高考数学大题精做专题04函数的零点(第六篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第六篇函数与导数专题04函数的零点类型对应典例证明函数存在零点问题典例1判断函数零点个数典例2与零点有关的证明问题典例3由零点确定参数的值或取值范围典例4【典例1】【辽宁省丹东市2020届模拟】已知设函数.（1）若，求极值；（2）证明：当，时，函数在上存在零点.【典例2】【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试】已知函数.（1）求函数在区间上零点个数；（其中为的导数）（2）若关于的不等式在上恒成立，试求实数的取值范围.【典例3】【广东省茂名市2019届高三第一次综合测试】已知函数在处的切线与直线平行．(1)求实数的值，并判断函数的单调性；(2)若函数有两个零点，，且，求证：．【典例4】【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试】已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数在（为自然对数的底）时取得极值，且函数在上有两个零点，求实数的取值范围.【针对训练】1.【福建省泉州市2019届普通高中毕业班第二次质量检查】已知函数，.（1）证明：函数的极小值点为1；（2）若函数在有两个零点，证明：.2.【湖北省2019届高三4月份调研考试】已知.（1）若是上的增函数，求的取值范围；（2）若函数有两个极值点，判断函数零点的个数.3.【山西省吕梁市2020届模拟】已知函数．（1）当时，证明的图象与轴相切；（2）当时，证明存在两个零点．4.【广东省深圳市2019届高三第一次（2月)调研考试】已知函数，其定义域为.（其中常数，是自然对数的底数）（1）求函数的递增区间；（2）若函数为定义域上的增函数，且，证明:.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第六篇函数与导数专题04函数的零点类型对应典例证明函数存在零点问题典例1判断函数零点个数典例2与零点有关的证明问题典例3由零点确定参数的值或取值范围典例4【典例1】【辽宁省丹东市2020届模拟】已知设函数.（1）若，求极值；（2）证明：当，时，函数在上存在零点.【思路引导】（1）通过求导得到，求出的根，列表求出的单调区间和极值.（2）对进行分类，当时，通过对求导，得到在单调递减，找到其零点，进而得到的单调性，找到，，可证在上存在零点.当时，根据（1）得到的结论，对进行放缩，得到，再由，可证在上存在零点.【详解】（1）当时，，定义域为，由得．当变化时，，的变化情况如下表：极大值故当时，取得极大值，无极小值．（2），．当时，因为，所以，在单调递减．因为，，所以有且仅有一个，使，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减．所以，而，所以在存在零点．当时，由（1）得，于是，所以．所以．于是．因为，所以所以在存在零点．综上，当，时，函数在上存在零点．【典例2】【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试】已知函数.（1）求函数在区间上零点个数；（其中为的导数）（2）若关于的不等式在上恒成立，试求实数的取值范围.【思路引导】（1）根据可得，为递增函数，再根据零点存在性定理得出答案.（2）将不等式整理转化为求函数在的最小值，利用导数判断单调性和取值范围，遂可得解.【详解】解：（1）函数的导数，则在区间递增，又，，则函数在区间上只有一个零点；（2）若关于的不等式在上恒成立，整理得，即求函数在的最小值由的导数，由的导数为，可得时，，函数递增，时，函数递减，则，即，当时，，则在递增，可得，则.【典例3】【广东省茂名市2019届高三第一次综合测试】已知函数在处的切线与直线平行．(1)求实数的值，并判断函数的单调性；(2)若函数有两个零点，，且，求证：．【思路引导】（1）由可得，利用导数可求的单调区间.（2）由可得，，令，则且，构建新函数，利用导数可以证明即.【详解】（1）函数的定义域：，，解得，，令，解得，故在上是单调递减；令，解得，故在上是单调递增.（2）由为函数的两个零点，得两式相减，可得即，，因此，令，由，得.则，构造函数，则所以函数在上单调递增，故，即，可知.故命题得证.【典例4】【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试】已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数在（为自然对数的底）时取得极值，且函数在上有两个零点，求实数的取值范围.【思路引导】（1）当时，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可判断f（x）的单调性；（2）函数在上有两个零点等价于函数的图像与x轴有两个交点，数形结合即可得到实数的取值范围.【详解】（1）当时，，，令，得，当时，，当时，.所以函数在上单调递增，在上单调递减.（2），，∵在时取得极值，∴即，∴.所以，，函数在上单调递增，在上单调递减，得函数的极大值，∴当函数在上有两个零点时，必有得.当时，.∴的两个零点分别在区间与中.∴的取值范围是.【针对训练】1.【福建省泉州市2019届普通高中毕业班第二次质量检查】已知函数，.（1）证明：函数的极小值点为1；（2）若函数在有两个零点，证明：.【思路引导】(1)利用导函数的正负确定函数的增减.(2)函数在有两个零点，即方程在区间有两解，令通过二次求导确定函数单调性证明参数范围.解：（1）证明：因为，当时，，，所以在区间递减；当时，，所以，所以在区间递增；且，所以函数的极小值点为1（2）函数在有两个零点，即方程在区间有两解，令，则令，则，所以在单调递增，又，故存在唯一的，使得，即，所以在单调递减，在区间单调递增，且，又因为，所以，方程关于的方程在有两个零点，由的图象可知，，即.2.【湖北省2019届高三4月份调研考试】已知.（1）若是上的增函数，求的取值范围；（2）若函数有两个极值点，判断函数零点的个数.【思路引导】(1)由题意知恒成立,构造函数，对函数求导，求得函数最值，进而得到结果；（2）当时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点，再证，.【详解】（1）由得，由题意知恒成立，即，设，，时，递减，时，，递增；故，即，故的取值范围是.（2）当时，单调，无极值；当时，，一方面，，且在递减，所以在区间有一个零点.另一方面，，设，则，从而在递增，则，即，又在递增，所以在区间有一个零点.因此，当时在和各有一个零点，将这两个零点记为，，当时，即；当时，即；当时，即：从而在递增，在递减，在递增；于是是函数的极大值点，是函数的极小值点.下面证明：，由得，即，由得，令，则，①当时，递减，则，而，故；②当时，递减，则，而，故；一方面，因为，又，且在递增，所以在上有一个零点，即在上有一个零点.另一方面，根据得，则有：，又，且在递增，故在上有一个零点，故在上有一个零点.又，故有三个零点.3.【山西省吕梁市2020届模拟】已知函数．（1）当时，证明的图象与轴相切；（2）当时，证明存在两个零点．【思路引导】（1）先求导，再设切点，求出切点坐标，即可证明，（2）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可证明.【详解】证明：（1）当a＝1时，f（x）＝（x﹣2）lnx+x﹣1．∴f′（x）＝lnx++1，若f（x）与x轴相切，切点为（x0，0），∴f（x0）＝（x0﹣2）lnx0+x0﹣1＝0f′（x0）＝lnx0++1＝0，解得x0＝1或x0＝4（舍去）∴x0＝1，∴切点为（1，0），故f（x）的图象与x轴相切（2）∵f（x）＝（x﹣2）lnx+ax﹣1＝0，∴a＝﹣＝﹣lnx+，设g（x）＝﹣lnx+，∴g′（x）＝﹣﹣+＝，令h（x）＝1﹣2x﹣2lnx易知h（x）在（0，+∞）为减函数，∵h（1）＝1﹣1﹣2ln1＝0，∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，∴g（x）max＝g（1）＝1，当x→0时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→﹣∞，∴当a＜1时，y＝g（x）与y＝a有两个交点，即当a＜1时，证明f（x）存在两个零点4.【广东省深圳市2019届高三第一次（2月)调研考试】已知函数，其定义域为.（其中常数，是自然对数的底数）（1）求函数的递增区间；（2）若函数为定义域上的增函数，且，证明:.【思路引导】（1）求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（2）由题意，问题转化为，令，，即证，根据函数的单调性，即可作出证明．【详解】（1）易知，①若，由解得，∴函数的递增区间为；②若，则1+0-0+↗极大值↘极小值↗∴函数的递增区间为和；③若，则，∴函