初中数学知识概要

初中数学知识概要

本部分内容是在对比“九义〃教材与“新课标〃基础上结合长期的教改实践，

较为详实地提炼出了整个初中数学中关于“数与代数”、“统计与概率〃-“生活中

的图形〃、“平面图形与三角函数”四个领域的双基内容，以供同学们在演练中

备查基础知识.

第一部分数与代数

主要内容包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化

规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和

把握现实世界，以下分别将各模块知识点加以整理收集.

一、实数

（一）实数的组成

1.有理数：任意一个有理数都可以写成分数"的形式，其中P与q是整数且最

q

大公约数是1,这是有理数的重要特征，例：色是无理数而不是分数.

3

2.无理数

⑴它包含两层意思：一是无限小数；二是不循环.二者缺一不可.

（2）它有三种形式：

①开不尽方根，如6

②特殊常数，如圆周率n.

③特定结构的无限小数，如0.1010010001-（每两个1之间依次多一个0）.

3.判断一个实数的属性（如有理数、无理数），应遵循：一化简，二辨析，三判

断.要注意：“神似”或“形似”都不能作为判断的标准.

（二）实数中的几个概念

1.相反数

⑴实数。的相反数是—a.（2）a和b互为相反数Qa+6=0.

2.倒数

（1）实数。QWO）的倒数是（2）a和b互为倒数QM=1。（3）注意0没有倒

a

数.

3.绝对值⑴一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数;

0的绝对值是0.即一卜（。>°）

\a\=^0（6Z=0）

-a（a<0）

⑵实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值就是数轴上表

示这个数的点到原点的距离.

☆⑶几个非负数的和等于零则每个非负数都等于零。

如：若6+回+，=0,则a=0,6=0,c=0.

4.n次平方根

平方根，算术平方根：设被开方数称血叫。的算术平方根，土&叫。的

平方根.

①正数有两个平方根，它们互为相反数.②0的平方根是0.③负数没有平方根.

（2）立方根：布叫实数。的立方根.

①一个正数有一个正的立方根.②0的立方根是0.③一个负数有一个负的立方

根.

（3）算术平方根与绝对值的联系：V7=|a|.

（4）算术平方根的估算方法：两端逼近法.

例如：估算后.（精确到0.1）

22<6<322<V6<3.

XV2.42=5.76,2.52=6.25

又更靠近5.76,

V6=2.4

（三）近似数与科学记数法

1.科学记数法：把一个数写成4X10"的形式（其中1引4<10,n是整数），这种

记数法叫做科学计数法。

（1）确定a：a是只有一位整数数位的数.

（2）确定n：当原数时，〃等于原数的整数位数减1；；当原数〈1时，〃是

负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数位上的

零）。

2.近似值的精确度：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数

精确到哪一位。

3.有效数字：一个近似数，从左起第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，

所有的数字，

都叫做这个数的有效数字.

4.按精确度或有效数字取近似值，一定要与科学计数法有机结合起来.

二、代数式

（一）代数式

1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫代数式.单独的

一个数或一个字母也是代数式.

2.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的

值.

1.概念(1)单项式：单项式是数与字母的积.其含义有：

①不含有加、减运算符号.②字母不出现在分母里.③单独的一个数或者字母也

是单项式.④不含“符号”.

⑵多项式：多项式是几个单项式的和.其含义有：

①必须由单项式组成.②体现和的运算.

⑶同类项：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项.同类项必须同时

具备两个条件：

①所含字母相同.②相同字母的指数也分别相同.

2.运算

⑴整式的加减

①合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不

变.

②去括号法则：括号前面是“+〃号，把括号和它前面的“+〃去掉，括号里各项都

不变号：

括号前面是“一”号，把括号和它前面的“一〃号去掉，括号里各项都变号.

③添括号法则：括号前面是“+〃号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“一

〃号，括到括号里各项都变号.

④整式的加减运算，其实质是合并同类项，方法是在运算时，如果遇到括号，就

依据去括号的法则或乘法分配律，先去括号，再合并同类项.

⑵整式的乘除

①哥的运算性质：

am-an=an+n；(ab)n=anbn；

dna=dn~n(a00)；cTp-(—)/>=—(aA0)

aap

②单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含有

的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

③单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所

得的积相加，即：m(a+b+c)=ma+mb+me

④多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，

再把所得的积相加，即：(a+b^m+77)=am+an+bm+bn.

⑤单项式相除：把系数、同底数嘉分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里

含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

⑥多项式除以单项式：用这个多项式的每一项去除以这个单项式，再把所得的商

相加.

⑦乘法公式：平方差公式：(a+b\a-b)=a2-b2

(在平方差公式中，符号相同者为符号相反者为“6”)

完全平方公式：伍±6)2=/±2疑+〃

(三)分解因式

1.分解因式的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把

这个多项式分解因式.

2.常用分解因式的方法

(1)提公因式法，即：ma+mb+mc=m(a+b+c).

其分解步骤为：

①确定多项式的公因式，公因式=各项系数的最大公约数与相同字母的最低次嘉

的积.

②将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式.

⑵运用公式法

平方差公式：a2-b~=(a+/>)(«-&)；完全平方公式：a~±2ab+b2=(a±b)~

运用时，应注意：

①如果多项式中各项含有公因式，应该首先提取公因式，然后再考虑运用公式.

②公式中的字母，既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者一个多项式.

⑶十字相乘法：新教材中已不作要求，但此方法在解题中非常适用.

☆⑷分组分解法

严格地讲，分组分解法不是一种独立的分解因式的方法，而是为提公因式法或运

用公式法创造条件，即先把多项式各项适当分组，以达到最后能用提公因式或运

用公式分解因式的目的.

3.分解因式的一般步骤

⑴如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式.

⑵如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解.

⑶如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组来分解.

(4)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

(四)分式

1.分式定义：式子鲁叫做分式，其中A,B表示两个整式，且B中含有字母.

(1)分式无意义：当B=0时，分式无意义；当BWO时，分式有意义.

⑵分式的值为0：当A=0且BW0时，分式的值为0.

⑶分式约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.其步

骤是：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式.

⑷最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.

⑸通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫

做分式的通分.

*(6)最简公分母：各分母所有系数的最小公倍数与因式的最高次嘉的积叫最简公

分母.

2.分式的基本性质

AAxMAA+M/廿』八、

(1)—=-----,—=-----(其中M/O)

BBxMBB-M

⑵分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个,

分式的值不变.

3.分式的运算

(1)力口、减："±'="±叫a±c=ad±bc=ad±(bc)

cccbdbdbdbd

/c\hPAacacacad

(2)乘、除：----=-----+—=—

bdbdbdbe

⑶乘方：(/=自

*(4)繁分式：分子或分母中又含有分式的分式，叫做繁分式.通常把繁分式写成

分子除以分母的形式，再利用分式的除法法则进行化简.

(五)二次根式

*1.二次根式的概念：式子白伍20)叫做二次根式。

(1)最简二次根式满足：

①被开方数的因数是整数，因式是整式.②被开方数中不含能开得尽方

的因数或因式.

*(2)同类二次根式：化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根

式就叫做同类二次根式。

*(3)分母有理化：把分母中的根号化去叫分母有理化.

*(4)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次

根式，我们说这两个代数式互为有理化因式.如：2+6与2-G互为理化因式.

2.二次根式的性质

(1)(Va)2=a(a>0)(2)4a-4b=4ab(a>0,>0)

/c、Ia、八,八、/“、I~TIIa("-0)、，、/aJab

(3).i-=―产(a20,>0)(4)7a~=tz=sJ—=—；~~：—

\b4bj[—a(aW0)U\b\

*3.二次根式的运算

(1)加减运算的实质是合并同类二次根式，其步骤是先化简，后找“同类”合

并.

(2)乘除运算的法则是逆向运用二次根式的性质(2)(3)。做乘法时，要灵活

运用乘法法则；做除法时，有时要写为分数形式，然后分母有理化。

三.方程与方程组

(一)方程

1.方程：含有未知数的等式叫做方程，它包含两层意思：一是含有未知数，二是

等式，二者缺一不可。从定义可说明方程是等式，但等式不一定是方程。

2.方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，只含有一

个未知数的方程的解也叫做根.

3.解方程：求方程的解的过程，叫做解方程.

*4.同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程.

*5.方程的同解原理

(1)方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同

解方程.

⑵方程两边都乘以(或除以)同一不等于0的数，所得方程与原方程是同解方程.

6.方程的增根与遗根

⑴在方程变形时，能产生不适合原方程的根叫做方程的增根.

⑵在方程变形时，由于盲目变形，在方程的两边同除以含有未知数的代数式,

从而导致方程遗根.

7.方程的分类

'一元一次方程

整式方程一元二次方程

有理方程

方程*高次方程

〔分式方程

*无理方程

(二)一元方程

1.一元方程

(1)一元一次方程的标准形式：ax+b=0(口。0)

⑵一元一次方程的解法.

⑶一元一次方程有唯一的一个解.

说明：对于以x为未知数的最简方程办=6,若没有给出字母a和b的取值范围,

其解有下面三种情况：

①时一元一次方程，有唯一解x=2.

a

②。=0,时，方程无解.

③a=o,b=o时，方程有无数个解.

2.一元二次方程

⑴一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a0)

⑵一元二次方程的解法

特殊解法：①直接开平方法：x2=«(«>0)

一般解法：②配方法

③公式法：x=-6±^2--(Z?2-4ac>0)

*(3)一元二次方程根的判别式：A=b2-4ac

①△>0=>方程有两个不相等的实数根.

②A=0n方程有两个相等的实数根.

③A<On方程无实数根.

④A20n方程有两个实数根。

反之：

①一元二次方程有两个不等实根n>0

QW0

A=0

②一元二次方程有两个相等实根n

Qw0

③一元二次方程无实根n|A<0

QW0

fA>0

④一元二次方程有两个实根n一

。。0

结论：（1）若二次三项式ax?+bx+c是完全平方式，则方程ax?+bx+c=0的判

别式A=O。

（2）方程办2+区+。=0有实数根，包括两种情况：①有两个实数根，②

。=0，只有一个实数根。

说明：根的判别式最常见的用法有：

①不解方程判别一元二次方程根的情况。②由方程根的情况确定某些字母的

值或范围.

*（4）、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：

.b0

如果ax?+bx+c=O（QW0）的两个根是知x,则再+%2=——，x-X=—.

2ax2a

2%2+%1

①+x2）-2x^2@—+—=,③卜一引=^^

一xlx2xxx2

（5）、一元二次方程的应用题

（1）商品利润问题：每件商品利润二售价-进价

涨价时：商品总利润二每件商品利润X商品件数二（原来利润+涨价）X（原来件数

-减少件数）

降价时：商品总禾1」润=每件商品利润X商品件数=(原来利润-降价)X(原来件数

+增加件数)

(2)增长率问题：

①a(l+x)〃=b(其中。是原来数量，〃是增长次数，6是〃次增长后到达数)②

a+a(l+x)+a(l+x)2=b

(3)矩形内修路问题的常用思路是用平移集中法。

3.分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

⑴分式方程的解法

①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母.

②特殊解法：换元法.

⑵验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根.因

此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分

母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.

说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法.

(三)多元方程组

1.二元一次方程组

C

(1)一般形式：<'(ah,cab0?不全为0)

a2x+b2y=c2

⑵解法：二元一次方程组彳6曾我减法〉一元一次方程组.

2.三元一次方程组

⑴一般形式：

a{x+bxy+c{z=dx

<a2x+b2y+c2z=d2

a3x+b3y+c3z=d3

⑵解法：三元一次方程组彳小鬻碱去〉二元一次方程组代入鬻碱法〉一元一次

方程组.

3.二元二次方程组

(1)由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.

⑵由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组.

基本解法是：消元，转化为解一元二次方程；降次，转化为解二元一次方程组.

（四）列方程（组）解应用题

列方程（组）解应用题，千万不要死记硬背例题的类型及其解法，要具体问题具体

分析，一般来讲，应按下面的步骤进行：

1.审题：弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能找出能够表示应用问题的

全部含义的等量关系.

2.设未知数：选择一个或几个适当的未知量，用字母表示，并根据题目的数量

关系，用含未知数的代数式表示相关的未知量.

3.列方程（组）：根据等量关系列出方程（组）.

4.解方程（组）：其过程可以省略，但要注意技巧和方法。

5.检验：首先检查所列方程（组）是否正确，然后检验所得方程的解是否符合题

6.写答：不要忘记单位名称.

四、不等式与不等式组

（一）一元一次不等式的解法

即通过去分母、去括号、移项合并同类项，把不等式化为办>b（或办<b）（a。0）

的形式，再把系数化为1得出不等式的解集.

说明：在去分母和化系数为1时，需特别注意不等式两边同时乘以（或除以）一个

负数，要将不等号改变方向，其解集情况如下：

①当a>0时，x>—（^x<—）.

aa

②当a<0时，x<——.

aa

③当。=0时，若620,不等式无解（或不等式的解集为一切实数）.

④当。=0时，若6<0,不等式的解为一切实数（或不等式无解）.

（二）一元一次不等式组的解法

即先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式的解集的

公共部分，即为不等式组的解集.

两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的一般情况可见下表（其中

a<b).

口诀不等式解集在数轴上表示

组

同小取x<a

x<a

1I.

小x<bLT

zb

同大取x>a

Vx>b____1___.

大x>bab

大小取x>aa<x<l

*

x<b

中ab

两背为x<a不等式—

空x>b组无解

五、函数及其图象

（一）平面直角坐标系

在平面内画两条有公共原点且互相垂直的数轴，就建立了平面直角坐标系，该平

面就叫坐标平面.

1.坐标平面的结构：由四个象限和两条坐标轴构成.注意：两条坐标轴不属于

任何象限.

2.点的坐标：设点P是坐标平面内的任一点，由点P向x轴作垂线，垂足对应

着x轴上的一个实数a；由点P向了轴作垂线，垂足对应着y轴上一个实数b,

则点P的坐标就是（a,b）,其中。叫点P的横坐标，b叫做点P的纵坐标.

说明：点的坐标的定义实际上给出了求点的坐标的一种非常重要的方法，要注意

横坐标与纵坐标的顺序不能颠倒.

☆3.不同位置点的坐标的特征x<0'xX)

⑴坐标轴上点的坐标的特征小；0»

①x轴上点的纵坐标为o,一般记为p(x,产°y<°0)•

②y轴上点的横坐标为0,一般记为Q(0,y)

⑵各象限内点的坐标的特征

如：点P(x,y)在第一象限=x>0,y>0点P(x,y)在第二象限=x<0,

y>0

点P(x,y)在第三象限=x<0,y<0点P(x,y)在第四象限=x〉0,

y<0

☆4.点尸(x,y)坐标的几何意义

⑴点P(x,y)到x轴的距离是|.v|.⑵点P(x,内到y轴的距离是|x|.

⑶点P(x,y)到原点的距离是Ji+虫.

☆5.关于坐标轴、原点对称的两点坐标的特征：

⑴点P(x,y)关于x轴的对称点是々(x,-y).(2)点P(x,y)关于y轴的对称点

是巴(-X,y).

⑶点P(x,y)关于原点的对称点是P3(-x,-y).

☆6.⑴若PQ〃x轴，则力=也.⑵若PQ〃y轴，则与=x°.

X,+x

xo=­7

2

☆7.若A(xpvj,B(X2,必)，当P(x0,%)是线段AB的中点时

「一v—%+%

p-2

9.坐标平面内的点和有序实数对(x,y)之间建立了一一对应关系.

(二)函数的概念

1.常量与变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量；在某一变

化过程中保持数值不变的量叫做常量.

2.函数：在某一变化过程中的两个变量x和y,如果对于x在某一范围内的每

一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就叫做x的函数，其中x

做自变量，y是因变量.

（1）自变量取值范围的确定

①整式函数自变量的取值范围是全体实数.

②分式函数自变量的取值范围是使分母不为0的实数.

③二次根式函数自变量的取值范嗣是使被开方数是非负数的实数，若涉及实际问

题的函数，除满足上述要求外还要使实际问题有意义.

⑵函数值：对于自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值.

3.函数常用的表示方法：解析法、列表法、图象法.由函数的解析式作函数的

图象，一般步骤是：列表、描点、连线.

（三）几类特殊函数

1.一次函数（见下表）

自

变

量

函

解析式取图象增减性

数

值

范

围

正

全

比

y=kx体

例（左。0）

实卜

函7①当k〉0时，y随x增大

数

数而增大；②当k＞〈0时，

全y随x增大而减小。

次y=kx+b体

）

函"0实3

数数

☆说明：直线位置与常数的关系

⑴上决定直线的倾斜角（直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角的大小）.

①左＞0=倾斜角为锐角.②左＞0o直线过点（0,b）且平行于X轴的直

线.③左＜0=倾斜角为钝角.

（2）b决定直线与y轴交点的位置.

①b〉0=直线与y轴交点在x轴的上方.②b=0=直线过原点.③b＜0=直线与

y轴交点在x轴的下方；

⑶如图1,S^OB=X/

⑷如图2,\k\=tantz图1中、

⑸设直线/上有两点，A（xP必），B（X2,必）则左=匕二支

X]-x2

2.二次函数

22

y=a(x—h)+ky=ax+bx+cy=a(x-匹)(x-x2)

。＞00开口向上=函数有最小值顶点为最低点

开口方向

开口向下=函数有最大值=顶点为最高点

直线内直线T直线.空

对称轴2a

22

(瓦k)bAac-b(x1+x2-a(xi-x2))

顶点坐标(2a,4a)

当。＞0时，在对称轴左侧，y随着X的增大而减少；在对称

轴右侧，y随着x的增大而增大；当。＜0时，在对称轴左侧，

增减性

y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减

少；

当X=个，求焉值用代

2

当x=h,＞最值=左当、一b4ac-b

最值三la'，最值一4a

入法

注意：抛物线位置由服从c决定.

⑴。决定抛物线的开口方向

①口＞00开口向上.②口＜00开口向下.

（2）C决定抛物线与y轴交点的位置.

①c＞0=图象与y轴交点在X轴上方.

②c=0Q图象过原点.

③c<0Q图象与y轴交点在x轴下方.

⑶a、b决定抛物线对称轴的位置(对称轴：%=-—)

2a

①服b同号=对称轴在y轴左侧.

②6=00对称轴是y轴.

③a、b异号=对称轴在y轴右侧.

(4)顶点坐标(一(，，/).

⑸A=〃—4ac决定抛物线与x轴的交点情况.、

①△>()=抛物线与x轴有两个不同交点.

②△=()=抛物线与x轴有唯一的公共点(相切).

③=抛物线与x轴无公共点.

⑹二次函数是否具有最大、最小值由a判断.

①当a〉0时，抛物线有最低点，函数有最小值.

②当a〈0时，抛物线有最高点，函数有最大值.

(7)2a土b、a+b+c.4a±2b+c的符号的判定：

表达式，请代值，对应y值定正负；

对称轴，用处多，三种式子。相约；

y轴两侧判b,左同右异中为0；

1的两侧判2a+b,左同右异中为0；

T两侧判2a-b,左异右同中为0.

(8)函数图象的平移：左右平移变x,左+右一；上下平移变常数项，上+下-;

平移结果先知道，反向平移是诀窍；平移方式不知道，通过顶点来寻找。

(9)对称：,v=ax?+6x+c关于x轴对称的解析式为-y=ax?+bx+c,关于y

轴对称的解析式为y=。(-》)2+b(-x)+c,关于原点轴对称的解析式为

-v=tz(-x)2+b(-x)+c,在顶点处翻折后的解析式为y=—a(x—/z)2+左(a相反,

定点坐标不变)。

（10）结论：①二次函数y=加+区+。（口。0）与X轴只有一个交点=二次函数

的顶点在x轴上=A=0；

②二次函数y=aY+bx+c。0）的顶点在y轴上=二次函数的图象关于y

轴对称=6=0；

③二次函数y="2+区+0。0）经过原点，则=c=0。

（11）二次函数的解析式：

①一般式：y=ax2+bx+c{a,用于已知三点。

②顶点式：y=a{x-hY+k,用于已知顶点坐标或最值或对称轴。

（3）交点式：y=a（X-X^X-X2）,其中X1、/是二次函数与x轴的两个交点的横

坐标。若已知对称轴和在x轴上的截

距，也可用此式。k的k>0k<0

3.反比例函数符号

（1）反比例函数的定义：图像卜

一般地，形如y=4（左为常数，的大

X

致位

左。0）的函数，称为反比例函数。其

置

中自变量x的取值范围为x/0o

经过

y与X成反比例第象限第象限

象限

y=-(左00)性质在每一象限

在每一象限内，

xy=k(kW0)内，y随x的

y随x的增大而

y=kx~x(kW0)增大而

2、反比例函数的图象和性质（如右图）

（1）反比例函数的图象是两支双曲线。

（2）左＞00图象过一、三象限=在每一象限内，y的值随x值的增大而诚

左＜0=图象过二、四象限=在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。

顺口溜：反比性质很特殊，一三k正二四负；一增一减k为正，同增同减k

是负。

（3）反比例函数是既是轴对称图形，又是中心对称图形。对称中心是原点。

（4）左的几何意义

设P（x,y）是反比例函数y="图象上任一点，过点P作x轴、y轴的垂线，

x

垂足为A,则

（1）ZXOPA的面积==；|町|=^网.

（2）矩形OAPB的面积=Q4DP/=|町|=附。这就是系数上的几何意义.并且无论

P怎样移动，AOPA的面积和矩形OAPB的面积都保持不变。

矩形PCEF面积=4阳，平行四边形PDEA面积=2网

说明：k决定双曲线的位置.（l）k〉0O图象在一、三象限内.（2）k<0=图象在

二、四象限内.

第二部分统计与概率

主要内容是学习现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据

的收集、整理、描述和分析以及对事件发生的可能性的刻画，来帮助人们做出合

理的推断和预测，以下分别从各个知识点加以整理概述.

一、统计初步

（一）总体和样本

1.总体和个体：在统计中，我们把所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一

个考察对象叫做个体.

2.样本和样本容量：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中

个体的数目叫做样本容量.样本容量没有单位。

3.数据收集与处理的有关概念

⑴普查：为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查称为普查；

⑵从总体中抽取一部分个体进行调查称为抽样调查。

⑶利用抽样收集数据时应注意考虑以下三点：

①被调查的对象不得太少.

②被调查的对象应有随机性.

③被调查的数据应是真实的.

（二）反映数据集中趋势的特征数

1.平均数

、，_1

（1）苞，…X"的平均数：X=—{x+X+...+X）

n1-2n

⑵加权平均数：如果n个数据中，西出现工次，%出现人次，……，/出现人

次（这里工+力+...+/=〃），则

-_xJx+xJ2+：.+xkfk

A-

f\+人+…+4

⑶平均数的简化计算：当一组数据X1，/，…X”中各数据的数值较大，并且都

与常数。接近时，设X]-a,x2-a,…-a的平均数为x',则x=x'+a.

2.中位数：将一组数据按从小到大的顺序排列，处在最中间位置上的数据叫做

这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数，中位数就是处在中间位置上两个数

据的平均数.

3.众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，一组数据

的众数可能不止一个.

4.极差：最大值减去最小值的差.

（三）反映数据波动大小的特征数

1.方差

⑴再,x2,…X"的方差：

2（Xj—X）2+（X—X）2+...+（X—X）2

s-2n

n

i—

（2）S?=—[（x；+x：+...+片）一〃》2]

n

说明：当M，/，…当为较小的整数时，用该公式计算方差较简便.

（3）X],》2，…X”方差为S?，设。、b为常数,

则X1-b,x2-b,…x”一6的方差为/；axl-b,ax2-b,…办〃一b的方差为//

说明%，…%各数据较大且与常数。较接近时，用该法计算方差较简便.

2.标准差：方差（/）的算术平方根叫做标准差（s）.

（四）频率分布

1.有关概念

⑴分组：将一组数按照统一的标准分成若干组，称为分组，当数据在100个以

内时，通常分成5—12组.

⑵频数：每个小组内的数据的个数叫做该组的频数，各个小组的频数之和等于

数据总数n.

⑶频率：每个小组的频数与数据总数n的比值叫做这一小组的频率，各小组频

率之和为1.

⑷频率分布表：将一组数据的分组及各组相应的频数、频率所列成的表格叫做

频率分布表.

⑸频率分布直方图：将频率分布直方表中的结果，.以数据的各分点为横坐标，

以频率除以组距为纵坐标的直方图，叫做频率分布直方图.

①图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距。

②每个小长方形的面积等于该组的频率。

③所有小长方形的面积之和等于各组频率之和等于1.

④样本的频率分布反映样本中各数据的个数分另IJ占样本容量n的比例的大小,

总体分布反映总体中各组数据的个数分别在总体中所占比例的大小，一般是用样

本的频率分布去估计总体的频率分布.

2.研究频率分布的方法：得到一组数据的频率分布的方法，通常是先整理数据,

后画频率分布直方图.其步骤是：

①计算最大值与最小值的差.

②决定组距与组数.

③决定分点

④列频率分布表.

⑤绘频率分布直方图.

（五）各种统计图的特点

1.条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目.

2.折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况.

3.扇形统计图：能清楚表示出各部分在总体中所占的百分比.

二、概率

1.必然事件：对于一个事件，如果每一次都能发生或者百分之百发生的事件称

为必然事件.不可能事件：对于一个事件，一定不能发生的事件称为不可能事件.

2.等可能事件：一个事件只有两种结果，即一正一反，并且他们的可能性相同

则称为等可能事件.等可能事件必须具备条件均等及随机性.

3.概率

“、心、击八、美汪事件可能出现的结果数竹口比关注数目

尸（美汪事件）=-------------------------间记作p=誓鬻

所有可能出现的结果数所有数目

4.几种概率

⑴必然事件概率为1,记作P（必然事件）=1

⑵不可能事件概率为0,记作P（不可能事件）=0

⑶如果A为不确定事件，那么0〈P（A）〈l

5J1彳可开叶即率二关注事件所有可能结果所组成的图形面积

.…九千一所有可能结果组成的图形的面积

6.余事件概率：一个事件A的余事件的概率=1-P（A）

7.实验频率与理论的关系

当实验次数很大时，实验频率稳定在相应的附近.但这并不意味着实验次数越大,

就越为靠近.

8.游戏规则公平性的标准是各方获胜的概率相同.

9.计算概率的常用方法：一是画树状图；二是列表.

10.求概率的一个重要技巧：求某一事件的概率较难时，可先求其余事件的概率

——即正难则反易.

第三部分生活中的图形

一、空间图形

1.图形是由点、线、面构成的.点动成线，线动成面，面动成体.面与面相交

得线，线与线相交得点.

2.常见的几何体：圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球.

3.棱柱的有关概念和特征

（1）在棱柱中，任何相邻的两个面的交线都叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧

棱.

⑵棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是

长方形.

4.截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面.

5.几何体的三视图：把从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视

图，从上面看到的图叫做俯视图.

二、图形的平移与旋转

（一）平移

1.概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动称

为平移.

2.平移的特征

⑴平移不改变图形的形状和大小.

⑵经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等.

（二）旋转

1.概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的

图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.

2.旋转的特征

（1）旋转不改变图形的大小和形状.

⑵经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿同方向转动了相同的角度.任意

一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角，对应点到旋转中心的距离

相等.

（三）位似变换

1.位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经

过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相

似比又称为位似比。

2.位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位

似比.

（四）空间的垂直关系

1.棱与平面的垂直：在长方体中，一条棱垂直于一个面内两条相交的棱，这条

棱与这个面就互相垂直.

2.面与面垂直：一个面经过另一个面的一条垂直的棱，这两个面就互相垂直.

第四部分平图形与三角函数

主要内容涉及到现实世界中的物体，几何体和平面图形的形状、大小、位置

关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具.以

下分别从各个知识点加以整理收集.

一、线段、角与三角形

（一）命题、定理、逆定理

1.基本作图

⑴作一条线段等于已知线段.

⑵作一个角等于已知角.

⑶平分已知角.

（4）经过一点作已知直线的垂线.

⑸作线段的垂直平分线.

2.等腰三角形的性质定理：

⑴等腰三角形的两个底角相等.简写成：等边对等角.

①推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，等腰三角形的顶

角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.简写成：等腰三角形底边上三

线合一.

②推论2：等边三角形的各角都相等，且每一个角都等于60°.

⑵等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对

的边也相等.简写成：等角对等边.

①推论L三边都相等的三角形是等边三角形.

②推论2：有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形.

③推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°.那么官所对的直角边等于

斜边的一半.

3.线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点

的距离相等.

逆定理：和一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

4.勾股定理：直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方.即：

a1+b2=c2.

逆定理：如果三角形边长a,b,c有关系：a2+b2=c2,那么这个三角形为直角

三角形.

（二）线段与角

1.直线、射线、线段、角的有关概念.

2.两点间的距离：连接两点的线段的长度.

3.直线公理和线段公理

⑴直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简写成：过两点有且

只有一条直线.

⑵线段公理：两点之间，线段最短.

4.余（补）角性质：同角或等角的余角（补角）相等.

（三）相交线与平行线

1.同一平面内两条直线的位置关系

⑴平行线：在同一平面内，没有公共点的直线叫做平行线.

⑵相交线：在同一平面内，只有一个公共点的两条直线叫做相交线.

2.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.

3.对顶角性质：对顶角相等.

4.垂线性质

(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

⑵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.简写成：垂线段

最短.

5.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

6.平行线的判定公理和定理

⑴判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线

平行.简写成：同位角相等，两直线平行.

⑵判定定理

①两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简写成:

内错角相等，两直线平行.

②两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角角互补，那么这两条直线平行.简

写成：同旁内角互补，两直线平行.

7.平行线的性质公理和定理

⑴性质公理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简写成：两直线平

行，同位角相等。

⑵性质定理

①两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简写成：两直线平行，内错角相

等.

②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简写成：两直线平行，同旁内

角互补.

(四)三角形

1.(1)三角形的知识结构

「内角和定理及推论

概念T一般三角形性质三边关系定理及边

〔角之间的关系

三角形全等三角形一全等应用收［薛线

［「不等边三角形

按边分等边三角形

［J一般等腰三角形

分类

直角三角形

按角分

⑵三角形三边关系定理：三角形两边的和大于第三边.

推论：三角形两边的差小于第三边.

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.

推论L直角三角形的两个锐角互余.

推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

2.全等三角形

⑴定义：能够完全重合的两个三角形.

⑵性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.

⑶判定

①边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS公理）.

②角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA定理）.

推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS推论）.'

③边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等（SSS定理）.

④斜边、直角边定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL

定理）.

4.角的平分线

⑴定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

⑵定理2：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.

二、四边形

(-)四边形

1.定理：四边形的内角和等于360°,外角和等于360°.

2.多边形内角和定理：多边形的内角和等于(〃-2)」80°.

(二)平行四边形

1.平行四边形的性质和判定

性质①对边平行

②对边相等

③对角相等，邻角互补

④对角线互相平分

判定①两组对边分别平行的四边形

②两组对边分别相等的四边形

③一组对边分别平行且相等的四边形

④两组对角分别相等的四边形

⑤对角线互相平分的四边形

2.特殊平行四边形的性质和判定

名称矩形菱形正方形

①对边平行且相等①对边平行①对边平行且四条边

②四个角都是直角②四条边都相等都相等

③对角线互相平分且相③对角相等②四个角都是直角

性质

等④对角线互相垂直平③对角线互相垂直平

④直角三角线斜边上的分，且平分一组对分且相等

中线等于斜边一半角

①有三个角为直角的四边①四条边都相等的四①有一个角为直角的菱

形边形形

②有一个角为直角的平行②一组邻边相等的平②有一组邻边相等的矩

判定

四边形行四边形形

③对角线相等的平行四边③对角线互相垂直的

形平行四边形

c_对角线X对角线

S菱形二2

3.中点四边形

顺次连接四边形四边中点构成的四边形叫中点四边形。

任意四边形的中点四边形是平行四边形，

矩形的中点四边形是菱形

菱形的中点四边形是矩形

正方形的中点四边形是正方形

等腰梯形的中点四边形是菱形

（三）轴对称和中心对称

定义轴对称中心对称

把一个图形沿着某一条直

把一个图形绕着某一个点旋转180°,如

线折叠，如果它能够与另一

果它能够与另一个图形重合，那么就说

性质个图形重合，那么就说这两

这两个图形关于这个点对称，这个点叫

个图形关于这条直线对称，

做对称中心

这条直线叫做对称轴

①关于某条直线对称的两

个图形全等②对应点连线

①关于中心对称的两个图形全等

被对称轴垂直平分

判定②对称点连线都经过对称中心且被对称

③如果它们的对应线段或

中心平分

其延长线相交，那么交点在

对称轴上

如果两个图形的对应点连

如果两个图形的对应点连线都经过某一

线被同一条直线垂直平分，

判定点且被这一点平分，那么这两个图形关

那么这两个图形关于这条

于这一点对称

直线对称

轴对称图形中心对称图形

（四）梯形

1.概念：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.

2.等腰梯形

⑴性质定理：等腰梯形在同一底上的两个底角等，等腰梯形的两条对角线相等.

⑵判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形为等腰梯形.

3.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么

在其他直线上截得的线段也相等.

⑴推论1：经过梯形一腰的中点与底边平行的直线，必平分另一腰.

⑵推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.

4.中位线

⑴三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段.

⑵性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.

三、相似形

（一）比例线段

1.线段的比和比例线段

⑴比例的基本性质：-=-^ad=bc推论：-=-^b2=ac

bdbc

⑵合比性质：3=£=包=三

bdbd

⑶等比性质：

a_c__ma+c+...+m_a

——...——一

bdnb+d+...+nb

其中b+d+,..+n0o

2.平行线分线段成比例

⑴定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

⑵推论：①平行于三角形一边的直线截其他