高中数学选择性必修三课件：6 3 2 第2课时 二项式定理的综合应用(人教A版)

第2课时二项式定理的综合应用第六章6.3.2二项式系数的性质1.熟练掌握二项式定理.2.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题.3.掌握二项展开式中系数最大(小)问题.4.能利用二项式定理解决整除(余数)问题.学习目标假如今天是星期一，7天后是星期几？16天后是星期几？82022天后是星期几？怎样准确快速地得到答案？导语随堂演练课时对点练一、两个多项式乘积的特定项二、系数的最值问题三、整除和余数问题内容索引一、两个多项式乘积的特定项例1

(1)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为A.10 B.－10

C.2 D.－2√解析(1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于A.－4B.－3C.－2D.－1√所以a＝－1，故选D.跟踪训练1

(1)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为A.12B.16C.20D.24√方法二∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3的系数为1×4＋2×4＝12.跟踪训练1

(1)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为A.12B.16C.20D.24√方法二∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3的系数为1×4＋2×4＝12.(2)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字作答)－20二、系数的最值问题解得n＝－13(舍去)或n＝12.设Tk＋1项的系数最大，又∵0≤k≤n，k∈N，∴k＝10.∴展开式中系数最大的项是第11项，解得9.4≤k≤10.4.即n2＋n－156＝0.反思感悟求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解.一般地，如果第(k＋1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k＋2)项的系数均不大于第(k＋1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定k的值，即可求出最大项.反思感悟求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解.一般地，如果第(k＋1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k＋2)项的系数均不大于第(k＋1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定k的值，即可求出最大项.解设第Tk＋1项的系数最大，∵0≤k≤10，k∈N，∴k＝7，∴展开式中系数最大的项为三、整除和余数问题解202110＝(8×253－3)10.∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，∴202110除以8的余数与310除以8的余数相同.又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，∴310除以8的余数为1，即202110除以8的余数也为1.例3

(1)试求202110除以8的余数；证明

32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除.①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.反思感悟

利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和或差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.证明

原式＝4·6n＋5n－4＝4·(5＋1)n＋5n－4跟踪训练3求证：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N*)能被25整除.以上各项均为25的整数倍，故2n＋2·3n＋5n－4能被25整除.1.知识清单：(1)两个多项式乘积的特定项.(2)系数的最值问题.(3)整除与余数问题.2.方法归纳：

双通法.3.常见误区：项、项数、二项式系数、系数等概念的辨析.课堂小结随堂演练A.25 B.－25

C.5 D.－51234√令6－2k＝－2，或6－2k＝0，分别解得k＝4或k＝3.2.(1－2x)5的展开式中系数最大的项是A.第3项 B.第4项C.第5项 D.第6项14√32即k＝0,2,4，对应的系数分别为1,40,80，故k＝4时，即第5项是展开式中的系数最大的项.1432解析(x＋1)4(x－1)的展开式中含x3的项由以下两部分相加得到：3.(x＋1)4(x－1)的展开式中x3的系数是_____.2②(x＋1)4中的三次项乘以(x－1)中的常数项－1，所以(x＋1)4(x－1)的展开式中x3的系数是6＋(－4)＝2.4.230－3除以7的余数为_____.14325解析230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3又∵余数不能为负数(需转化为正数)，∴230－3除以7的余数为5.课时对点练A.－3B.－2C.2D.3基础巩固12345678910111213141516√令10－2k＝2或10－2k＝0，解得k＝4或k＝5.A.－6 B.－3

C.0 D.312345678910111213141516√∴x2的系数是－12＋6＝－6.3.1.026的近似值(精确到0.01)为A.1.12 B.1.13

C.1.14D.1.2012345678910111213141516√≈1＋0.12＋0.006≈1.13.4.(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是A.56 B.84

C.112 D.16812345678910111213141516√12345678910111213141516√6.(多选)(1＋x2)(2＋x)4的展开式中A.x3的系数为40 B.x3的系数为32C.常数项为16 D.常数项为812345678910111213141516√√解析(1＋x2)(2＋x)4＝(2＋x)4＋x2(2＋x)4，展开式中x3的系数分为两部分，所以含x3的系数是8＋32＝40，故A正确；展开式中常数项只有(2＋x)4展开式的常数项24＝16，故C正确.1234567891011121314151691234567891011121314151610x12345678910111213141516证明

1110－1＝(10＋1)10－19.用二项式定理证明1110－1能被100整除.显然上式括号内的数是正整数，所以1110－1能被100整除.12345678910111213141516解设展开式中第k＋1项的系数最大，又因为0≤k≤5，k∈N，所以k＝4，所以展开式中第5项系数最大.综合运用12345678910111213141516√除最后两项外，其余各项都是9的倍数.因为n为正奇数，所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余数为7.12345678910111213141516√12345678910111213141516解得a＝2.13.设a∈Z，且0≤a＜13，若512021＋a能被13整除，则a等于A.0 B.1

C.11 D.1212345678910111213141516解析512021＋a＝(13×4－1)2021＋a，被13整除余－1＋a，结合选项可得当a＝1时，512021＋a能被13整除.√12345678910111213141516A.2021 B.2022

C.2023 D.2024√12345678910111213141516＝320＝910＝(10－1)10，由二项式定理可得即a除以10的余数为1，因为a≡b(mod10)，所以b的值除以10的余数也为1，观察选项，只有2021除以10的余数为1，则b的值可以是2021.拓广探究1234567891011121314151615.已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N*)的展开式中含x项的系数为36，则展开式中含x2项的系数的最小值为_______.27212345678910111213141516解析(1＋2x)m＋(1＋4x)n的展开式中含x的项为∵m＋2n＝18，∴m＝18－2n，∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n(1＋2x)m＋(1＋4x)n的展开式中含x2的项的系数为12345678910111213141516∴当n＝5时，t即x2项的系数最小，最小值为272.1234567891011121314151616.求(1＋x＋x2)8展开式中x5的系数.12345678910111213141516解方法一(1＋x＋x2)8＝[1＋(x＋x2)]8，则x5的系数由(x＋x2)r来决定，方法二(1＋x＋x2)8＝[(1＋x)＋x2]812345678910111213141516方法三

(1＋x＋x2)8＝(1＋x＋x2)(1＋x＋x2)…(1＋x＋x2)(共8个)，这8个因式中乘积展开式中形成x5的来源有三个：12345678910111213141516备用工具&资料12345678910111213141516方法三

(1＋x＋x2)8＝(1＋x＋x2)(1＋x＋x2)