T＝求出，再由求出φ.答案：解：(1)周期T＝＝π，∴ω＝2，∵，且<φ<0，∴φ＝【例4】已知f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且(1)求ω和φ的值；(2)作出函数f(x)在[0，π]上的图像．答案：解：(2)，列表如下：

0πx0πf(x)10－10答案：图像如图所示：【变式训练4】函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)，图像的一个对称中心为.求：(1)φ的值；(2)f(x)的增区间．解：(1)由2x＋φ＝kπ(k∈Z)⇒x＝，∵一个对称中心为，∴＝(0<φ<π)⇒φ＝(2)由(1)知，解析式为f(x)＝，－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)⇒＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，增区间为(k∈Z)．【例5】已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期为π，且图像上有一个最低点为M.求f(x)的解析式．【思路点拨】ω可由周期公式T＝求出，由最低点为M，易知A＝3，再代入M点的坐标可求出φ.答案：解：(1)由＝π，得ω＝2.由最低点为M，得A＝3.又2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，0<φ<，∴φ＝.∴f(x)＝.【变式训练5】已知函数f(x)＝Asin(wx＋φ)(A>0，w>0，|φ|<π)的最小正周期为4π，且图像有一个最低点为.求f(x)的解析式．解：＝4π⇒ω＝，∴f(x)＝Asin，又最低点为，∴A＝2，－2＝2sin，|φ|<π⇒φ＝，f(x)＝2sin【例6】将函数y＝cos2x的图像怎样平移可以得到函数y＝cos的图像？【思路点拨】利用左“加”右“减”的平移规律．答案：解：y＝＝，∴要由y＝cos2x的图像得到y＝的图像，需要对x减去，即需要将y＝cos2x的图像向右平移个单位．【变式训练6】函数y＝的图像通过向右平移个单位，得到另一个函数图像，求平移后函数的解析式．解：将函数y＝3sin的图像通过向右平移个单位后，函数的解析式变为y＝【例7】已知函数f(x)＝sin2x－cos2x.求f(x)的最小正周期和对称轴方程．【思路点拨】a∶b型正弦型函数的应用．答案：解：(1)f(x)＝sin2x－＝＝，因此，f(x)的最小正周期为π.由2x－＝＋kπ，得对称轴方程为x＝，k∈Z.【变式训练7】已知函数f(x)＝.求f(x)的最小正周期和最大值．解：(1)由题意f(x)＝＝cos2x＋sinxcosx－sin2x＋sinxcosx＋1＝cos2x＋sin2x＋1＝＋1，由此可得T＝＝π，f(x)max＝3.高考链接高考链接1．函数y＝的图像是(B)【提示】最大值为2，最小正周期为T＝4π.2．函数y＝的最小正周期是(D)A.B．πC．2πD．4π【提示】化为正弦型y＝，∴T＝4π.3.把函数y＝的图像向右平移，得到的图像所对应的函数是(C)A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【提示】y＝cos4．(四川省2018年对口升学考试试题)在△ABC中，内角A，B，C所对的对边分别为a，b，c.(1)设△ABC的面积为S，证明：S＝；(2)已知△ABC的面积是1.记u＝a2＋b2－abcosC.证明：u≥.解：(1)在△ABC中过点A作ADBC于D，在Rt△ADC中，|AD|＝|AC|·sinC，∴S＝|BC||AD|＝|BC||AC|·sinC＝absinC.解：(2)由题意有absinC＝1，∴u－＝a2＋b2－abcosC－2＝a2＋b2－abcosC－×1＝a2＋b2－abcosC－absinC＝a2＋b2－ab(cosC＋sinC)＝a2＋b2－≥2ab－2ab＝∵≤1，∴2ab－≥0，∴u≥.同步精练同步精练选择题1．将函数f(x)＝的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数g(x)的图像，则g(x)的解析式为(A)A．g(x)＝cos2xB．g(x)＝cos2x－2C．g(x)＝D．g(x)＝【提示】f(x)＝f(x)＝cos2f(x)＝cos2x－1＋1＝cos2x.2．函数f(x)＝2cos2x＋1是(D)A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数【提示】2cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋2＝cos2x＋2.3．函数y＝cos2x的图像的一个对称轴是(D)A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【提示】令2x＝kπ，则x＝，k＝1时，x＝.4．函数y＝的一个单调增区间为(B)A.B.C.D.【提示】由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．因此，函数y＝的单调增区间为(k∈Z)．5．下列函数中周期为π且为偶函数的是(A)A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【提示】y＝＝－cos2x为偶函数，且最小正周期是π.6．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的(B)A．充分不必要条件