2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)拓展一：利用导数研究不等式恒成立问题(精讲)(原卷版+解析)

拓展一：利用导数研究不等式恒成立问题（精讲）目录第一部分：：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析重点解法一：分离变量法重点解法二：分类讨论法重点解法三：等价转化法第三部分：高考（模拟）题体验第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆1、分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．③求最值.2、分类讨论法如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．3、等价转化法当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.第二部分：第二部分：典型例题剖析重点解法一：分离变量法1．(2023·安徽·高三阶段练习）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．(2023·全国·模拟预测）已知，不等式，对满足当且时恒成立，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．e D．3．(2023·四川·成都七中高三阶段练习（理））若，不等式恒成立，则实数m的最大值为（

）A． B． C． D．14．(2023·全国·高二课时练习）设函数，若对任意的有恒成立，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．5．(2023·云南·昆明市第三中学高三阶段练习）已知函数的导函数满足：，且，对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为__________．6．(2023·浙江·高三阶段练习）若对任意，都有（其中为自然对数的底数）恒成立，则实数a的最小值为______．7．(2023·重庆八中高三阶段练习）已知函数.(1)若函数在定义域内单调递增，求a的取值范围；(2)若，在上恒成立，求整数k的最大值.（参考数据：，）8．(2023·北京·首都师范大学附属密云中学高三阶段练习）已知函数(1)当时，求曲线在点（1，f（1）处曲线的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围.9．(2023·广东湛江·高三阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若不等式恒成立，求a的取值范围．（参考数据：，）10．(2023·河南·高三阶段练习（文））已知函数.(1)求函数的极值；(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.重点解法二：分类讨论法1．(2023·重庆·高二期末）已知，不等式对恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．(2023·山东潍坊·高二阶段练习）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．(2023·安徽·高三阶段练习）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若为整数时，当时，恒成立，求的最小值.（参考数据：，，…）4．(2023·四川广安·高三阶段练习（理））设函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求的取值范围.5．(2023·北京·牛栏山一中高一阶段练习）已知函数.(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若对任意恒有，求的最大值.6．(2023·四川·南江中学高三阶段练习（文））已知函数，．(1)求函数的单调区间；(2)若对任意恒有，求a．重点解法三：等价转化法1．(2023·福建·厦门外国语学校高三阶段练习）已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．(2023·陕西·大荔县教学研究室高二期末（理））己知函数，，若恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·一模（理））已知函数，，若≥恒成立，则实数a的取值范围是(

)A． B． C． D．4．(2023·湖北·随州市第一中学高二阶段练习）已知函数，，对，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．(2023·四川广安·高三阶段练习（文））已知函数，（a为常数）．(1)讨论的单调性；(2)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围．6．(2023·天津一中高三阶段练习）设函数，，其中，为自然对数的底数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，；(3)若不等式在时恒成立，求的取值范围．7．(2023·上海市复兴高级中学高三开学考试）已知．(1)当时，求在上的最大值；(2)当时，讨论函数的单调性；(3)当时，求恒成立，求正整数的最大值．第三部分：高第三部分：高考（模拟）题体验1．(2023·广西·模拟预测（文））已知函数(1)若，求的值；(2)若时，，求的取值范围2．(2023·河南平顶山·模拟预测（理））已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)令，若恒成立，求实数a的取值范围．3．(2023·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为．(1)若，求，；(2)若在上恒成立，求的取值范围．4．(2023·山东济南·模拟预测）已知函数.(1)当时，求在上的最大值；(2)当时，，求的取值范围.5．(2023·四川·模拟预测（文））已知.(1)若在上单调递增，上单调递减，求的极小值；(2)当时，恒有，求实数的取值范围．6．(2023·河南·南阳中学模拟预测（理））已知函数(1)求函数的最小值；(2)设函数,若不等式对任意的恒成立，求实数a的值．拓展一：利用导数研究不等式恒成立问题（精讲）目录第一部分：：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析重点解法一：分离变量法重点解法二：分类讨论法重点解法三：等价转化法第三部分：高考（模拟）题体验第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆1、分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．③求最值.2、分类讨论法如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．3、等价转化法当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.第二部分：第二部分：典型例题剖析重点解法一：分离变量法1．(2023·安徽·高三阶段练习）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：C【详解】由，得，.记，易知在上单调递增，，，，记，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，，，故选：C.2．(2023·全国·模拟预测）已知，不等式，对满足当且时恒成立，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．e D．答案：C【详解】，则当时，，时，，故在单调递减，在单调递增，当且时，，得，即在且时恒成立，令，则，当时，，时，，在单调递减，在单调递增，，故的最大值为，故选：C3．(2023·四川·成都七中高三阶段练习（理））若，不等式恒成立，则实数m的最大值为（

）A． B． C． D．1答案：A【详解】解：，不等式恒成立，等价于，不等式恒成立，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，即恒成立，当且仅当时，取等号，所以当时，，当且仅当时，取等号，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，又，所以存在，使得，存在，使得，即方程有解，因为不等式可以取到等号，所以的最小值为，所以，即，所以实数m的最大值为.故选：A.4．(2023·全国·高二课时练习）设函数，若对任意的有恒成立，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：C【详解】，令，得或.当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.因为，，所以因为对任意的有恒成立，所以，即.故选：C5．(2023·云南·昆明市第三中学高三阶段练习）已知函数的导函数满足：，且，对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为__________．答案：【详解】设，则，故（C为常数）.因为，所以，解得.所以.则对任意,不等式恒成立，即对任意,不等式恒成立，即对任意,不等式恒成立，令，则，所以在上单调递增.即为故对任意的恒成立，即对任意的恒成立.令，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.故.所以,即.则实数的最小值为.故答案为:.6．(2023·浙江·高三阶段练习）若对任意，都有（其中为自然对数的底数）恒成立，则实数a的最小值为______．答案：【详解】解：因为对任意，恒成立，所以有恒成立；令，即证，则有，所以在上单调递增，即有在上恒成立，即在上恒成立；令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减；所以，即.故答案为：.7．(2023·重庆八中高三阶段练习）已知函数.(1)若函数在定义域内单调递增，求a的取值范围；(2)若，在上恒成立，求整数k的最大值.（参考数据：，）答案：(1)(2)6（1），函数定义域为，∵在上单调递增，∴在上恒成立，，记，，解得，，解得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∴，a的取值范围为（2）由可知，，∴，记，∵，令，，，解得，，解得在上单调递减，在上单调递增，，，∴，，，，∴，∴单调递减，，，，∴单调递增，，∵，，∴，∴整数k的最大值为6．8．(2023·北京·首都师范大学附属密云中学高三阶段练习）已知函数(1)当时，求曲线在点（1，f（1）处曲线的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围.答案：(1)(2)答案见解析；(3).（1）时，，，故，，故切线方程是：，整理得：.（2）的定义域为，求导函数可得当时，由于，故，，所以的单调递增区间为；当时，由，得在区间上，；在区间上，，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，综上：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）由已知转化为，，，由知，当时，在上单调递增，值域为R，故不符合题意．或者举出反例：存在，故不符合题意．当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，，所以，所以，解得：，所以a的取值范围为.9．(2023·广东湛江·高三阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若不等式恒成立，求a的取值范围．（参考数据：，）答案：(1)答案见解析；(2).（1）函数的定义域为，求导得：，当时，，函数在上单调递增，当时，由得：，由得：，则函数在上递增，在上递减，所以，当时，函数的递增区间为；当时，函数的递增区间是，递减区间是.（2）依题意，，，令函数，则，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，，即，当且仅当时取等号，于是有，当且仅当时取等号，令，显然函数在上单调递增，而，即存在，使得，因此当时，，取得最小值1，有，所以a的取值范围是.10．(2023·河南·高三阶段练习（文））已知函数.(1)求函数的极值；(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.答案：(1)极小值为，无极大值(2)（1）的定义域为，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减；所以当时，取得极小值，且极小值为；无极大值.（2）对任意恒成立，即恒成立，即在上恒成立，令，则，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.所以，所以，即，故的取值范围为.重点解法二：分类讨论法1．(2023·重庆·高二期末）已知，不等式对恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【详解】令，则，由题意可知，.当时，则当时，，不合乎题意；当时，，即函数在上为减函数，当时，，不合乎题意；当时，令，则，即函数在上为增函数，则.①当时，即当时，对任意的，且不恒为零，故函数在上为增函数，此时，合乎题意；②当时，即当时，，，所以，存在，使得，且当时，，此时函数单调递减，则，不合乎题意.综上所述，的取值范围是.故选：C.2．(2023·山东潍坊·高二阶段练习）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【详解】函数在R上单调递增，所以在R上恒成立，令，即在R上恒成立，即在R上恒成立.当时，不等式显然成立.当时，，由在上单增，得时，，所以.当时，，由在上单增，得时，，所以.综上：a的取值范围是：.故选：A.3．(2023·安徽·高三阶段练习）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若为整数时，当时，恒成立，求的最小值.（参考数据：，，…）答案：(1)(2)（1）解：当时，，则，所以，，所以，曲线在点处的切线方程为，即.（2）解：.且函数的定义域为，，令，，，，令，其中，则，所以，在单调递增，当，，单调递减，当时，，单调递增.①当时，，在上恒成立，单调递增，，记，则，在区间上单调增递，，，故当时，恒成立；②当时，又，即时，，因为，，记，由上可知在上单调递增，且在单调递减，在单调递增，，，，所以，，，，且当时，，当时，，所以，在单调递增，在单调递减，在单调递增，由，所以，令，，则，当时，，，单调递减，，故当时，；③当时，，，记，，，易知单调递增，在单调递减，单调递增，，，，，，当时，，当时，，在上单调递增，上单调递减，上单调递增.因为，当时，，不符合题意，的最小值为.4．(2023·四川广安·高三阶段练习（理））设函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求的取值范围.答案：(1)见解析(2)（1）当时，，，由于，故当时，，单调递减，当时，，单调递增.函数的减区间为，增区间为.（2）令，则，当时，恒成立，①若，则时，，，此时不恒成立；②若，由时，恒成立，则，则，令，得或，（i）若，则，当时，，单调递减，而，当时，，此时不恒成立，（ii）若，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，此时恒成立，（ⅲ）若，当时，，单调递增，有，此时恒成立，综上所述，.5．(2023·北京·牛栏山一中高一阶段练习）已知函数.(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若对任意恒有，求的最大值.答案：(1)在，，上单调递增，在上单调递减(2)（1）由得：，的定义域为；；令，当时，，令，解得：，，当时，；当时，；在，，上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知：，，①当时，当时，，，，满足题意；②当时，，，即恒成立，，满足题意；③当时，由（1）知：在上单调递减，此时，不合题意；综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为.6．(2023·四川·南江中学高三阶段练习（文））已知函数，．(1)求函数的单调区间；(2)若对任意恒有，求a．答案：(1)答案见解析(2)（1）因为，当时，对任意都有，函数的单调增区间为当时，由，得，时，，时，，所以函数的单调增区间为，单调减区间为．综上，当时，函数的单调增区间为，当时，函数的单调增区间为，单调减区间为；（2）因为对任意恒有，所以设，根据题意，对任意，要求，，①当时，，时，，为上单调增函数，所以时，，时，，为上单调减函数，所以时，，此时，对任意恒有；②当时，由得，，时，，为上单调增函数，因为，所以，不符题意；③当时，由得，，时，，为上单调减函数，因为，所以，不符题意；④当时，对任意都有，为R上单调减函数，所以时，，不符题意；综上，当时，对任意恒有．重点解法三：等价转化法1．(2023·福建·厦门外国语学校高三阶段练习）已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【详解】当时，由，可得，不等式两边同时除以可得，即，令，，其中，，所以，函数在上为增函数，且，由，可得，所以，对任意的，，即，令，其中，则，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，解得.故选：B.2．(2023·陕西·大荔县教学研究室高二期末（理））己知函数，，若恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【详解】，令，则，令，，∵，∴p(x)在(0，+)上单调递增，∵，∴当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；∴，∴≥恒成立，则．故选：A3．(2023·全国·一模（理））已知函数，，若≥恒成立，则实数a的取值范围是(

)A． B． C． D．答案：C【详解】，令，则，令，，∵，∴p(x)在(0，+)上单调递增，∵，∴当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；∴，∴≥恒成立，则．故选：C．4．(2023·湖北·随州市第一中学高二阶段练习）已知函数，，对，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【详解】由题意得：，恒成立，即，恒成立，令，则恒成立，令，，则恒成立，所以在为减函数，即，即，所以为增函数，即，恒成立，所以.故选：D5．(2023·四川广安·高三阶段练习（文））已知函数，（a为常数）．(1)讨论的单调性；(2)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围．答案：(1)答案见解析(2)（1）函数的定义域为，，①若，有，函数在上单调递增；②若，有，∴当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增．综上，当，函数在上单调递增；当，函数在上单调递减，在上单调递增．（2）∵对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，得，当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；∴，即，故得，设，∵，当时，，，∴，故函数在上单调递增；∴，故．6．(2023·天津一中高三阶段练习）设函数，，其中，为自然对数的底数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，；(3)若不等式在时恒成立，求的取值范围．答案：(1)答案见解析(2)证明见解析(3)（1）定义域为，．当时，，在内单调递减；当时，由，得．当时，，单调递减；当时，，单调递增．综上所述，当时，在内单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）令，则．当时，，单调递增，，所以，从而．（3）由（2）得，当时，．当时，时，，不符合题意．当时，，由（1）得，当时，，不符合题意．当时，令，．

在区间上单调递增．又因为，所以当时，，即恒成立．综上，．7．(2023·上海市复兴高级中学高三开学考试）已知．(1)当时，求在上的最大值；(2)当时，讨论函数的单调性；(3)当时，求恒成立，求正整数的最大值．答案：(1)0；(2)答案见解析；(3)3．（1），定义域是，，时，，递增，时，，递减，所以时，取得极大值也是最大值．（2），定义域是，，，若，则，恒成立，即恒成立，所以在上单调递减，当时，由得，，所以或时，，时，，所以在和上是减函数，在上是增函数；时，，在上是增函数，在上是减函数．综上，若，在上单调递减；时，在和上是减函数，在上是增函数；时，在上是增函数，在上是减函数．（3）时，求恒成立，即，，设，，，设，则，所以在上单调递减，又，，所以存在唯一的，使得，，时，，时，，所以，，时，，在上是减函数，在上是增函数，，显然，由得，设，在时恒成立在上递减，，，所以，所以，则满足的最大的正整数的值为3．第三部分：高第三部分：高考（模拟）题体验1．(2023·广西·模拟预测（文））已知函数(1)若，求的值；(2)若时，，求的取值范围答案：(1)；(2)（1）由可得，所以，解得（2）即，由得，令，，，令，，，得在单调递减，，从而，，单调递减，，，单调递增，∴，故，所以的取值范围.2．(2023·河南平顶山·模拟预测（理））已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)令，若恒成立，求实数a的取值范围．答案：(1)答案见解析；(2).（1）函数的定义域为，有，令，有，则单调递增，又知：当时，，当时，，①当时，令得，此时的减区间为，增区间为，②当时，，此时单调递增，增区间为，没有减区间，③当时，令得或，此时的减区间为，增区间为，，④当时，令得或，此时的减区间为，增区间为，；（2）由题设，则，可得，①当时，由，，则恒成立，满足题意；②当时，当且时，有，则，不合题意；③当时，，由单调递增，且趋向于0时趋向，，故存在正数使得，可得，若恒成立，只需．令，有．由有，令得，所以的增区间为，减区间为，当时，，，，，此时，又，则，得，由①②③知，若恒成立，则实数的取值范围为．3．(2023·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为．(1)若，求，；(2)若在上恒成立，求的取值范围．答案：(1)，(2)．（1）解：∵，∴，所以，即，