初中数学勾股定理的逆定理练习题

初中数学勾股定理的逆定理练习题

一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分，）

1.下列命题的逆命题不正确的是（）

A.同旁内角互补，两直线平行

B.如果两个角是直角，那么它们相等

C.两个全等三角形的对应边相等

D.如果两个实数的平方相等，那么它们相等

2.下列定理中，逆命题是假命题的是（）

A.在一个三角形中，等角对等边

B.全等三角形对应角相等

C.三边相等的三角形是等边三角形

D.等腰三角形两个底角相等

3.下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（）

A,6,7,4B,12,16,20C,7,24,25D.1,2,我

4.下列各组数是三角形的三边长，能构成直角三角形的一组数是（）

A.3,4,5B.6,7,8C.1,1,；D.V3,",V5

24

5.下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（）

A.1、2、3B.1、2、V3C.5、12、10D.6、8、10

6.如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端落在离树底部8m处,

D.16m

7.如图，一个长方体盒子，BC=CD=8,AB=4,则沿盒子表面从4点到。点的最短

路程是0

A.4岳B.,4+4厨

c.4M人3+8D.4

8.下列命题：①直角三角形两锐角互余；②全等三角形的对应角相等；③两直线平行,

同位角相等：④对角线互相平分的四边形是平行四边形.其中逆命题是真命题的个数

是()

A.lB.2C.3D.4

9.下列四个命题：①如果两个点到一条直线的距离相等，那么过这两点的直线与已知

直线平行；②函数y=|中，y随x的增大而减小；③与疡不T都是最简二次根式；

④“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是真命题.其中，不正确的命题个数是0

A.lB.2C.3D.4

10.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是()

A.1,2,3B.5,11,12C.2,2A/2,2V3D.6,8,9

二、填空题(本题共计5小题，每题3分，共计15分，)

H.三角形的三边满足。2=炉+02,这个三角形是_______三角形，它的最大边是

12.分别以下列四组数为一个三角形的边长：

(1)6、8、10,

(2)5、12、13,

(3)8、15、17,

(4)4、5、6,其中能构成直角三角形的有.(填序号)

13.某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元,

楼梯宽为2m,则购买这种地毯至少需要元.

14.命题“如果。2=炉,那么同=闻”的逆命题是.

试卷第2页，总16页

15.如图所示，要使图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之积为12,

则X+y-.

三、解答题(本题共计8小题，每题10分，共计80分，)

16.观察下列两组勾股数：

(1)3,4,5；5,12,13；7,24,25；...

(2)6,8,10；10,24,26；14,48,50；...

你发现上述两组勾股数各有什么特征？请用含有字母rn.n的式子表示出来(m<

n).你还能发现勾股数有什么特征？

17.如图所示，缉毒警方在基地B处获知有贩毒分子分别在P岛和M岛进行毒品交易后,

缉毒艇立即出发，已知甲艇沿北偏东60。方向以每小时40海里的速度前进，乙艇沿南偏

东30。方向以每小时30海里的速度前进，半小时后甲到M岛，乙到P岛，则M岛与P岛之

18.某轮船由4点出发沿正东方向4N航行，在4点望湖中小岛M,测得NM4N=30。，

航行100米到达B点时，测得NMBN=45。，在小岛M周围120米以内有暗礁，若轮船不

改变航向继续前进，有没有触礁的危险？请说明理

19.写出命题“等腰三角形两腰上的中线相等'’的逆命题并对其进行证明.

20.甲乙两船同时离开港口，各自沿固定方航行，甲船每小时航行16海里，乙船每小

时航行12海里，航行1.5小时后两船相距30海里，如果知道甲船沿东北方向航行，请你

用足够理由说明乙船沿哪个方向航行.

21.如图，N4OB=90°,OA=45cm,OB=15cm,一机器人在点B处看见一个小球

从点4出发沿着4。方向匀速滚向点。，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小

球，恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机

22.某校八年级（1）班数学兴趣小组的同学，在测量学校旗杆4B的高度时（旗杆与地面

垂直），发现当国旗升到旗杆顶部的时候，升旗用的绳子垂到地面后还剩2米；这时一

位同学拉着绳子的下端移动到地面点C处，此时绳子刚好拉直，且测得BC=6米，如

图,请求出旗杆的高度.

23.如图，把一块直角三角形（ZMBC,乙4cB=90。）土地划出一个三角形（ZMDC）后，测

得CD=3米，4。=4米，BC=12米，AB=13米.

（2）求图中阴影部分土地的面积.

试卷第4页，总16页

参考答案与试题解析

初中数学勾股定理的逆定理练习题

一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）

1.

【答案】

B

【考点】

原命题与逆命题、原定理与逆定理

【解析】

先写出他们的逆命题，再进行判断.

【解答】

解：力.同旁内角互补，两直线平行，逆命题为两直线平行，同旁内角互补，为真命题；

B.如果两个角是直角，那么它们相等，逆命题为相等的两个角是直角，为假命题；

C,两个全等三角形的对应边相等，逆命题为对应边相等的两个三角形全等，是真命题

D.如果两个实数的平方相等，那么它们相等，逆命题为两个相等的实数的平方相等，

为真命题，

故选B.

2.

【答案】

B

【考点】

原命题与逆命题、原定理与逆定理

【解析】

分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可.

【解答】

解：4、逆命题为：在一个三角形中等边对等角，正确，是真命题；

B、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；

C、逆命题为：等边三角形的三边相等，正确，是真命题；

。、逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题；

故选：B.

3.

【答案】

A

【考点】

勾股定理的逆定理

【解析】

根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三

角形是直角三角形.如果没有这种关系，这个就不是直角三角形.

【解答】

解：442+62H72,不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；

B、122+162=202,符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；

c、72+242=252,符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；

D,12+(V3)2=22,符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意.

故选4.

4.

【答案】

A

【考点】

勾股定理的逆定理

【解析】

根据勾股定理的逆定理分析即可解答.

【解答】

解：4因为32+42=25=52,所以能构成直角三角形，故力正确；

B,因为62+72=85^82,所以不能构成直角三角形，故B错误；

C,因为(丁+()=||中/，所以不能构成直角三角形，故C错误；

272

D,因为(g)+(V4)=74(逐)，所以不能构成直角三角形，故。错误.

故选A

5.

【答案】

D

【考点】

勾股数

【解析】

欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平

方即可.

【解答】

解：4、因为32片12+22.所以它们不是勾股数，故本选项错误；

B、因为22=12+(遮)2,但次不是整数所以它们不是勾股数，故本选项错误；

C、因为122H52+102,所以它们不是勾股数，故本选项错误；

D、因为102=62+82,所以它们是勾股数，故本选项正确；

故选：。.

6.

【答案】

D

【考点】

勾股定理的应用

【解析】

在折断的大树与地面构成的直角三角形中，由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出

大树折断之前的高度.

【解答】

解：如图；.

在RtAABC中，4B=6米，BC=8米，

由勾股定理，得：4C=y/AB2+BC2=10米，

试卷第6页，总16页

4c+4B=10+6=16米，即大树折断之前有16米高.

故选：D.R

7.

【答案】

D

【考点】

勾股定理的应用

【解析】

试题解析：如图，把正面和左面展开，形成一个平面，4D两点之间线段最短.

D________

即4。=V82+122=V208=4V13cm

如图，把正上面和上面展开，形成一个平面，2D两点之间线段最短.

D________

44

即4D=V42+162=V27=4V17cm

如图，把右面和上面展开，形成一个平面，力。两点之间线段最短.

D

a"

8

AD=yjS2+122=V208=4V13cm

故从4点到。点的最短路程为：4旧0血

故选。,

C8BA

【解答】

此题暂无解答

8.

【答案】

C

【考点】

原命题与逆命题、原定理与逆定理

【解析】

首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可.

【解答】

①直角三角形两锐角互余逆命题是如果三角形中有两个角互余，那么这个三角形是直

角三角形，是真命题；

②全等三角形的对应角相等逆命题是对应角相等的两个三角形全等，是假命题；

③两直线平行，同位角相等逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题：

④对角线互相平分的四边形是平行四边形逆命题是如果四边形是平行四边形，那么它

的对角线互相平分，是真命题.

故选C.

9.

【答案】

C

【考点】

原命题与逆命题、原定理与逆定理

命题与定理

最简二次根式

试卷第8页，总16页

反比例函数的性质

平行线的判定与性质

【解析】

根据命题的相关概念，结合平行线的判断，反比例函数的性质，最简二次根式的概念,

找出真命题、假命题的个数.

【解答】

解：①如果两个点到一条直线的距离相等，那么过这两点的直线与已知直线平行或相

交；故①错误

②函数y=:中，在同一象限内，y随生的增大而减小，题目缺少条件“在同一象限内”，

故②错误

③电与必不I中，不是最简二次根式；故③错误

④逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”，④正确.

故有三个命题不正确.

故选C.

10.

【答案】

C

【考点】

勾股定理的逆定理

【解析】

知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则

三角形为直角三角形；否则不是.

【解答】

B、52+112^122,不能构成直角三角形，故本选项不符合题意（1）C、（2）2+

（2&产=（2遮产能构成直角三角形，故选项符合题意（2）D、62+82¥92,不能

构成直角三角形，故本选项不符合题意（3）故选：C.

二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分）

11.

【答案】

直角,a

【考点】

勾股定理的逆定理

【解析】

根据已知条件由勾股定理的逆定理可判断这个三角形是直角三角形，且a是最长边，a

所对的角为直角.

【解答】

解：；三角形的三边满足a?=b2+c2.

三角形是直角三角形，它的最大边是a.

故答案为：直角，a.

12.

【答案】

⑴(2)(3).

【考点】

勾股数

【解析】

欲判断是否可以构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方.

【解答】

解：：(1)62+82=102,可以构成直角三角形；

(2)52+122=132,能构成直角三角形；

(3)82+152=172,能构成直角三角形；

(4)52+42*62.能构成直角三角形；

13.

【答案】

420

【考点】

勾股定理的应用

【解析】

根据勾股定理可求得水平直角边的长.从而根据地毯的面积乘以每平方米的价格即可

得到其所需的钱.

【解答】

已知直角三角形的一条直角边是3m,斜边是5m,

根据勾股定理得到：水平的直角边是4m,地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的

部分的和是竖直边的长，

则购买这种地毯的长是3n2+4rn=7m,则面积是14m2,

价格是14x30=420元.

14.

【答案】

“如果|a|=\b\.,用8加心=b2

【考点】

原命题与逆命题、原定理与逆定理

【解析】

"如果。2=抉,用掰a|=|b『的逆命题是如果|d|=网，＞4a2=b2

【解答】

此题暂无解答

15.

【答案】

9

【考点】

勾股定理的逆定理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“2"与面相对，面“4”与面

“y”相对.

因为相对面上两个数之积为12,所以2x=12,x=6；4y=12,y=3.

试卷第10页，总16页

则x+y=9.

故答案为：9.

三、解答题(本题共计8小题，每题10分，共计80分)

16.

【答案】

解：(1):32=4+5,52=12+13,72=24+25,

m2=n+(n+1),

即将Hl?拆分为两个连续的整数之和；

⑵:m=6,10,14时,对应n的值为：

8=32-1,10=32+1,24=52—1,26=52+1,...

n=(y)2-1；

对应第三个勾股数的值为：

10=32+1,26=52+1,50=72+1,...

二第3个勾股数为：(y)2+1.

【考点】

勾股数

【解析】

(1)设爪为大于1的奇数，将加2拆分为两个连续的整数之和，即仅2=n+(„+1)；

(2)根据数据图表中数字特点，8=32-1,24=52—1,48=72—1,以及10=

32+1,26=52+1,50=72+1,即可得出规律写出即可.

【解答】

解：⑴：32=4+5,52=12+13,72=24+25,

m2=n+(n+1),

即将巾2拆分为两个连续的整数之和；

⑵••・m=6,10,14时,对应n的值为：

8=32-1,10=32+1,24=52-1,26=52+1,...

•>-n=(y)2-1；

对应第三个勾股数的值为：

10=32+1,26=52+1,50=72+1,...

；・第3个勾股数为：©A+1.

17.

【答案】

M岛与尸岛之间的距离是25海里.

【考点】

勾股定理的应用

【解析】

根据条件可以证得ABM/V是直角三角形，求得BP与BM的长，根据勾股定理即可求得

MP的长.

【解答】

解：根据条件可知：BP=：x30=15(海里)，BM=|x40=20(海里).

乙MBP=180-60-30=90°,

•••△BPM是直角三角形，

/.MP=\/BM2+BP2="52+202=25（海里）

18.

【答案】

解：若轮船不改变航向继续前进，没有触礁的危险，

理由：作MH1AN于点设HM=x米，

,Z/.MAN=30°,；.MA=2xm,

：.AM2=AH2+MH2,

（2x）2=（x+100）2+x2,

解得：％]=50+50V3,x2=50-50V3（不合题意舍去）

,/50+50V3«135>120,

若轮船不改变航向继续前进，没有触礁的危

【考点】

勾股定理的应用

【解析】

作MH14N于点H,设=x米，根据4M4N=30。表示出M4=根据

NMBN=45。，表示出==然后根据在Rt△4MC中有AM?=AH?+时“2

列出法方程求解即可.

【解答】

解：若轮船不改变航向继续前进，没有触礁的危险，

理由：作MH14N于点H,设HM=%米，

,//.MAN=30°,；.MA=2xm,

：.AM2=AH2+MH2,

（2x）2=（%+100）2+x2,

解得：=50+50V3,x2=50-50V3（不合题意舍去），

•/50+50V3«135>120,

/•若轮船不改变航向继续前进，没有触礁的危

【答案】

解：逆命题：两边上中线相等的三角形是等腰三角形.

已知：如图，在△4BC中，BD,CE分别是边4c和4B上的中线，CE=BD.

试卷第12页，总16页

ED

R匕------------4c

求证：△ABC是等腰三角形.

证明：过E作EM1BC于M,过。作DN1BC于N,

・・,BD,“分别是边4。和上的中线，

・・S^BEC=S^BDC，

1I

J-BCxEM=-BCxDN,

22,

：.EM=DN.

:Z.EMC=Z.DNB=90°,

・・・在RMEMC和Rt△DNB中，

(CE=BD,

{EM=DNt

：.RtAEMC芸RtADNB(HL),

：.Z.ECB=Z.DBC.

在△E8C和aDCB中，

EC=DB,

乙ECB=乙DBC,

BC=CBt

：.AEBC三ADCB(SAS),

・•・乙EBC=^DCB,

**•△ABC是等腰三角形.

【考点】

原命题与逆命题、原定理与逆定理

三角形的中线

全等三角形的性质与判定

等腰三角形的判定

【解析】

写出已知、求证、画出图形，过E作EMJLBC于M,过。作DN，8C于N,求出EM=

DN,证RtAEMCSDNB,推出4ECB=4D8C,证AEBC三ADCB,推出

(EBC=40cB即可.

【解答】

解：逆命题：两边上中线相等的三角形是等腰三角形.

已知：如图，在△48C中，BD,CE分别是边AC和48上的中线，CE=BD.

ED

R匕-----------4c

求证：△ABC是等腰三角形.

证明：过E作EM1BC于M,过。作DN1BC于N,

•・,BD,CE分别是边4C和48上的中线，

S^BEC-S〉BDC，

-2BCxEM=2-BCxDN,

：.EM=DN.

,?L.EMC=Z.DNB=90°,

・•・在RMEMC和RtZkONB中，

(CE=BD,

[EM=DN,

：.Rt△EMC=/?t△DNB(HL),

：.乙ECB=Z.DBC.

在△EBC和△DCB中，

EC=DB,

乙ECB=乙DBC,

,BC=CBf

：.AEBC会△DCB(SAS),

.・.Z,EBC=Z.DCB,

・・・△ABC是等腰三角形.

20.

【答案】

3舰沿西北方向航行.

【考点】

勾股定理的逆定理

【解析】

根据题意可知△4。8为直角三角形，根据〃。C=40N=452408=90。，可得

乙BON=(BOD=45°,即可解答.

【解答】

试卷第14页，总16页

OB=1.5x12=18,

,/242+182=302,

OA2+0B2=AB2,即△AOB为直