高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第29练空间向量及其运算的坐标表示(原卷版+解析)

专题09空间向量与立体几何第29练空间向量及其运算的坐标表示1．(2023·江苏南通·模拟）已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．(2023·河北石家庄·一模）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且，则的最大值为（

）.A． B． C． D．3．(2023·安徽淮北·一模（理））在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．4．(2023·天津三中三模）在棱长为的正方体中，是棱的中点，在线段上，且，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．5．(2023·河南郑州·二模（理））已知向量，且，则实数________________．6．(2023·上海长宁·二模）已知，若，则_________．1．(2023·江苏·金陵中学二模）为正方体对角线上的一点，且，下面结论不正确的是（

）A． B．若平面PAC，则C．若为钝角三角形，则 D．若，则为锐角三角形2．（2023·江西九江·三模（文））如图所示，在正方体中，为线段上的动点，给出下列四个结论：①DP长度为定值；②三棱锥的体积为定值；③任意点P，都有；④存在点P，使得平面其中正确的是（

）A．①③ B．②④ C．②③ D．①④3．如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的动点，则下列说法正确的是_______（填写序号）①平面

②三棱锥的体积的最大值为③存在点P，使得与平面所成的角为

④存在点P，使得与垂直4．(2023·河南洛阳·模拟（文））在正方体中，N为底面ABCD的中点，P为棱上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则下列结论正确的序号是______．（填写所有正确结论的序号）（1）CM与PN是异面直线（2）（3）过P，A，C三点的正方体的截面一定不是等腰梯形（4）平面平面5．在长方体中，已知AB=2，BC=t，若在线段AB上存在点E，使得，则实数t的取值范围是______．6．（2023·四川达州·一模（理））两个非零向量，，定义．若，，则___________．7．（2023·浙江省杭州第二中学模拟）已知三棱锥中，，且，长度为1的线段的端点在上，端点在侧面内运动，若的中点为，的重心为，则的最小值是_________.1．（多选题）(2023·辽宁·东北育才双语学校模拟）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（

）A． B．平面C．动点的轨迹长为 D．与所成角的余弦值为2．（多选题）(2023·湖北武汉·模拟）已知正方体的棱长为2（如图所示），点M为线段（含端点）上的动点，由点A，，M确定的平面为，则下列说法正确的是（

）A．平面截正方体的截面始终为四边形B．点M运动过程中，三棱锥的体积为定值C．平面截正方体的截面面积的最大值为D．三棱锥的外接球表面积的取值范围为3．（多选题）(2023·湖南邵阳·一模）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（

）A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是C．当直线与平面所成的角为45°时，点的轨迹长度为D．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是4．(2023·湖南师大附中三模）已知棱长为的正四面体，为的中点，动点满足，平面经过点，且平面平面，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为_________.5．(2023·广西师范大学附属外国语学校模拟）正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为___________.专题09空间向量与立体几何第29练空间向量及其运算的坐标表示1．(2023·江苏南通·模拟）已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，且，由正六边形的性质可得，，设，其中，所以，，所以，所以的取值范围.故选：A.2．(2023·河北石家庄·一模）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且，则的最大值为（

）.A． B． C． D．答案：B【解析】由题意可知三棱柱为直三棱柱，且，以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的直角坐标系，如下图所示：因为，则，由于动点在“堑堵”的侧面上运动，则存在实数使得，又，所以，所以，又，所以，化简可得，即，又，又，所以，,所以，又，函数在上单调递减，且，所以的最大值为.故选：B.3．(2023·安徽淮北·一模（理））在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】∵，，，∴，∴，∴在方向上的投影数量为，∴点到直线的距离为.故选：C.4．(2023·天津三中三模）在棱长为的正方体中，是棱的中点，在线段上，且，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】如图，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设，则，所以，所以，因为，所以，所以，解得，所以，所以点到平面的距离为，所以故选：C5．(2023·河南郑州·二模（理））已知向量，且，则实数________________．答案：【解析】，则，解得故答案为：6．(2023·上海长宁·二模）已知，若，则_________．答案：2【解析】因为，故，即，故，故故答案为：21．(2023·江苏·金陵中学二模）为正方体对角线上的一点，且，下面结论不正确的是（

）A． B．若平面PAC，则C．若为钝角三角形，则 D．若，则为锐角三角形答案：C【解析】如图（1）所示：对于A中，正方体中，连接，因为平面，且平面，所以，又由且，所以平面，因为，所以平面，所以，所以A正确；对于B中，正方体中，连接，可得，且，所以平面，若平面，可得点在平面中，可得，又由，所以，所以B正确；对于C中，设正方体的棱长为，当为的中点时，即时，可得，，由余弦定理可得，可得，所以若为钝角三角形，则是不正确的，故C不正确；对于D中，建立如图所示的空间直角坐标系，如图（2）所示不妨设正方体的棱长为1，则，可得，,由，令，解得或（舍去），又由，所以，即当时，，即为锐角，又因为中，，所以为锐角三角形，所以D正确.故选：C.2．（2023·江西九江·三模（文））如图所示，在正方体中，为线段上的动点，给出下列四个结论：①DP长度为定值；②三棱锥的体积为定值；③任意点P，都有；④存在点P，使得平面其中正确的是（

）A．①③ B．②④ C．②③ D．①④答案：C【解析】如下图所示：设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、、、、、，设点，其中.对于①，不是定值，①错误；对于②，在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，则平面，，则点到平面的距离为定值，而的面积也为定值，所以，三棱锥的体积为定值，②正确；对于③，，，所以，，因此，对任意点，都有，③正确；对于④，，，，，这样的不存在，所以，不存在点，使得平面，④错误．故选：C．3．如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的动点，则下列说法正确的是_______（填写序号）①平面

②三棱锥的体积的最大值为③存在点P，使得与平面所成的角为

④存在点P，使得与垂直答案：②③【解析】由题意得．则，易得，所以与不垂直．故①错误；，点B到平面的距离为，由，得，得，又，则，故②正确；与平面所成的角即为与平面所成的角，设为，易知当点P与M重合时，最小，此时，当点Р与重合时，最大，此时，此时，故存在点P，使得与平面所成的角为，③正确；如图建立空间直角坐标系，，设．则有，故不存在点P，使得与垂直，④错误．故答案为：②③4．(2023·河南洛阳·模拟（文））在正方体中，N为底面ABCD的中点，P为棱上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则下列结论正确的序号是______．（填写所有正确结论的序号）（1）CM与PN是异面直线（2）（3）过P，A，C三点的正方体的截面一定不是等腰梯形（4）平面平面答案：（2），（4）【解析】对于（1），连接，因为由点在上，在平面内，所以点在平面内，所以在平面内，因为在上，在平面内，所以点在平面内，所以在内，所以CM与PN不是异面直线，所以（1）错误，对于（2），以为原点，以所在的直线分别为建立空间直角坐标系，设，则，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以（2）正确，对于（3），当为的中点时，取的中点，连接，则∥，，所以四边形为等腰梯形，所以（3）错误，对于（4），因为四边形为正方形，所以，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，即平面平面，所以（4）正确，故答案为：（2），（4）5．在长方体中，已知AB=2，BC=t，若在线段AB上存在点E，使得，则实数t的取值范围是______．答案：【解析】如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，，（）则，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，因为t>0所以实数t的取值范围是，故答案为：6．（2023·四川达州·一模（理））两个非零向量，，定义．若，，则___________．答案：【解析】因为，，所以，故，所以，故答案为：7．（2023·浙江省杭州第二中学模拟）已知三棱锥中，，且，长度为1的线段的端点在上，端点在侧面内运动，若的中点为，的重心为，则的最小值是_________.答案：【解析】因，则平面PBC，在平面PBC内过点P作Pz⊥PC，则Pz⊥平面PAC以点P为原点，射线PA，PC，Pz分别为x，y，z轴非负轴建立空间直角坐标系，如图：因，则有，设，，则的中点，连BG并延长交AC于点D，因G(m，n，p)是的重心，则D是BC中点，且，而,，，则，即，因，即，则，即，所以点T的轨迹是以P为球心，为半径的球面在三棱锥内的部分(含边界)，而，点G在上述轨迹外，且线段GP与上述轨迹必相交，所以故答案为：1．（多选题）(2023·辽宁·东北育才双语学校模拟）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（

）A． B．平面C．动点的轨迹长为 D．与所成角的余弦值为答案：BC【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，则，，，，，所以，，，由平面，得，即，化简可得，所以动点在直线上，A选项：，，，所以与不垂直，所以A选项错误；B选项：，平面，平面，所以平面，B选项正确；C选项：动点在直线上，且为侧面上的动点，则在线段上，，所以，C选项正确；D选项：，，D选项错误；故选：BC.2．（多选题）(2023·湖北武汉·模拟）已知正方体的棱长为2（如图所示），点M为线段（含端点）上的动点，由点A，，M确定的平面为，则下列说法正确的是（

）A．平面截正方体的截面始终为四边形B．点M运动过程中，三棱锥的体积为定值C．平面截正方体的截面面积的最大值为D．三棱锥的外接球表面积的取值范围为答案：BCD【解析】正方体的棱长为2，点M为线段（含端点）上的动点，对于A，当点M与点C重合时，平面只与正方体的共点D的三个面有公共点，所得截面为三角形，A不正确；对于B，点M到平面的距离为2，而，B正确；对于C，当点M与点C重合时，截面为正三角形，其边长为，截面面积为，当点M与点C不重合时，平面平面，如图，，当点M与点重合时，截面是正方体的对角面，其面积为，令，截面是等腰梯形，则，，等腰梯形的高，截面面积，令，显然在上递增，，则，所以截面面积，最大值为，C正确；对于D，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，设点，，三棱锥的外接球截平面所得截面小圆是的外接圆，其圆心为中点，三棱锥的外接球球心O在过点E垂直于平面的直线l上，设点，由得：，即，有，所以三棱锥的外接球表面积，D正确.故选：BCD3．（多选题）(2023·湖南邵阳·一模）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（

）A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是C．当直线与平面所成的角为45°时，点的轨迹长度为D．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是答案：AC【解析】A.当在平面上运动时，点到面的距离不变，不变，故四棱锥的体积不变，故A正确；B.建立如图所示空间直角坐标系：设，，则，设与所成的角为，则，因为，当时，，当时，，则，综上：，所以与所成角的取值范围是，故B错误；C.因为直线与平面所成的角为，若点在平面和平面内，因为最大，不成立；在平面内，点的