2024辽宁中考数学二轮中考考点研究 6.2 点、直线与圆的位置关系 (课件)

第二节点、直线与圆的位置关系

辽宁近年中考真题精选1

考点精讲2

重难点分层练3辽宁近年中考真题精选1命题点与切线性质有关的证明与计算1.(2020沈阳22题10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，当DC为⊙O的切线时．(1)求证：DC＝AC；第1题图(1)证明：如解图，连接OD.∵DC与⊙O相切，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠ADC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠ADC＝∠A，∴DC＝AC；第1题图(2)若DC＝DB，⊙O的半径为1，请直接写出DC的长为________．【解法提示】∵OB＝OD，∴∠DOC＝∠B＋∠ODB＝2∠B，∵DC＝DB，∴∠B＝∠OCD，∵∠ODC＝90°，∴∠COD＋∠OCD＝90°，∴3∠OCD＝90°，∴∠OCD＝30°，∵OD＝1，∴DC＝

.第1题图2.如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C.(1)若∠ADE＝25°，求∠C的度数；第2题图解：(1)如解图，连接OA，∵AC为⊙O的切线，OA是⊙O半径，∴∠OAC＝90°，∵∠ADE＝25°，∴∠AOE＝2∠ADE＝50°，∴∠C＝90°－∠AOE＝90°－50°＝40°；(2)若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半径的长．第2题图(2)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝2∠C，∵∠OAC＝90°，∴∠AOC＋∠C＝90°，∴3∠C＝90°，∴∠C＝30°，∵∠OAC＝90°，∴OA＝

OC，设⊙O的半径为r，∵CE＝2，∴r＝

(r＋2)，解得r＝2，∴⊙O半径的长为2.3.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D.(1)求证：∠ABC＝∠CBD；第3题图(1)证明：如解图，连接OC，∵MN与⊙O相切于点C，∴OC⊥MN.∵BD⊥MN，∴OC∥BD.∴∠CBD＝∠BCO.又∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠ABC.∴∠ABC＝∠CBD；(2)若BC＝4，CD＝4，则⊙O的半径是________．【解法提示】如解图，连接AC，第3题图在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝4，∴BD＝＝8.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠ACB＝∠CDB＝90°.∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD.∴

，即

.∴AB＝10.∴⊙O的半径是5.54.如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是(

)

A.25°

B.30°C.35°

D.40°辽宁其他地市真题第4题图D5.如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠BCP＝∠BAN.(1)求证：△ABC为等腰三角形；第5题图证明：(1)∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC＝∠ANB＝90°.∴∠BAN＋∠ABN＝90°.∵CP是⊙O的切线，∴∠ACN＋∠BCP＝90°.又∵∠BCP＝∠BAN，∴∠ACN＝∠ABN.∴AC＝AB.∴△ABC为等腰三角形；(2)求证：AM·CP＝AN·CB.第5题图(2)如解图，连接MN，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°，∴∠CBP＝∠AMN，又∵∠BAN＝∠BCP，∴△AMN∽△CBP，∴

，即AM·CP＝AN·CB.2命题点与切线判定有关的证明与计算6.(2021本溪辽阳葫芦岛24题12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF.(1)求证：EF是⊙O的切线；第6题图第6题图(1)证明：如解图，连接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵BF＝EF，∴∠B＝∠BEF，∵∠OAE＝∠BAC，∴∠OEA＝∠BAC，∴∠OEF＝∠OEA＋∠BEF＝∠BAC＋∠B＝90°，∴EF⊥OE，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；(2)若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．(2)解：如解图，连接DE，第6题图∵OC＝9，AC＝4，∴OA＝OC－AC＝5，∵AD＝2OA，∴AD＝10.∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴Rt△ADE中，DE＝6，∴cos∠DAE＝

，∵在Rt△ABC中，cos∠BAC＝

，∵∠BAC＝∠DAE，∴

，∴AB＝5，∴BE＝AB＋AE＝5＋8＝13，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，第6题图∵∠OED＋∠OEA＝90°，∠FEB＋∠OEA＝90°，∴∠FEB＝∠OED，∴∠B＝∠FEB＝∠OED＝∠ODE，∴△FBE∽△ODE，∴

，∴

，∴BF＝

.第6题图7.(2021抚顺铁岭24题12分)如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，＝

，

连接AC，BC,过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，DA与BO的延长线相交于点E，DO与AC相交于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；第7题图(1)证明：如解图，连接OC，∵∠AOB＝120°，

＝

，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB＝60°，∴∠AOC＝∠OCB，∴OA∥BC，∵AD⊥BC，∴OA⊥AD，∵OA是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；第7题图(2)若⊙O的半径为2，求线段DF的长．(2)解：由(1)知△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝OA＝2，∠B＝60°，∵AD⊥BC，∴∠EDB＝90°，∴∠E＝30°，第7题图第7题图∵DE是⊙O的切线，∴∠OAE＝90°，∴OE＝2OA＝4，AE＝2，∴BE＝6，∴BD＝

BE＝3，DE＝3，∴CD＝BD－BC＝3－2＝1，AD＝DE－AE＝3－2＝，∴OD＝，∵OA∥BC，∴△CDF∽△AOF，∴.∴DF＝

OD＝

.8.在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O、D分别为AB、BC的中点，连接OD，作⊙O，使⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO，连接DF.(1)判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；第8题图解：(1)DF与⊙O相切，理由：如解图，过点O作OG⊥DF于点G，连接OE，∟∟G∵O、D分别是AB、BC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠ODF＝∠DFC，又∵∠OGD＝∠C＝90°，OD＝DF，∴△DOG≌△FDC,∴OG＝DC,第8题图∟∟G∵AC是⊙O的切线，∴∠OEC＝∠C＝∠CDO＝90°，∴四边形DCEO是矩形，∴DC＝OE，∴OG＝OE，即OG为⊙O的半径，又∵OG⊥DF，∴DF与⊙O相切；第8题图∟∟G(2)当∠A＝30°，CF＝

时，求⊙O的半径．第8题图∟∟G(2)设⊙O的半径为r，则BD＝DC＝OE＝OG＝r，∵在Rt△BOD中，∠BOD＝∠A＝30°，∴OD＝r，∵△DOG≌△FDC，∴DG＝CF＝，∵在Rt△DOG中，由勾股定理得：OG2＋DG2＝OD2，∴r2＋()2＝(r)2，解得r＝1(负值已舍去)，即⊙O的半径为1.9.(2021沈阳22题10分)如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A，点E是半径OA上一点(点E不与点O，A重合)．连接DE交⊙O于点C，连接CA，CB.若CA＝CD，∠ABC＝∠D.(1)求证：AD是⊙O的切线；(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ABC＋∠BAC＝90°.∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠D.又∵∠ABC＝∠D，∴∠CAD＝∠ABC.∴∠CAD＋∠BAC＝90°.∴OA⊥AD.∵OA是半径，∴AD是⊙O的切线．第9题图(2)若AB＝13，CA＝CD＝5，则AD的长是________．【解法提示】方法一：∵在Rt△ADE中，AC＝CD＝5，∴CE＝5，DE＝10.Rt△ABC中，AC＝5，AB＝13，∴BC＝12.∵∠B＝∠D，∠ACB＝∠EAD，∴△ACB∽△EAD.∴，即

.∴AD＝

.第9题图方法二：如解图，过点C作CM⊥AD于M，第9题图∴∠CMD＝90°＝∠ACB.又∵∠ABC＝∠D，∴△BCA∽△DMC，∴

.Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC2＋BC2＝AB2，BC＝12，∴

.∴DM＝

.又∵CD＝CA，CM⊥AD，∴AD＝2DM＝

.(2)解：∟M10.(2020铁岭葫芦岛24题12分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD.(1)求证：直线DE是⊙O的切线；第10题图∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.(1)证明：如解图①，连接OD，∵∠ADE＝∠ACD，∴∠ADE＝∠ODC，∴∠ADE＋∠ADO＝∠ODC＋∠ADO，∴∠ODE＝90°.∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；第10题图(2)若AD＝6，CD＝8，求BD的长．(2)解：如解图②，过A作AF⊥BD于点F，第10题图∟F∵∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，∴AC＝10.∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∴AB＝BC＝

AC＝5，∠BAC＝∠BCA＝45°，∴∠ADB＝∠BCA＝45°.∵∠AFD＝90°，∴DF＝AF＝

AD＝3.在Rt△ABF中，BF＝＝4，∴BD＝DF＋BF＝7.11.(2022葫芦岛24题12分)如图，点M是矩形ABCD的边AD延长线上一点，以AM为直径的⊙O交矩形对角线AC于点F，在线段CD上取一点E，连接EF，使EC＝EF.(1)求证：EF是⊙O的切线；第11题图(1)证明：如解图，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°.∴∠CAD＋∠DCA＝90°.∵EC＝EF，∴∠DCA＝∠EFC.∵OA＝OF，∴∠CAD＝∠OFA.∴∠EFC＋∠OFA＝90°.∴∠EFO＝180°－90°＝90°.∴EF⊥OF.又∵OF为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；第11题图(2)若cos∠CAD＝

，AF＝6，MD＝2，求FC的长．(2)解：如解图，连接MF，第11题图∵AM是⊙O的直径，∴∠AFM＝90°.在Rt△AFM中，cos∠CAD＝

，又∵AF＝6，∴

.∴AM＝10.∵MD＝2，∴AD＝8.在Rt△ADC中，cos∠CAD＝

，∴

，∴AC＝

，∴FC＝

－6＝

.12.(2023本溪24题12分)如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，⊙O是△DEF的外接圆，连接DP.(1)求证：DP是⊙O的切线；第12题图(1)证明：如解图，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠DCP＝∠BCP.又∵CP＝CP，∴△DCP≌△BCP(SAS)．∴∠CDP＝∠CBP.∵∠FDE＝∠BCD＝90°，∴EF为⊙O的直径，∴OD＝OE.∴∠ODE＝∠OED.又∵∠CEP＝∠OED，∴∠CEP＝∠ODE.∵∠BEC＋∠CBE＝90°，∴∠ODE＋∠CDP＝90°.即∠ODP＝90°，∴OD⊥DP，又∵OD为⊙O的半径，∴DP是⊙O的切线；第12题图(2)若tan∠PDC＝

，正方形ABCD的边长为4，求⊙O的半径和线段OP的长．第12题图(2)解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC.∴∠F＝∠CBP.又∵∠CDP＝∠CBP，∴∠F＝∠CDP＝∠CBP.∴tanF＝tan∠CDP＝tan∠CBP＝

.∴

.∴EC＝

BC＝

×4＝2.∴DE＝DC－EC＝4－2＝2.∴DF＝2DE＝2×2＝4.在Rt△DEF中，EF＝，∴OE＝

EF＝.即⊙O的半径为.∵DC∥AB，∴△CEP∽△ABP.∴

.∴EP＝

BE＝

×2＝

.∴OP＝OE＋EP＝＋

＝

.在Rt△CEB中，EB＝，第12题图13.(2020辽宁22题12分)如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交OC于点E，连接AB，CD，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF＝∠D.(1)求证：AD⊥BC；第13题图(1)证明：∵∠AEF＝∠D，∠D＝∠B,EF⊥AB，∴∠AEF＋∠BAD＝90°，∴∠B＋∠BAD＝90°，∴∠AEB

＝90°，∴AD⊥BC；(2)点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D.①求证：AG与⊙O相切；第13题图(2)①证明：如解图，连接OA.∵∠DAG＝2∠D，∠AOC＝2∠D，∴∠DAG＝∠AOC.由(1)知，AD⊥BC，∴∠AOC＋∠OAE＝90°，∴∠DAG＋∠OAE＝90°，∴OA⊥AG.∵AO是⊙O的半径，∴AG是⊙O的切线，即AG与⊙O相切；②当

，CE＝4时，直接写出CG的长．【解法提示】如解图，连接AC，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴EF∥AC，∴△BEF∽△BCA，∴

，解得BE＝10.∴OE＝

BC－EC＝3.

第13题图在Rt△AEO中，AE＝.由①知，∠AOC＝∠DAG，∠AEO＝∠CEA＝90°，∴△OEA∽△AEG，∴

，解得EG＝

，∴CG＝EG－EC＝

.第13题图辽宁其他地市真题14.(2021营口22题12分)如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的两点，且

＝

，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．(1)求证：AF＝AE；第14题图(1)证明：∵

＝

，∴∠ABD＝∠CBD，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CBD＋∠CEB＝90°，∵⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，∴∠FAB＝90°，∴∠F＋∠ABD＝90°，∴∠CEB＝∠F

，∵∠AEF＝∠CEB，∴∠AEF＝∠F，∴AF＝AE；第14题图(2)若AB＝8，BC＝2，求AF的长．第14题图(2)解：∵AB＝8，BC＝2，∠ACB＝90°，∴AC＝，∵∠CBD＝∠ABD，∠ACB＝∠FAB＝90°，∴△BCE∽△BAF，∴

，∴设AF＝AE＝x，则

，解得x＝

，∴AF＝

.15.(2021朝阳22题8分)如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且∠AOD＝90°，点C是⊙O外一点，分别连接CA，CB，CD，CA交⊙O于点M，交OD于点N，CB的延长线交⊙O于点E，连接AD，ME，且∠ACD＝∠E.(1)求证：CD是⊙O的切线；第15题图(1)证明：∵∠E＝∠ACD，∠E＝∠BAM，∴∠ACD＝∠BAM，∴AB∥CD，∵∠AOD＝90°，∴OD⊥CD，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；第15题图(2)连接DM，若⊙O的半径为6，tanE＝

，求DM的长．(2)解：∵∠E＝∠BAM，∴tanE＝tan∠BAM＝

，在Rt△AON中，∠AON＝90°，OA＝6，∴

＝

，∴ON＝2，DN＝4，∴AN＝，第15题图在Rt△AOD中，AD＝，∵OA＝OD，∴∠ADN＝45°，又∵∠AMD＝

∠AOD＝45°，∴∠ADN＝∠AMD，∵∠DAN＝∠MAD，∴△ADN∽△AMD，∴

＝

，∴

，∴DM＝

.第15题图点、直线与圆的位置关系点与圆的位置关系点在圆外点在圆上点在圆内直线与圆的位置关系相离相切相交切线的性质与判定性质判定切线长三角形的内切圆定义角度关系内切圆的圆心性质考点精讲【对接教材】北师：九下第三章P66、P89～P96；人教：九上第二十四章P92～P103.点与圆的位置关系（设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d）点在圆外⇔d>r点在圆上⇔d

r点在圆内⇔d＜r

直线与圆的位置关系（设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d）位置关系相离相切相交d与r的关系d

rd

rd

r交点的个数______1______示意图＝＞＝<02切线的性质与判定性质1.圆的切线

于过切点的半径（或直径）2.切线到圆心的距离等于圆的_________

1.过半径外端且

于半径的直线是圆的切线2.和圆只有

公共点的直线是圆的切线3.如果圆心到直线的距离等于圆的

，那么这条直线是圆的切线判定切线长定义：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长,*（选学）定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分,两条切线的夹角垂直半径垂直一个半径三角形的内切圆定义：与三角形三边都相切的圆（如图）内切圆的圆心：三角形三个内角的

的交点性质：三角形的内心到三角形三条边的距离___________角度关系：∠BOC＝90°＋∠A

相等角平分线重难点分层练例1在△ABC中，AO是BC边上的中线．已知AB＝AC＝10，BC＝16，以点O为圆心，r为半径作圆．(1)若r＝4.8，则点A与⊙O的位置关系是________，直线AB与⊙O的位置关系是________；(2)若r＝8，则点A与⊙O的位置关系是________，点B与⊙O的位置关系是________，直线AB与⊙O的位置关系是________．一题多设问回顾必备知识点在圆外相切点在圆内点在圆上相交提升关键能力例2如图①，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，连接BD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；一题多设问例2题图①(1)证明：如解图①，连接OD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∵AE⊥DE，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；例2题图①(2)求证：∠ADE＝∠ABD；例2题图①(2)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB，∴∠ADE＝∠ABD；(3)若DE＝4，弦AC的长是6，求⊙O的半径；(3)解：如解图，过点O作ON⊥AC交AC于点N，连接OD，例2题图①N∟则AN＝CN＝

AC＝3，∵∠ODE＝∠DEN＝∠ONE＝90°，∴四边形ODEN是矩形，∴ON＝DE＝4；在Rt△AON中，AN＝3，ON＝4，∴OA＝5，即⊙O的半径为5；(4)若CE＝1，BD＝2，求∠BAC的度数；(4)解：如解图，过点D作DM⊥AB于点M，连接CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AE，DM⊥AB，∴DE＝DM.在Rt△DAE和Rt△DAM中，

∴Rt△DAE≌Rt△DAM(HL)，∴AE＝AM.例2题图①M∟∵∠EAD＝∠MAD，∴

＝

，∴CD＝BD＝2.在Rt△DEC和Rt△DMB中，

∴Rt△DEC≌Rt△DMB(HL)，∴CE＝BM＝1，∴在Rt△DMB中，BD＝2BM，∴∠B＝60°，∴∠BAD＝30°，∴∠BAC＝2∠BAD＝2×30°＝60°；例