【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测(讲+练+测)9.3空间中的垂直关系(原卷版+解析)

9.3空间中的垂直关系一、选择题1．设直线l为平面外的一条直线，则的充要条件是（

）A．内有无数条直线都与l垂直 B．内有两条相交直线都与l垂直C．l，垂直于同一条直线 D．l，垂直于同一平面2．已知平面、和直线m、l，要使“若，，，则”正确，则须添加条件（

）A． B．C．l与相交但不垂直 D．l与m为异面直线3．如图,在正方体，直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．4．在三棱锥中，平面，垂足为，且，则点一定是的（

）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心5．若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为（

）A． B． C． D．6．如图，将一张三角形纸片沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上，则折痕AD所在直线与桌面所成的角等于（

）A． B． C． D．7．如图，在四面体中，平面，，若，则（

）A．1 B． C． D．28．如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离是（）A． B． C． D．49．已知矩形的两边，，平面，且，则二面角的正切值为（）A． B． C． D．10．已知二面角的平面角是锐角，平面上有一点C到的距离为3，点C到棱AB距离为4，那么（

）A．； B．； C．； D．.二、填空题11．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.12．设，是两个不同的平面，直线l⊥α且，可以推出“”.13．在正方体中，与平面所成的角的正切值为.14．正方体的个顶点中任意选择个点，记这个点确定的平面为，则垂直于直线的平面的个数为．15．如图，在三棱锥内，侧面底面，且，则．16．如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有个．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．17．如图所示，在正方体中，是的中点，若，则点到平面的距离为.18．如图，在直二面角中，和分别在平面和上，它们都垂直于，且，，，则．三、解答题19．如图，已知在平面内有平行四边形，点是它的对角线的交点，点在外，且，.求证：.20．如图，正方形所在平面与以为直径的半圆所在平面互相垂直，为半圆周上异于，两点的任一点，求证：平面平面21．如图，是正方形，直线底面，，是的中点.（1）证明：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.22．如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.23．如图，在矩形中，，，沿对角线把△折起，使点移到点，且在平面内的射影恰好落在上．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．24.如图，在正方体中，.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线和平面所成的角.9.3空间中的垂直关系一、选择题1．设直线l为平面外的一条直线，则的充要条件是（

）A．内有无数条直线都与l垂直 B．内有两条相交直线都与l垂直C．l，垂直于同一条直线 D．l，垂直于同一平面答案：B【解析】由线面垂直的判定定理知：内两条相交直线都与l垂直是的充分条件；由线面垂直的性质定理可知：若，则内任意一条直线都与l垂直，所以内两条相交直线都与l垂直是的必要条件，故选：B．2．已知平面、和直线m、l，要使“若，，，则”正确，则须添加条件（

）A． B．C．l与相交但不垂直 D．l与m为异面直线答案：B【解析】根据面面垂直的性质，知：，，，，则有，故选：B.3．如图,在正方体，直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】连接,由正方体的性质可知：A1A平面ABCD,由线面角的定义可知：是直线A1C与平面ABCD所成角,设正方体的棱长为1,底面是与正方形,故,在中，,，故选：D.4．在三棱锥中，平面，垂足为，且，则点一定是的（

）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心答案：B【解析】如图所示，分别连接，因为平面，可得又因为，利用勾股定理，可得，所以点一定是的外心，故选:B.5．若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，因为圆锥的侧面积是底面积的2倍，所以，解得，设该圆锥的母线与底面所成角，则，所以，故选：C.6．如图，将一张三角形纸片沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上，则折痕AD所在直线与桌面所成的角等于（

）A． B． C． D．答案：C【解析】依题意可知，所以平面，所以折痕AD所在直线与桌面所成的角等于，故选：C.7．如图，在四面体中，平面，，若，则（

）A．1 B． C． D．2答案：C【解析】因为，，所以，又平面，平面，所以；因此，故选：C.8．如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离是（）A． B． C． D．4答案：C【解析】，利用等体积法，设题目所求高为，则有，由此解得，故选C.9．已知矩形的两边，，平面，且，则二面角的正切值为（）A． B． C． D．答案：B【解析】如图所示，在平面内，过作的垂线，垂足为，连接，因为平面，平面，所以，因为，，故平面，因为平面，故，所以为的平面角，在直角三角形中，，，故，故，故选B.10．已知二面角的平面角是锐角，平面上有一点C到的距离为3，点C到棱AB距离为4，那么（

）A．； B．； C．； D．.答案：B【解析】如图，作于点，平面于点，连接，因为平面，所以，又，且平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因此，，，所以，，故选：B.二、填空题11．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.答案：两条相交【解析】直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直，故答案为：两条相交．12．设，是两个不同的平面，直线l⊥α且，可以推出“”.答案：【解析】当直线，且时，可以推出“”，故答案为：．13．在正方体中，与平面所成的角的正切值为.答案：【解析】如图所示，连接，因为平面，所以即为在平面上的射影，所以即为所求，设正方体的棱长为，在中，，故答案为：．14．正方体的个顶点中任意选择个点，记这个点确定的平面为，则垂直于直线的平面的个数为．答案：2【解析】与直线垂直的平面有平面和平面，故与直线垂直的平面的个数为．15．如图，在三棱锥内，侧面底面，且，则．答案：【解析】∵侧面底面，交线为，(即)，平面PAC，∴平面，又平面，∴，∴，故答案为：．16．如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有个．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．答案：4【解析】因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD．因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确．因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD．故③正确．因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确，故答案为：4．17．如图所示，在正方体中，是的中点，若，则点到平面的距离为.答案：【解析】，，设点到平面的距离为，则，即，即，故答案为：．18．如图，在直二面角中，和分别在平面和上，它们都垂直于，且，，，则．答案：【解析】连接，在直二面角中，，，所以，又，则，又，所以，在△、△中，故答案为：．三、解答题19．如图，已知在平面内有平行四边形，点是它的对角线的交点，点在外，且，.求证：.答案：证明见解析【解析】证明：因为四边形是平行四边形，点是它的对角线的交点，所以.，又因为，所以，同理，因为，所以，又因为，平面，平面，所以.20．如图，正方形所在平面与以为直径的半圆所在平面互相垂直，为半圆周上异于，两点的任一点，求证：平面平面答案：【解析】证明：∵是半圆直径，∴，∵四边形是正方形，∴，∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面．21．如图，是正方形，直线底面，，是的中点.（1）证明：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.答案：（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连接，交于，连接四边形为正方形，为中点，又为中点，，平面，平面，

平面.（2）平面，直线与平面所成角即为，，

设，则，．22．如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）证：连接交于点，连接，∵底面是菱形，∴为的中点，∵点为的中点，∴，∵平面，且平面，∴平面（2）证：∵底面是菱形，∴，∵平面，∴，∵，∴平面，平面，∴．23．如图，在矩形中，，，沿对角线把△折起，使点移到点，且在平面内的射影恰好落在上．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．答案：（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：在平面内的射影恰好落在上，即为在面上的射影，而，所以，∵，，∴平面，又平面，∴平面平面．（2）由（1）知：，在中，有，即，∴，又，，即面，∴二面角的平面角是，∴，∴二面角的余弦值是．24.