陕西省咸阳市2024届高考 数学5月信息专递试卷（理科）

2024年陕西省咸阳市高考数学信息专递试卷（理科）（5月份）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合直线，椭圆，则集合中元素的个数为(

)A.0个 B.1个 C.2个 D.0个1个或2个2.若复数z满足，则(

)A.1 B. C.i D.3.已知，则(

)A.0 B.1 C. D.4.如图，点P是正方体面内的动点，且点P到棱和面的距离相等，则点P的轨迹是(

)A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线5.在中，点D在边AB上，点E在边AC上，，，记，则(

)A. B. C. D.6.已知等比数列的前n项和为，，，则(

)A.18 B.54 C.128 D.1927.碳是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成，形似足球，又称为足球烯.其结构是由五元环正五边形面和六元环正六边形面组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数-棱数+面数，则其六元环的个数为(

)A.12 B.20 C.32 D.608.在等差数列中，，，且，是其前n项和，则(

)A.，都小于0，，都大于0B.，都小于0，，都大于0C.，都小于0，，都大于0D.，都小于0，，都大于09.设，分别是椭圆E：的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为(

)A. B. C. D.10.数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”它们可用“调日法”得到：称小于的近似值为弱率，大于的近似值为强率.由于，取3为弱率，4为强率，计算得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知，则(

)A.8 B.7 C.6 D.511.已知平行六面体中，棱、AB、AD两两的夹角均为，，，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为(

)A.B.C.D.12.设是函数的导数，且满足，若是锐角三角形，则(

)A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，共17分。13.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则A的大小是______14.已知，则______.15.已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则______.16.已知圆台的高为6，AB，CD分别为上、下底面的一条直径，且，，则圆台的体积为______；若A，B，C，D四点不共面，且它们都在同一个球面上，则该球的表面积为______.三、解答题：本题共7小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.本小题12分已知向量，，设函数当时，求函数的值域；已知在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且，求面积的最大值.18.本小题12分某校为营造学科学、爱科学、用科学的良好氛围，使学生掌握必要和基本的科学知识，培养良好的科学学习态度.特举办以“体悟科技魅力，激发思维潜能”为主题科普知识竞赛：该活动规定每班选3人，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分.在竞赛中，甲、乙两班代表队相遇，假设甲队3人回答正确的概率均为，乙队3人回答正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否互不影响.求甲队总得分为20分且乙队总得分为10分的概率；求甲队总得分X的分布列和数学期望.19.本小题12分如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，，且，，将它沿对称轴折起，使平面平面，如图2，点P为BC的中点，点E在线段AB上不同于A，B两点，连接OE并延长至点Q，使证明：平面PAQ；若，求二面角的余弦值．20.本小题12分在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，动点与定点的距离和D到定直线的距离的比是常数2，设动点D的轨迹为曲线求曲线C的方程；已知定点，，过点P作垂直于x轴的直线l，过点P作斜率大于0的直线与曲线C交于点G，H，其中点G在x轴上方，点H在x轴下方.曲线C与x轴负半轴交于点A，直线AG，AH与直线l分别交于点M，N，若A，O，M，N四点共圆，求t的值.21.本小题15分已知函数当时，讨论的单调性；当时，若，求a的取值范围；设，证明：22.本小题10分在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为，为参数，直线的参数方程为，为参数设与的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线写出C的普通方程；以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设：，M为与C的交点，求M的极径．23.本小题12分已知函数当时，求的解集；当时，恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A

【解析】解：已知集合直线，集合椭圆，显然两个集合没有共同属性，就是没有相同的元素，所以中元素个数为故选由题意可知，集合直线椭圆，集合不存在共同属性，中元素个数为本题是基础题，考查集合的基本概念，集合的交集的运算，是易错题，误认为直线与椭圆的交点个数问题．2.【答案】B

【解析】解：，则，解得，故选：根据已知条件，结合立方差公式，即可求解．本题主要考查复数的运算，属于基础题．3.【答案】B

【解析】解：因为，所以或，所以，所以故选：根据三角函数性质即可求值．本题考查三角函数求值，属于基础题．4.【答案】C

【解析】解：如图，由正方体结构特征，以为原点，、所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，设正方体棱长为a得，，，设，因为平面，平面，所以，即P到的距离即为线段的长，过P作，垂足为Q，易知P到面的距离为线段PQ的长，因为，依题意有：，两边平方并整理得：，所以P点的轨迹是抛物线．故选：建立平面直角坐标系，设出动点坐标，求出动点轨迹方程，即可求解．本题考查空间几何体中的动点轨迹问题，属于中档题．5.【答案】A

【解析】解：过点D作，交BE于点Q，因为在中，，，所以，可得，因为，所以，可得，即，整理得，结合，可得，将代入，得，所以故选：根据题意作出图形，过点D作，交BE于点Q，利用平行线的性质证出，然后化简为以A为起点的向量表达式，得到，结合得到，再将代入化简，可得所求表达式．本题主要考查平行线的性质、平面向量的线性运算法则及其应用，属于中档题．6.【答案】D

【解析】解：设等比数列的公比为q，则，解得故选：根据等比数列的定义结合求和定义，可得答案．本题主要考查等比数列的定义，属于基础题．7.【答案】B

【解析】【分析】本题考查推理的应用，关键是构造关于x、y的方程组，属于基础题．根据题意，设正五边形为x个，正六边形为y个，分析可得其棱数，即可得关于x、y的方程组，解可得y的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设正五边形为x个，正六边形为y个，碳的顶点数为60，有32个面，由顶点数-棱数+面数，则棱长数为90，则有，解可得，即有20个六元环，故选：8.【答案】B

【解析】解：在等差数列中，，，且，，，，，，故选：利用等差数列的性质直接求解．本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质，勾股定理，考查了计算能力，属于中档题．设，由，可得，，，由，可得，利用勾股定理即可得出．【解答】解：设，，，，，，，，在中，即，，，故选10.【答案】B

【解析】解：根据题意，为强率，则，故，即为强率；由于，故，即为强率；由于，故，即为强率；由于，故，即为强率；由于，故，即故选：根据题意，由“调日法”的计算方法，依次迭代计算，有，即可得答案．本题考查归纳推理，注意“调日法”的计算方法，属于基础题．11.【答案】D

【解析】解：因为E为的中点，棱、AB、AD两两的夹角均为，，，设，则，由平行六面体的性质可得：，，可得，，所以，，可得，则，所以异面直线与所成角的余弦值为，故选：由题意求出异面直线的方向向量和方向向量的表达式，求出这两个向量的余弦值，进而求出异面直线所成的角的余弦值．本题考查空间向量的运算性质的应用及用空间向量的方法求异面直线所成的角的余弦值，属于中档题．12.【答案】D

【解析】解：设，则其导数，又由满足，则有，则函数在上为增函数，若是锐角三角形，则有，即，即有或，对于，，，又由，则有，即，可以排除A、B，对于，，，又由，则有，即，可得D正确，故选：根据题意，设，，对求导分析可得函数在上为增函数，又由是锐角三角形，分析可得，即有或，结合的单调性以及和分析答案．本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，关键是构造函数并分析其单调性．13.【答案】

【解析】解：因为，由正弦定理可得，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，而，即，所以，可得故答案为：由题意及正弦定理可得，再由基本不等式及正弦函数的有界性可得本题考查正弦定理及基本不等式的性质的应用，属于中档题．14.【答案】4048

【解析】解：，等号两边分别求导，得，令，得故答案为：对等号两边分别求导，再赋值，可求得答案．本题主要考查二项式定理的应用，属中档题．15.【答案】e

【解析】解：设曲线的切点为，曲线的切点为，，，由题意可知，，解得故答案为：结合导数的几何意义，即可求解．本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．16.【答案】

【解析】解：由题意，该圆台，，，，，则该圆台的体积；设球心O到圆台上底面的距离为a，球O的半径为R，因为球O的球心在圆台的轴上，所以有，解得：，，则该球的表面积为故答案为：；利用圆台的体积公式求圆台的体积，根据球O的球心在圆台的轴上，得到，求得，利用球的表面积公式即可求解．本题考查了圆台的体积公式和球的表面积公式，属于中档题．17.【答案】解：根据题意得，当时，，可得，函数的值域为；由的结论，可知，根据，可得，结合，得，因为，且，所以，结合基本不等式，得，所以，当且仅当等号成立．因此，，当且仅当时，面积最大值为

【解析】利用三角恒等变换公式化简得，然后根据正弦函数的图象与性质求出的值域；由算出，利用勾股定理得出，然后根据三角形的面积公式与基本不等式求出面积最大值．本题主要考查三角恒等变换公式、正弦函数的最值求法及其应用、三角形的面积公式与基本不等式等知识，属于中档题．18.【答案】解：由题设，甲队得20分，即2人答对1人答错，概率为，乙队得10分，即1人答对2人答错，概率为，所以甲队总得分为20分且乙队总得分为10分的概率；由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，且，，，，所以甲队总得分X的分布列如下：X0102030所以

【解析】利用独立事件的乘法公式及互斥事件加法公式求甲队总得分为20分且乙队总得分为10分的概率；由题意有X的所有可能取值为0，1，2，3，利用二项分布概率公式求各可能值对应的概率，进而写出X的分布列，再根据分布列求期望即可．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．19.【答案】解法一几何法证明：取的中点为F，连接AF，PF；，，，、F、A、Q四点共面，又由图1可知，平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，在直角梯形中，，，≌，，，，且平面PAQ，平面PAQ，平面解法二向量法由题设知OA，OB，两两垂直，所以以O为坐标原点，OA，OB，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长度为m，则相关各点的坐标为，，，，，点P为BC中点，，，，，，，，，且与不共线，平面，，，则，，设平面CBQ的法向量为，，，令，则，，则，又显然，平面ABQ的法向量为，设二面角的平面角为，由图可知，为锐角，则

【解析】解法一几何法：取的中点为F，连接AF，PF；推出，证明，得到平面，证明平面，即可证明然后证明得到结果平面解法二向量法：由题设知OA，OB，两两垂直，所以以O为坐标原点，OA，OB，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长度为m，求出相关的坐标，证明，然后证明平面求出平面CBQ的法向量，平面ABQ的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的平面角的余弦函数值即可．本题考查向量法求解二面角的平面角的大小，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20.【答案】解：由已知得：，两边平方得去分母得：，化简得：即为曲线C的方程．设点，直线GH：与双曲线C的方程联立，消去y得由韦达定理：，由条件，直线AG的方程为，直线AH的方程为，于是可得，因为A，O，M，N四点共圆，所以，，，所以，所以，于是即，化简得，，又，，代入整理得：，将韦达定理代入得，，化简得：

【解析】根据题意列方程化简求解即可；设直线GH的方程，联立曲线方程，利用韦达定理建立方程，从而求得t的值．此题考查了直线与圆锥曲线关系问题，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．21.【答案】解：当时，，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减．令，，在上恒成立，又，令，则，，①当，即，存在，使得当时，，即在上单调递增．，在内递增，，这与矛盾，故舍去；②当，即，，若，则，在上单调递减，，符合题意．若，则，在上单调递减，，符合题意．综上所述，实数a的取值范围是

证明：由可知，当时，，令得，，整理得，，，，，即

【解析】对求导，利用导数与单调性的关系即可求解；令，对求导，再对a分类讨论，求出时a的取值范围，即可得解；由可知，当时，，令，进而可得，从而可证明不等式成立．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，考查运算求解能力，属于难题．22.【答案】解：直线的参数方程为，为参数，消掉参数t得：直线的普通方程为：①；又直线的参数方程为，为参数，同理可得，直线的