广东省茂名市2024届高三模拟测试临门一脚 数学试卷【含答案】

高三数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．32．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．某公司10月23日、10月30日、11月6日、11月13日、11月20日、11月27日这6天员工的出勤率的折线图如图所示，则下列判断正确的是（

）A．这6天员工的出勤率呈递增趋势B．这6天员工的出勤率呈递减趋势C．这6天员工的出勤率的极差大于0.15D．这6天员工的出勤率的中位数小于0.854．展开式中系数为有理数的项共有（

）A．2项 B．3项 C．4项 D．5项5．在四面体ABCD中，平面平面BCD，，且，则四面体ABCD的体积为（

）A．2 B．6 C． D．6．若函数的图象与圆恰有4个公共点，则的解析式可以为（

）A． B．C． D．7．一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（

）A．3 B．4 C．5 D．68．是内一点，，则（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知为非零实数，复数，则（

）A．的虚部为 B．的最小值为C．的实部为 D．当时，为纯虚数10．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，，点的曲率为分别为的中点，则（

）A．直线平面B．在三棱柱中，点的曲率为C．在四面体中，点的曲率小于D．二面角的大小为11．已知为方程的根，为方程的根，则（

）A． B．C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的最小正周期为，.13．已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为.14．设向量，则的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．设函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求在上的最大值和最小值.16．如图，在三棱锥中，平面平．(1)证明：．(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．17．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线与交于A，B两点，且．(1)求的方程；(2)过点作轴的平行线是动点，且异于点，过点作AP的平行线交于，两点，证明：．18．如图，开车从站到站有3条路线.甲、乙、丙路线分别为.开车从站到站需要3分钟，从站到站需要2分钟，从站到站需要2分钟，从站到站需要，2.5分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，受路上的红绿灯影响，都是随机变量，且分布列如下.

22.50.40.61.52.50.50.523m230.50.5(1)若选择甲路线，开车从站到站的总时间为分钟，求的分布列；(2)小张从这3条路线中选择1条，他在每站选择前进的方向时，都会等可能地选择其中一个方向，在他开车经过站的前提下，若他开车从站到站的总时间少于5分钟的概率为0.4，求的值；(3)以各条路线开车需要的总时间的期望为依据，若三条路线中只有丙路线最快捷，求的取值范围.19．已知是公差为2的等差数列，数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)求；(3)[x]表示不超过的最大整数，当时，是定值，求正整数的最小值．1．C【分析】由双曲线的方程可得，a，b，c的值，根据离心率公式即可求解.【详解】由双曲线的方程可得，，，，所以.故选：C.2．A【分析】解不等式，再根据指数函数的值域可得.【详解】由已知，，所以，故选：A.3．D【分析】由图可知这6天员工的出勤率有增也有减即可判断AB；根据极差和中位数的定义即可判断CD.【详解】A：由图可知，这6天员工的出勤率有增也有减，故A错误；B：由图可知，这6天员工的出勤率有增也有减，故B错误；C：这6天员工的出勤率按照从小到大的顺序排列为0.776，0.8077，0.8333，0.86，0.895，0.92，所以这6天员工的出勤率的极差为，故C错误；D：中位数为，故D正确.故选：D4．D【分析】根据二项式展开式的通项公式直接得出结果.【详解】展开式的通项公式为（），所以展开式中的第1项、第3项、第5项、第7项、第9项的系数均为有理数，共5项.故选：D5．C【分析】根据面面垂直可得线面垂直，结合等腰三角形可知四面体的高，进而可得体积.【详解】如图所示，取的中点，连接，因为，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，因为，，所以，又，所以四面体的体积，故选：C.6．D【分析】利用绝对值函数的图象特征，分别作出选项中的函数图象，观察即可判断.【详解】作出的图象，如图1所示，作出的图象，如图2所示，由图可知，满足题意．故选：D.7．B【分析】由超几何分布的概率公式列方程即可求解.【详解】依题意可得，即，整理得，解得或9，因为，所以．故选：B.8．D【分析】在中，分别使用正弦定理，结合化简整理即可得解【详解】因为，所以，设，因为，所以．在中，由正弦定理可得，则，即，即，解得．故选：D9．BC【分析】求得的虚部判断选项A；求得的最小值判断选项B；求得的实部判断选项C；当时，求得的值判断选项D.【详解】对于AC，因为，所以，则的虚部为，选项A错误，的实部为，选项C正确．对于B，，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，B正确．对于D，当时，，则为实数，选项错误．故选：BC10．ABD【分析】利用面面平行的判定性质判断A；利用曲率的定义计算判断BC；作出二面角的平面角并求得其大小判断D【详解】对于A，取的中点，连接BG，FG，由D，E，F分别为的中点，得，而平面，平面，则平面，又，则四边形为平行四边形，，而平面，平面，则平面，又，平面，于是平面平面，由平面BFG，得平面，A正确；对于B，在直三棱柱中，，则点的曲率为，解得，由，得，而，因此点的曲率为，B正确；对于C，过作，交的延长线于，连接，由平面ABC，平面ABC，得，，平面，则平面，平面，因此，，，又，则，，在四面体中，点的曲率为，C错误；对于D，由选项C知，为二面角的平面角，又，则，所以，D正确．故选：ABD.11．BCD【分析】设，利用导数法研究函数单调性，结合零点存在定理得，从而，即可判断A，结合零点存在定理得，从而，即可判断B，由及得，进而，利用的单调性即可判断C，令，利用导数研究其单调性，利用单调性即可判断D.【详解】设，由知均在上单调递增.由，可得，则，整理得，A不正确；由，可得，则，从而，B正确；由，可得．因为，所以，则，即，即，则，C正确；令，则，当时，单调递增，因为，且，所以，即，从而，D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题根据式子特征选择，从而达到构造出适当函数的目的.12．##【分析】根据三角函数图象的伸缩变换可得，结合和求出即可求解.【详解】由题意知，，则的最小正周期，.故答案为：；13．【分析】根据圆的性质和椭圆定义得到，再利用关系即可.【详解】设圆的半径为，则，则，所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆．则，所以，所以动圆的圆心的轨迹方程为．故答案为：.14．##【分析】先求得的表达式，再利用换元法并结合二次函数的性质即可求得其最小值.【详解】，令，则，所以，当，即时，取得最小值，且最小值为．故答案为：15．(1)(2)在上的最大值为，最小值为【分析】（1）根据导数的几何意义直接求解即可；（2）利用导函数与原函数单调性的关系，判断出在上的单调性即可求解.【详解】（1）因为，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为.（2）由（1）可知，.令，则，当时，，，所以，所以在上单调递增，当时，，即，所以在上单调递增，所以的最大值为，的最小值为.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接，通过说明可得结论；（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解线面角.【详解】（1）取的中点，连接，因为，所以，又，面，所以平面，因为平面，所以；（2）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又，所以以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，，则，则，设平面的法向量为，则，即，令得．所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.17．(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据条件，得到直线方程为，设，联立抛物线方程，根据抛物线的弦长求得，即得答案；（2）设直线MN的方程为，联立抛物线方程，根据抛物线的弦长求得，由，所以，由（1）可知，计算即可证得结论.【详解】（1）设．因为点的坐标为，所以，由得，则，从而得，所以的方程为．（2）证明：因为点的坐标为，直线MN的斜率不为0，所以设直线MN的方程为．设，由可得，则所以．由（1）可知，因为点A，P的纵坐标分别为，且，所以可得，即．18．(1)分布列见解析(2)(3)【分析】（1）由题意的可能取值为9，9.5，10，10.5，由独立乘法公式算出对应的概率即可得解；（2）由全概率公式即可列方程求解；（3）设选择乙路线开车从站到站的总时间为分钟，选择丙路线开车从站到站的总时间为分钟，分别算出的表达式，即可列不等式组求解的范围.【详解】（1）的可能取值为9，9.5，10，10.5，，则的分布列为99.51010.50.20.30.20.3（2）若他开车经过站，则他选择的路线是甲路线或乙路线，记选择甲路线为事件，选择乙路线为事件，则，若他开车从站到站的总时间少于5分钟，则或，所以由全概率公式得，解得.（3）设选择乙路线开车从站到站的总时间为分钟，则设选择丙路线开车从站到站的总时间为分钟，，则若三条路线中只有丙路线最快捷，则即，又，所以，即的取值范围是.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是准确表示出，列出不等式组即可顺利得解.19．(1)(2)(3)7【分析】（1）先由是公差为2的等差数列，求得递推关系，再利用叠加法求得，进而得到的通项公式；（2）法一：两次利用错位相减法即可求得数列的前项和为；法二：构造得，再利用裂项相消法即可得解；（3）利用数列单调性结合题给条件即可求得正整数的最小值.【详解】（1）设，则．因为是公差为2的等差数列