2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 常考相似模型（课件）

微专题常考相似模型模型分析模型一

A字型模型展示正A字型斜A字型

模型特点

有一个公共角∠A

模型分析DE∥BC，则∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠B

结论△ADE∽△ABC△ADE∽△ACB模型应用第1题图1.如图，已知∠ACD＝∠B，若AC＝6，AD＝4，BC＝10，则CD长为________．2.如图，在△ABC中，AB＝5，D，E分别是边AC和AB上的点，AD·BC＝，若∠AED＝∠C，则DE的长为_______．若∠AED＝∠B，则DE·AC的值为________．第2题图模型二8字型模型分析模型展示正8字型斜8字型(蝴蝶型)

模型特点有一组对顶角模型分析AB∥CD，则∠A＝∠D，∠B＝∠C∠A＝∠C，∠B＝∠D结论△AOB∽△DOC△AOB∽△COD模型应用3.如图，BE与CD交于点A，∠C＝∠E，AC＝2，BC＝4，AE＝1.5，则DE＝____．第3题图34.(2023葫芦岛龙港区一模)如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE，交AC于点F，则的值是________．第4题图5.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，D为边BC上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E.若，则的值为________．第5题图模型分析模型三三垂直型模型展示已知AB⊥BC，DE⊥CE，AC⊥CD变形图结论：△ABC∽△CED模型展示已知AB⊥BC，AE⊥BD，CD⊥BD变形图结论△ABE∽△BCD解题思路利用“同角的余角相等”转化找等角模型应用6.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是DC延长线上的一点，连接BE，过点E作EF⊥BE交AD的延长线于点F.若CE＝2，则DF的长为(

)

A.2B.3C.4D.6第6题图B模型四手拉手型模型分析模型展示模型特点等顶角(∠DAE＝∠BAC)，非等线段(AD≠AE，AB≠AC)，共顶点模型分析∠BAD＝∠CAE，∠ADE＝∠ABC解题思路证明三角形相似的关键(1)共顶点：加(减)共顶点的公共角得到∠BAD＝∠CAE(2)利用证明相等角的两边成比例结论△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE拓展当线段AD＝AE，AB＝AC时，△ABD≌△ACE模型应用第7题图7.如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC∶BC＝3∶4，则BD∶CE为(

)

A.5∶3B.4∶3C.∶2D.2∶A模型五对角互补型模型分析模型展示(OE≠OF)(OA≠OM)∠ACB＋∠EOF＝180°模型特点对角互补模型分析过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，则∠EDO＝∠FHO作∠MOF＝∠AOE结论△ODE∽△OHF△OAE∽△OMF拓展当OE＝OF时，△ODE≌△OHF当OE＝OF时，△OAE≌△OMF模型应用8.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝______．第8题图69.如图，已知△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，AC，BC边上的点，∠EDF＝120°，设＝n.若，求n的值．第9题图解：如解图，作DG∥BC交AC于点G，G∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DG∥BC，∴∠B＝∠ADG＝∠C＝∠AGD＝60°，∠BDG＝120°，∴△ADG是等边三角形，∴AD＝DG，∵∠BGD＝120°，∠EDF＝120°，∴∠BDF＋∠GDF＝∠EDG＋∠GDF＝120°，∴∠BDF＝∠GDE，∵∠B＝∠AGD＝60°，∴△DGE∽△DBF，∴，∴，第9题图G∵，∴n＋＝3，化简得，n2－3n＋1＝0，解得n1＝，n2＝，∴n的值为或.第9题图G综合训练第1题图1.如图，点O为平行四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，点E为边BC的中点，连接AE交BD于点F，则的值为________．第2题图2.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，矩形PQMN的顶点P，N分别在AB，AC上，Q、M在BC上，若BC＝12，AD＝8，QM＝x，矩形PQMN的面积是__________．(用含x的代数式表示)第3题图3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC的中点，E为AB上一点，ED，BC的延长线交于点F，∠F＝30°，ED＝2，DF＝6，BE＝

，则BC的长为_______．第4题图4.如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是边CD上一点，EF⊥AE交BC于点F，则CF长的取值范围是____________．第5题图5.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝，D为△ABC内部的一点，且CD⊥BD，在BD的延长线上取一点E，使得∠CAE＝∠BAD.若∠ADE＝∠ABC，且∠DBC＝30°，则AD的长为________．第6题图6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AP、BP分别平分∠CAB、∠CBA，过点P作DE∥AB交AC于点D，交BC于点E.(1)求证：点P是线段DE的中点；证明：(1)∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∵DE∥AB，∴∠ABP＝∠EPB，∴∠CBP＝∠EPB，∴BE＝PE，同理可证DP＝DA，∵DE∥AB，∴，∵CA＝CB，∴CE＝CD，∴BE＝AD，∴PE＝PD，∴点P是DE的中点；第6题图(2)求证：BP2＝BE·BA.(2)由(1)得∠ABP＝∠EBP＝∠EPB＝∠CBA，∵AP平分∠CAB，∴∠PAB＝∠CAB，∵CA＝CB，∴∠CBA＝∠CAB，∴∠ABP＝∠EBP＝∠EPB＝∠PAB，∴△ABP∽△PBE，∴，∴BP2＝BA·BE.第6题图第7题图①7.已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，点B，C，E都在同一直线上，且△ABC和△DCE在该直线同侧．(1)如图①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，请猜想线段AF与DF之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；

解：(1)猜想：AF＝DF，AF⊥DF.证明：如解图，过点A作AH⊥BC于点H，过点D作DJ⊥EC于点J.HJ∵AB＝AC，DC＝DE，∠BAC＝∠CDE＝90°，∴BH＝CH，CJ＝EJ，∴AH＝BH＝CH，DJ＝CJ＝EJ，∵BF＝EF，∴HJ＝BF＝EF，∴BH＝FJ＝AH，FH＝JE＝DJ，∵∠AHF＝∠FJD＝90°，∴△AHF≌△FJD(SAS)，∴AF＝FD，∠HAF＝∠JFD，第7题图①HJ∵∠FAH＋∠AFH＝90°，∴∠AFH＋∠DFJ＝90°，∴∠AFD＝90°，即AF⊥DF；第7题图①HJ(2)如图②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系．第7题图②【解法提示】如解图②，过点A作AH⊥BC于点H，过点D作DJ⊥EC于点J.HJ∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BH＝CH，AH＝BH，∵DC＝DE，∠CDE＝120°，∴CJ＝JE，∠DEC＝∠DCE＝30°，∴JE＝DJ，∵BF＝FE，∴HJ＝BF＝EF，∴BH＝FJ，HF＝JE，∴AH＝FJ，FH＝DJ，∴