2024-2025学年高一数学(人教A版2019必修第一册)1.4.2充要条件(分层作业)(原卷版+解析)

1.4.2充要条件（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．(2023·江西·高一期末）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．(2023·全国·高一）设P：，q：，则p是q成立的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件3．（2023·安徽·泾县中学高一阶段练习）“”是”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．(2023·天津市红桥区教师发展中心高一期末）设p：x>y，q：，则p是q成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不必要也不充分条件二、多选题5．（2023·湖南·金海学校高一期中）对于任意实数a、b、c，下列命题是真命题的是（

）A．“”是“”的充要条件 B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“”的必要不充分条件6．（2023·福建省福州第八中学高一期中）下列结论中正确的是（

）A．“”是“”的充分不必要条件B．在中，“是”为直角三角形“的充要条件”C．若，则“”是“a，b不全为0”的充要条件D．“x为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件7．（2023·江苏·金湖中学高一期中）对任意实数a，b，c，给出下列命题中正确的是（

）A．“”是“”的既不充分也不必要条件B．“”是“”的充分不必要条件C．“”是“”的充要条件D．“”是“”的必要不充分条件8．（2023·山东临沂·高一期中）下列选项中，是的充要条件的是（

）A．：，：，B．：，：C．：三角形是等腰三角形，：三角形存在两角相等D．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直平分三、填空题9．（2023·全国·高一课时练习）k>4，b<5是一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的________条件．10．（2023·江苏·高一单元测试）在下列命题中，试判断是的什么条件.（1），，则是______条件；（2），，则是______条件；（3）四边形的对角线相等，四边形是平行四边形.则是______条件.11．（2023·江苏·高一课时练习）根据下列所给的各组p，q填空：①p：，q：；②p：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，q：两个三角形全等；③p：，q：；④p：二次函数的图象过坐标原点，q：；⑤p：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，q：这两条直线平行；⑥p：两直角三角形的斜边相等，q：两直角三角形全等.其中，p是q必要条件的有__________；p是q充分条件的有__________；p是q充要条件的有__________.（填写序号）12．（2023·全国·高一课时练习）在下列各题中，用符号“⇒”､“⇐”或“⇔”填空：（1）___________；（2）x是能被4整除的自然数___________x是偶数；（3）已知p，，是偶数___________是偶数；（4）甲是上海人___________甲是中国人；（5）___________.13．（2023·全国·高一课时练习）设集合，，则的充要条件是______．四、解答题14．（2023·江苏·高一课时练习）求证：一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根的充要条件是q＜0.15．（2023·全国·高一专题练习）指出下列命题中，是的什么条件：（l），；（2）两直线平行，同位角相等；（3）点在角的平分线上，点到角的两边所在直线的距离相等；（4）斜边相等，两直角三角形全等.16．（2023·河南·范县第一中学高一阶段练习）判断下列是的什么条件.（写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”以及“既不充分也不必要”其中之一）(1)：xy>1；：x>1且y>1.(2)：x是整数；：x2是正整数.(3)：a>0；：函数y=ax2+x没有最大值.17．（2023·全国·高一课时练习）设a，b，．求证：，，的充要条件是，，．18．（2023·全国·高一课时练习）已知a、b、c为的三边长，集合，．(1)若，求；(2)求的充要条件．【能力提升】一、单选题1．(2023·江苏·高一单元测试）在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”其中正确的结论有（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②③④2．(2023·宁夏银川·高一期末）已知，，则“使得”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件二、多选题3．（2023·福建·福州高新区第一中学（闽侯县第三中学）高一阶段练习）已知x∈R，y∈R，下列各结论中正确的是（

）A．“xy>0”是“”的充要条件 B．“x>y”是“”的充要条件C．“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分条件 D．“x+y=0”是“”的充分不必要条件三、填空题4．（2023·河南·濮阳一高高一期中）在下列所示电路图中，下列说法正确的是____(填序号)．（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；（4）如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．四、解答题5．（2023·福建福州·高一期中）证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.6．（2023·河南·范县第一中学高一阶段练习）已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均为实数.证明：对于任意的，均有y≥1成立的充要条件是b≥2.7．（2023·江苏·高一课时练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为.8．（2023·河南商丘·高一阶段练习）判断下列每小问中，p是q的什么条件（直接写出结论即可）：（Ⅰ），；（Ⅱ）p：关于x的方程有两个不相等的实根，；（Ⅲ）p：四边形的对角线互相平分且长度相等，q：四边形是矩形；（Ⅳ）p：两个三角形的三个角分别对应相等，q：两个三角形全等；（Ⅴ）p：直线与圆有两个交点，q：直线上存在点到圆心的距离小于圆的半径．9．（2023·全国·高一专题练习）求证：方程与有一个公共实数根的充要条件是.1.4.2充要条件（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．(2023·江西·高一期末）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：A分析：根据“”和“”的逻辑推理关系，即可判断答案.【详解】由可以推出，但反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故选:A2．(2023·全国·高一）设P：，q：，则p是q成立的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件答案：B分析：由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.【详解】由不能推出，例如，但必有，所以：是：的必要不充分条件.故选：B.3．（2023·安徽·泾县中学高一阶段练习）“”是”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：C分析：由得，两边平方化简即可得结果.【详解】由，由此可知“”是”的充要条件.故选：C.4．(2023·天津市红桥区教师发展中心高一期末）设p：x>y，q：，则p是q成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不必要也不充分条件答案：D分析：分别判断与是否成立，进而判断答案.【详解】先验证，若，显然满足，但不满足，所以不成立；再验证，若，显然满足，但不满足，所以不成立.故选：D.二、多选题5．（2023·湖南·金海学校高一期中）对于任意实数a、b、c，下列命题是真命题的是（

）A．“”是“”的充要条件 B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“”的必要不充分条件答案：BD分析：利用充分条件和必要条件的定义进行判断【详解】解：“”“”为真命题，但当时，“”“”为假命题，故“”是“”的充分不必要条件，故A为假命题；“是无理数”“a是无理数”为真命题，“a是无理数”“是无理数”也为真命题，故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；“”“”为假命题，“”“”也为假命题，故“”是“”的既不充分也不必要条件，故C为假命题；因为由能得出，而由得不一定成立，故“”是“”的必要条件，故D为真命题.故选：BD.6．（2023·福建省福州第八中学高一期中）下列结论中正确的是（

）A．“”是“”的充分不必要条件B．在中，“是”为直角三角形“的充要条件”C．若，则“”是“a，b不全为0”的充要条件D．“x为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件答案：CD分析：根据充分性和必要性的定义对各个选项逐一分析即可得出答案.【详解】解：对于A，若，则或，所以“”是“”的必要不充分条件，故A错误；对于B，在中，若，则为直角三角形，反之，若为直角三角形，直角为时，不成立，所以“是”为直角三角形“的充分不必要条件，故B错误；对于C，若，则a，b不全为0，若a，b不全为0，则，所以“”是“a，b不全为0”的充要条件，故C正确；对于D，当x为无理数，若，则为有理数，若为无理数，则x为无理数，所以“x为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件，故D正确.故选：CD.7．（2023·江苏·金湖中学高一期中）对任意实数a，b，c，给出下列命题中正确的是（

）A．“”是“”的既不充分也不必要条件B．“”是“”的充分不必要条件C．“”是“”的充要条件D．“”是“”的必要不充分条件答案：BCD分析：利用充分条件、必要条件的定义逐一判断即可.【详解】A，由“”可得“”，反之，由“”不一定得到“”，故“”是“”的既充分也不必要条件，故A错误；B，由“”可得“”，反之，“”可得“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；C，由“”由指数函数的单调性可得“”，反之也成立，故“”是“”的充要条件，故C正确；D，若“”，当其中一个为负数时，则“”不成立，反之，若“”，可得“”，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.故选：BCD8．（2023·山东临沂·高一期中）下列选项中，是的充要条件的是（

）A．：，：，B．：，：C．：三角形是等腰三角形，：三角形存在两角相等D．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直平分答案：BC分析：根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对于A：由，得，或，，故不是的充要条件，故A错误；对于B：由，则，若则，故是的充要条件，故B正确；对于C：三角形是等腰三角形三角形存在两角相等，故是的充要条件，故C正确；对于D：四边形的对角线互相垂直且平分四边形为菱形，故不是的充要条件，故D错误；故选：BC三、填空题9．（2023·全国·高一课时练习）k>4，b<5是一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的________条件．答案：充要分析：令x=0，y=0，可得函数图象与y轴、x轴交点的坐标，结合充分必要条件定义可得出答案．【详解】∵k>4时，k－4>0，b<5时，b－5<0，∴直线y＝(k－4)x＋b－5交y轴于负半轴，交x轴于正半轴；y＝(k－4)x＋(b－5)与y轴交于(0，b－5)与x轴交于，由交y轴于负半轴，交x轴于正半轴可知，故k>4，b<5是一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的充要条件，故答案为：充要.10．（2023·江苏·高一单元测试）在下列命题中，试判断是的什么条件.（1），，则是______条件；（2），，则是______条件；（3）四边形的对角线相等，四边形是平行四边形.则是______条件.答案：

充要

充分不必要

既不充分也不必要分析：根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解:（1）因为“”是真命题，“”也是真命题，所以是的充要条件；（2）因为“”是真命题，“”是假命题，如，，满足，但是；所以是的充分不必要条件；（3）因为“四边形的对角线相等四边形是平行四边形”是假命题，“四边形是平行四边形四边形的对角线相等”也是假命题，所以是的既不充分也不必要条件.故答案为：充要；充分不必要；既不充分也不必要11．（2023·江苏·高一课时练习）根据下列所给的各组p，q填空：①p：，q：；②p：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，q：两个三角形全等；③p：，q：；④p：二次函数的图象过坐标原点，q：；⑤p：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，q：这两条直线平行；⑥p：两直角三角形的斜边相等，q：两直角三角形全等.其中，p是q必要条件的有__________；p是q充分条件的有__________；p是q充要条件的有__________.（填写序号）答案：

②④⑤⑥

①②③④⑤

②④⑤分析：根据充分条件、必要条件和充要条件的定义，对命题进行逻辑推理，进而得到答案.【详解】对①，易知由p能得q，但是，若a>0，则由q不能得p，故p是q充分不必要条件；对②，根据三角形全等定理可知，p是q充要条件；对③，由p能得q，但是，若a=-b，则由q不能得p，故p是q充分不必要条件；对④，易知p是q充要条件；对⑤，由直线平行定理可知，p是q充要条件；对⑥，由三角形的全等定理可知，由p不能得q，但由q可以得p，故p是q必要不充分条件.故答案为：②④⑤⑥；①②③④⑤；②④⑤12．（2023·全国·高一课时练习）在下列各题中，用符号“⇒”､“⇐”或“⇔”填空：（1）___________；（2）x是能被4整除的自然数___________x是偶数；（3）已知p，，是偶数___________是偶数；（4）甲是上海人___________甲是中国人；（5）___________.答案：

⇒

⇒

⇔

⇒

分析：根据命题之间的关系逐一分析判断即可得出答案.【详解】解：（1）当时，，当，或或，故；（2）当x是能被4整除的自然数，则x是偶数，当x是偶数，当x不一定是能被4整除的自然数，故当x是能被4整除的自然数x是偶数；（3）若是偶数，则都是奇数或都是偶数，当都是奇数时，都是奇数，则是偶数，当都是偶数时，都是偶数，则是偶数，所以是偶数，则是偶数，若是偶数，则都是奇数或都是偶数，当都是奇数时，都是奇数，则是偶数，当都是偶数时，都是偶数，则是偶数，所以是偶数，则是偶数，所以是偶数是偶数；（4）若甲是上海人，则甲是中国人，若甲是中国人，则甲不一定是上海人，所以甲是上海人甲是中国人；（5）若，当时，等式成立，则，不一定成立，若，则或，则，所以.故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.13．（2023·全国·高一课时练习）设集合，，则的充要条件是______．答案：，分析：因为，所以是方程的根，也是方程的根，通过代入得到关于，的方程组，解出，，再说明当和时，能够满足.【详解】由，可知，，于是解得此时，，符合．故的充要条件是，故答案为：，四、解答题14．（2023·江苏·高一课时练习）求证：一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根的充要条件是q＜0.分析：充分性：根据q＜0，得出Δ＝p2－4q＞0，即充分性满足；必要性：利用两根之积即可证明.【详解】证明①充分性：因为q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0的Δ＝p2－4q＞0，故方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的实数根．设方程的两根为x1，x2.因为x1·x2＝q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根．②必要性：因为方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根，设两根为x1，x2，所以x1·x2＜0.因为x1·x2＝q，所以q＜0.由①②，命题得证．15．（2023·全国·高一专题练习）指出下列命题中，是的什么条件：（l），；（2）两直线平行，同位角相等；（3）点在角的平分线上，点到角的两边所在直线的距离相等；（4）斜边相等，两直角三角形全等.答案：（1）充分不必要条件；（2）充要条件；（3）充分不必要条件；（4）必要不充分条件.分析：（1）利用集合的包含关系判断可得出结论；（2）利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论；（3）利用角平分线的性质和定义判断可得出结论；（4）利用全等三角形可判断可得出结论.【详解】（1）由可得，因为，因此，是的充分不必要条件；（2）两直线平行，则同位角相等，反之，若同位角相等，则两直线平行，因此，是的充要条件；（3）若点在角的平分线上，则点到角的两边所在直线的距离相等，反之，若点到角的两边所在直线的距离相等，则该点在角的角平分线或该角的补角的平分线上，故是的充分不必要条件；（4）若两个直角三角形的斜边相等，如三条边长分别为、、的直角三角形和三边边长分别为、、的直角三角形，这两个三角形不全等，另一方面，若两个直角三角形全等，则这两个直角三角形的斜边相等.因此，是的必要不充分条件.16．（2023·河南·范县第一中学高一阶段练习）判断下列是的什么条件.（写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”以及“既不充分也不必要”其中之一）(1)：xy>1；：x>1且y>1.(2)：x是整数；：x2是正整数.(3)：a>0；：函数y=ax2+x没有最大值.答案：(1)必要不充分条件；(2)既不充分也不必要条件；(3)充分不必要条件分析：（1）、取判断充分性是否成立，再根据判断必要性是否成立，得出结论；（2）、取判断充分性是否成立，取判断必要性是否成立，得出结论；（3）、若则抛物线开口向上，判断函数是否存在最值判断充分性是否成立，若函数没有最大值，得出的范围判断必要性是否成立，得出结论；(1)若，满足所以充分性不成立；若则所以必要性成立；所以是的必要不充分条件；(2)取,满足是整数，但不是正整数，所以充分性不成立；取，满足是正整数，但不是整数，所以必要性不成立，所以是的既不充分也不必要条件；(3)若则抛物线开口向上，函数没有最大值，所以充分性成立；若函数没有最大值，则所以必要性不成立；所以是的充分不必要条件；17．（2023·全国·高一课时练习）设a，b，．求证：，，的充要条件是，，．分析：先证必要性，再由反证法结合不等式的性质证明即可.【详解】证明：（必要性）由，，，显然有，，．（充分性）用反证法：假设，，不成立，则a，b，c中至少有一个不大于0．由a，b，c的对称性，不妨设由得，从而由，得，即故，于是．这与矛盾，于是假设不成立．因此，，，．18．（2023·全国·高一课时练习）已知a、b、c为的三边长，集合，．(1)若，求；(2)求的充要条件．答案：(1)(2)的充要条件是分析：（1）解方程，由集合的并集运算计算即可；（2）由集合的交集运算，结合判别式得出，再由，得出.(1)由，得，，从而(2)当时，，，且存在，使得，．于是，又a、b、c为的三边长，得．从而的充要条件是②③，并注意到，得．④将④代入③，得⑤即由②③消去得到⑤．而⑤满足①，因此的充要条件是．【能力提升】一、单选题1．(2023·江苏·高一单元测试）在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”其中正确的结论有（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②③④答案：D分析：根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确的选项.【详解】因为，故，故①错误；而，故，故②正确；由“类”的定义可得，任意，设除以4的余数为，则，故，所以，故，故③正确若整数a，b属于同一“类”，设此类为，则，故即，若，故为的倍数，故a，b除以4的余数相同，故a，b属于同一“类”，故整数a，b属于同一“类”的充要条件为，故④正确；2．(2023·宁夏银川·高一期末）已知，，则“使得”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件答案：C分析：依据子集的定义进行判断即可解决二者间的逻辑关系.【详解】若使得，则有成立；若，则有使得成立.则“使得”是“”的充要条件故选：C二、多选题3．（2023·福建·福州高新区第一中学（闽侯县第三中学）高一阶段练习）已知x∈R，y∈R，下列各结论中正确的是（

）A．“xy>0”是“”的充要条件 B．“x>y”是“”的充要条件C．“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分条件 D．“x+y=0”是“”的充分不必要条件答案：AC分析：根据即可判断A，取特例可判断B，由不等式性质判断C，分析分母不0可判断D.【详解】因为与等价，故“xy>0”是“”的充要条件，A正确；因为，，推不出，故B错误；因为当，时推不出xy≠0，当时，能推出，所以“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分条件，C正确；由可得，当满足时，才可得，即推不出，反之，当时，可得，即，所以“x+y=0”是“”的必要不充分条件，故D不正确.故选：AC三、填空题4．（2023·河南·濮阳一高高一期中）在下列所示电路图中，下列说法正确的是____(填序号)．（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；（4）如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．答案：（1）（2）（3）分析：充分不必要条件是该条件成立时，可推出结果，但结果不一定需要该条件成立；必要条件是有结果必须有这一条件，但是有这一条件还不够；充要条件是条件和结果可以互推；条件和结果没有互推关系的是既不充分也不必要条件【详解】（1）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件，选项（1）正确.（2）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件，选项（2）正确.（3）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充要条件，选项（3）正确.（4）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的既不充分也不必要条件，选项（4）错误.故答案为（1）（2）（3）.四、解答题5．（2023·福建福州·高一期中）证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.分析：根据充要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可求证.【详解】充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下：当时，，所以方程有两个不相等的实根，设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根，故充分性成立，必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下：设方程一正一负根分别为，，则，所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则，故必要性成立，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.6．（2023·河南·范县第一中学高一阶段练习）已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均为实数.证明：对于任意的，均有y≥1成