山西省吕梁市2024届高三第三次模拟考试 数学试题【含答案】

吕梁市2024年高三年级第三次模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数满足，则复数在复平面对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（

）A． B．C． D．3．设，则对任意实数，则是的（

）A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（

）A． B． C． D．5．已知a，，若，，则b的可能值为（

）A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．66．设，当变化时的最小值为（

）A． B． C． D．7．在四面体中，与互相垂直，，且，则四面体体积的最大值为（

）A．4 B．6 C．8 D．4.58．设函数.若实数使得对任意恒成立，则（

）A． B．0 C．1 D．二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（

）A．当最大B．使得成立的最小自然数C．D．中最小项为10．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是（

）A．B．C．D．若，则11．已知正方体的棱长为是空间中的一动点，下列结论正确的是（

）A．若点在正方形内部，异面直线与所成角为，则的范围为B．平面平面C．若，则的最小值为D．若，则平面截正方体所得截面面积的最大值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．在的展开式中，的系数为(用数字作答)13．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，与轴的负半轴交于点，已知，则.14．对任意闭区间I，用表示函数在I上的最大值，若正实数a满足,则a的值为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩(单位：分)，并制成如下频率分布直方图.(1)求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)及中位数a(精确到0.01);(2)该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取5家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在[96,100]的企业数为Y，求Y的分布列与数学期望；(3)若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布，其中μ近似为50家食品生产企业考核成绩的平均数x，σ²近似为样本方差s²，经计算得，利用该正态分布，估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家?(结果保留整数).附参考数据与公式：则P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.16．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的，使恒成立，则实数的取值范围.17．如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且，.(1)求证：，并求三棱锥的体积；(2)若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离.18．如图，已知分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的动点，若到左焦点距离的最大值为，最小值为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过动点作椭圆的切线，分别与直线和相交于两点，记四边形的对角线相交于点，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由.19．对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”.(1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；(2)已知数列为等差数列，①若是“数列”，，且，求所有可能的取值；②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”.1．D【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到，得到，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由复数满足，可得，则，则复数对应的点为位于第四象限.故选：D.2．B【分析】取为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可.【详解】在中，取为基底，则，因为点分别为的中点，,所以，所以.故选：B.3．C【分析】根据题意，推得为奇函数，且在上单调递增，再由，得到，即，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，且，所以为奇函数，函数与均为递增函数，所以在单调递增，因为函数为奇函数，所以在也为单调递增函数，又因为，所以函数在上单调递增，由，可得，所以，所以，故对任意实数，则是的充要条件.故选：C.4．C【分析】根据题意，由条件可得的可能取值为，且，结合二项分布的概率计算公式代入计算，即可求解.【详解】由题意可知，当时，的可能取值为，且，所以.故选：C5．B【分析】构造函数，求导确定其单调性，结合可得答案.【详解】由得，设，则，又，当时，，单调递增，当时，，单调递减．因为，所以．结合选项可知B正确，ACD错误.故选：B.6．C【分析】根据题意可得在，在上，将问题转化为抛物线焦点到上点的最小值，结合抛物线的性质及导数的几何意义求解即可.【详解】在，在上，设到准线的垂线交准线于点，轴于.，又为焦点到上点的距离，设，因为,所以过点的切线的斜率，当与切线垂直时，解得，所以，所以的最小值为.故选：C.7．A【分析】由椭圆定义可知，点与点都在以为焦点的椭圆上，由到中点距离取最大值时得到，故此时体积最大.【详解】由题可知，点在平面内以为焦点的椭圆上，点在平面内以为焦点的椭圆上，所以焦距为，即，由椭圆定义可知长轴长为，即，所以到中点距离的最大值为短半轴长，所以中，，，所以，又，所以当垂直平面时四面体体积最大，最大值为，故选：A.8．B【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用差角的正弦公式变形等式，借助恒成立建立关系，并分析计算可得答案.【详解】函数，依题意，对任意的恒成立，即对恒成立，因此对恒成立，于是，显然，否则且，矛盾，则，显然，否则且，矛盾，从而，解得，所以.故选：B.【点睛】关键点睛：把给定的等式利用差角的正弦公式按角展开，借助恒等式建立方程组是解决本问题的关键.9．BD【分析】根据题意，结合条件即可得到，即可判断AC，结合等差数列的求和公式即可判断B，再由，或时，；时，即可判断D,【详解】根据题意：，即，两式相加，解得：，当时，最大，故A错误由，可得到，所以，，所以，故C错误；由以上可得：，，而，当时，；当时，；所以使得成立的最小自然数，故B正确.当，或时，；当时，；由，所以中最小项为，故D正确.故选：BD.10．BCD【分析】根据焦距相等可判断A；根据椭圆和双曲线定义，结合余弦定理整理可判断B；根据B中变形可判断C；由B中结论，结合的范围可判断D.【详解】根据题意，设，对于A中，因为椭圆与双曲线有公共焦点，可得，所以，即，所以A错误；对于B中，不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，可得，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以B正确；对于C中，由，可得，所以C正确；对于D中，因为，所以，由可得，所以，所以D正确.故选：BCD.11．BCD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量求异面直线夹角的取值范围，判断A的真假；平面平面，B选项很好判断；先确定点位置，再展开成平面，转化成平面上两点之间的距离问题判断C的真假；先得到是线段上一点，连接并与交于点，分当与重合，在线段（不含点）上，在线段（不含点，）上和与重合四种情况，得到截面积的最大值，判断D的真假.【详解】对于，如图：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，则则，因为所以，故，则的取值范围为，故A不正确；对于B，在正方体中，平面平面，显然成立.故B正确；对于C：正方体的棱长为2，为空间中的一动点，在上取点，使，在上取点，使,如图：由得，即，故为线段上一点.将平面沿展开至与平面共面，如下图：易知：，则.在平面图中，当三点共线时，取得最小值，为，故C正确；对于D：因为，所以，又，可知是线段上一点，如图：连接并与交于点.当与重合时，平面与平面重合，此时截面面积为4.当在线段（不含点）上时，平面截正方体所得截面为三角形，且当与重合时，截面为，此时截面面积最大，由三边长均为，故此时截面面积最大值为.当在线段（不含点）上时，如图：延长与交于点，作平行于并与交于点，则截面为等腰梯形，设，则，梯形的高，面积为.由图可知：梯形的面积一定小于矩形的面积，且矩形面积为，所以.当与重合时，截面为矩形，面积为.故平面截正方体所得截面面积的最大值为，故D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：立体几何中截面的处理思路：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.12．15【分析】集合二项式展开式的通项公式即可求出结果.【详解】由二项式的展开式的通项公式，得，令，则，所以系数为，故答案为：15.13．##【分析】根据题意，求得且，设直线的方程为，联立方程组，化简得到，再联立方程组，求得，结合抛物线的定义，即可求解.【详解】设到直线的距离为，因为，可得，所以，所以，即且，设直线的方程为，联立方程组，整理得，则，所以，则，联立方程组，解得，由抛物线的定义，可得.故答案为：14．或【分析】就参数进行分类讨论函数在的最大值，结合求出的值，或判断值不存在即得.【详解】当时，，由可得，此时；当时，，或.若，则由可得，因，故无解；若，则由可得，此时，即；当时，，因区间的长度至少为，故，而显然不成立,故舍去；综上，a的值为或.故答案为：或.15．(1)84.80分，中位数84.67分；(2)分布列见解析，1；(3)11家【分析】（1）利用频率分布直方图的性质即可求解；（2）利用频率分布直方图的性质及根据已知条件求出随机变量的取值，利用古典概型的概率公式求出随机变量相应取值的概率，进而得出随机变量的分布列，利用期望公式即可求解；（3）根据已知条件及正态分布的性质即可求解.【详解】（1）这50家食品生产企业考核成绩的平均数为：由频率分布直方图得内，解得中位数(分).（2）这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有家，其中考核成绩在内的企业有家，由题意可知，的可能取值为，,,,∴Y的分布列为：Y012P.（3）由题意得,,∴(家)，∴估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有11家.16．(1)答案见解析(2)【分析】（1）由，定义域为，求导，令，讨论当取不同的值时的正负情况，即可得到的单调性；（2）法一：由可化为，令，讨论取正、负、零时恒成立，即可得到实数的取值范围；法二：由可得，令，即恒成立，由，则令，则恒成立，讨论取正、负、零时的单调情况，得到极值，即可得到实数的取值范围.【详解】（1）的定义域为，令，又，，当，即时，，此时在上单调递增，当，即时，令，解得其中，当时，所以在单调递增，在单调递减；当时，，故在单调递减，单调递增.综上：在上单调递增；在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.（2）法一：不妨设，则，同除以得，所以令，当时，恒成立，，若恒成立，符合题意，，当恒成立，令则，所以在单调递增，在单调递减，所以，所以，，若，同理恒成立，由知，当所以不存在满足条件的.综上所述：.法二：.令，则只需在单调递增，即恒成立，，令，则恒成立；又，①当时，在单调递增成立；②当时，在单调递增，又，故不恒成立.不满足题意；③当时，由得在单调递减，在单调递增，因为恒成立，所以，解得，综上，.17．(1)证明见解析，(2)【分析】（1）设，连接，即可证明平面，平面、平面，再由锥体的体积公式计算可得；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出直线与平面所成角的正弦值最大值，再由点到面的距离公式计算可得.【详解】（1）设，连接，为底面圆的内接正三角形，为中点，又，；，；平面平面平面平面，平面平面平面平面，又平面，又平面，又平面，所以，又平面，平面平面平面；为中点，，即，又平面，平面，平面平面，，，又平面，.（2）为中点，又，为中点，，，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，设，；设平面的法向量，则，令，解得：，设直线与平面所成角为，，令，则，，当，即时，，，此时，，点到平面的距离.18．(1)(2)存在，，