2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与角度问题（课件）

微技能——角的表示一阶例1一题多设问

已知抛物线交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC.微专题二次函数与角度问题例1题图①【作图依据】_______________________________________________(1)点P是抛物线上一点，在图①中找出点P使得∠PCA＝30°；例1题图①解：(1)满足条件的点P如解图①.分两种情况：①点P在直线AC上方；②点P在直线AC下方；全等三角形对应角相等例1题解图①(2)点P是抛物线上一点，在图②中找出点P使得∠CPA＝60°；例1题图②【作图依据】_____________________________________________(2)满足条件的点P如解图②.分两种情况：①点P在直线AC上方；②点P在直线AC下方；例1题解图②全等三角形对应角相等(3)点满足条件的点P如解图③.分两种情况：①点P在直线AB上方；②点P在直线AB下方．【作图依据】_________________________________(3)点D为抛物线对称轴与x轴的交点，点P是抛物线上一点，在图③中找出点P使得∠PAB＝∠DCO.例1题图③例1题解图③全等三角形对应角相等一题多设问二阶例2一题多设问

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A，B

，与y轴交于点C，其中A(－6，0)，B(2，0)，C(0，－3)．例2题图①(1)如图①，求抛物线的解析式；解：(1)将点A、B、C的坐标代入抛物线解析式得，解得

∴抛物线的解析式为y＝

x2＋x－3；例2题图①(2)如图②，在抛物线上是否存在一点P，使得AB为∠PAC的平分线？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；例2题图②【思维教练】要求以AB为∠PAC的平分线的点P的坐标，根据角平分线的性质，作点C关于x轴的对称点C′，先求出直线AC′的解析式，再与抛物线解析式联立，即可得到点P的坐标．【解法提示】∵点C的坐标为(0，－3)，∴点C关于x轴的对称点C′的坐标为(0，3)．如解图①，连接AC′并延长至与抛物线相交，交点为P，设直线AC′的解析式为y＝kx＋b，将A(－6，0)，C′(0，3)代入，

得

解得∴直线AC′的解析式为y＝

x＋3.例2题解图①联立解得∴点P的坐标为(4，5)．(2)存在，点P的坐标为(4，5)；例2题解图①(3)如图③，连接AC，AC上存在一点M，使得∠BMC＝2∠BAC，请直接写出点M的坐标；【思维教练】要求点M的坐标，已知∠BMC＝2∠BAC，可得∠ABM＝∠BAC，即点M在AB的垂直平分线上，可得点M的横坐标，代入AC所在直线解析式，即可求解．例2题图③【解法提示】如解图②，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接AC，BM.∵∠BMC＝2∠BAC，∠BMC＝∠BAC＋∠ABM，∴∠ABM＝∠BAC，∴AM＝BM.∵MN⊥AB，∴AN＝BN，∴点M的横坐标为

＝－2.例2题解图②设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将A(－6，0)，C(0，－3)代入，

∴直线AC的解析式为y＝－

x－3.将x＝－2代入y＝－

x－3中得，y＝－2，∴点M的坐标为(－2，－2)．例2题解图③(3)点M的坐标为(－2，－2)；(4)如图④，在抛物线上是否存在一点E，使得∠EBA＝∠OCA？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由；例2题图④【思维教练】要求点E的坐标，已知∠EBA＝∠OCA，过点E作EH⊥x轴于点H，则△HBE∽△OCA，设点E的坐标，代入比例关系可列方程求解．【解法提示】设点E的坐标为(t，

t2＋t－3)，如解图③，过点E作EH⊥x轴于点H，连接EB，AC，∴H(t，0)．∵∠EBA＝∠OCA，∠EHB＝∠AOC＝90°，∴△HBE∽△OCA，

例2题解图③EH解得t1＝2，t2＝－14，当t＝2时，

t2＋t－3＝0，不符合题意，舍去，当t＝－14时，t2＋t－3＝32，∴E(－14，32)．(4)存在，点E的坐标为(－14，32)；例2题解图③EH(5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点F，使得∠FAC＋∠FCA＝90°？若存在，直接写出点F的坐标；如不存在，请说明理由；例2题图⑤【思维教练】要求点F的坐标，已知∠FAC＋∠FCA＝90°可得∠AFC＝90°，则F在以AC为直径的圆K上，设点F的坐标，根据KF＝

AC列方程即可求解．【解法提示】如解图④⑤，∵A(－6，0)，B(2，0)，∴对称轴为直线x＝－2，设点F的坐标为(－2，m)∵∠FAC＋∠FCA＝90°，∴∠AFC＝90°.∴F在以AC为直径的圆上．

∵A(－6，0)，C(0，－3)，∴圆心K的坐标为(－3，)．例2题解图④例2题解图⑤(5)存在．点F的坐标为(－2，)或(－2，)；∵KF＝

AC，KF2＝(－2＋3)2＋(m＋)2，AC2＝62＋32＝45，∴(－2＋3)2＋(m＋)2＝×45，解得m1＝

，m2＝

，∴点F的坐标为(－2，)或(－2，)．例2题解图④例2题解图⑤(6)如图⑥，若点Q在y轴上，点G为该抛物线的顶点，且∠GQA＝45°.请直接写出点Q的坐标．例2题图⑥【思维教练】要求点Q的坐标，已知点Q在y轴上，点G为该抛物线的顶点，且∠GQA＝45°，可得点Q为以AG为弦，AG所对圆心角是90度的圆与y轴的交点，设圆心为R，过点R作x轴的垂线交x轴于点M，交过点G与x轴的平行线于点N，证明△AMR≌△RNG(AAS)，直接写出点R坐标，利用圆的性质即可求解．【解法提示】设△GAQ的外接圆圆心为R，如解图⑥，∵∠GQA＝45°，∴∠ARG＝2∠GQA＝90°，过点R作x轴的垂线交x轴于点M，交过点G与x轴的平行线于点N，连接GN，设点R(x，y)，G(－2，－4)则AM＝x＋6，RM＝－y，RN＝y＋4，GN＝x＋2，例2题解图⑥∵∠MRA＋∠GRN＝90°，∠GRN＋∠RGN＝90°，∴∠RGN＝∠ARM，又∵∠AMR＝∠RNG＝90°，RA＝RG，∴△AMR≌△RNG，∴AM＝RN，MR＝GN，例2题解图⑥∴点R(－2，0)，则RA＝－2－(－6)＝4，设点Q(0，m)，则RQ＝RA＝4，即m2＋4＝16，解得m＝±2，∴Q的坐标为(0，2)或(0，－2)．(6)Q的坐标为(0，2)或(0，－2)．例2题解图⑥综合提升三阶1.如图，二次函数y＝－

x2＋bx＋c的图象交x轴于A(－3，0)，

B(4，0)两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC.第1题图

解：(1)将A(－3，0)，B(4，0)代入二次函数表达式

y＝－

x2＋bx＋c中，∴二次函数的表达式为y＝－

x2＋

x＋4；(1)求该二次函数的表达式；第1题图

(2)∵点A(－3，0)，C(0，4)，∴OA＝3，OC＝4.∵表达式为y＝

x2＋

＋4；

当x＝0时，y＝4∴C(0，4)，∴OC＝4.∴S△AOC＝

OA·OC＝×3×4＝6，∵B(4，0)，∴BO＝4，(2)当点P在直线BC下方时，连接OP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P的坐标；第1题图

P1P2m∵B(4，0)，∴BO＝4，设点P到x轴的距离为h，∵S△BOP＝2S△AOC，∴×4·h＝2×6，解得h＝6，∵点P在直线BC的下方，∴如解图①，作直线OB的平行线m，使直线m到直线OB的距离h等于6，与抛物线的交点即为所求的点P.即y＝－6，则y＝－

x2＋

x＋4＝－6，解得x1＝－5，x2＝6，∴点P的坐标为(－5，－6)或(6，－6)；第1题图

P1P2m(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得∠AQC＝∠ABC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．(3)存在，如解图②，∵点B(4，0)，C(0，4)，A(－3，0)，∴∠ABC＝45°，AC＝5，∵∠AQC＝∠ABC，∴点Q是△ABC的外接圆M与抛物线对称轴的交点Q、Q′，连接AM并延长，交

M于点D，则∠D＝∠ABC＝45°，第1题解图②∵AD是

M的直径，∴∠ACD＝90°，∴AD＝

＝5，连接BM，设对称轴交x轴于点E，在Rt△BME中，BE2＋ME2＝MB2，由(1)得抛物线的对称轴为直线x＝

，∴OE＝

，∴BE＝4－

＝

∴()2＋ME2＝()2，解得ME＝(负值已舍去)，第1题解图②∴QE＝MQ＋ME＝

，EQ′＝MQ′－ME＝

，∴点Q的坐标为(，)或(，)．

第1题解图②2.在平面直角坐标系中，抛物线y＝

x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝

x－2.第2题图(1)∵点B，C在直线y＝

x－2上，当x＝0时，y＝－2；当y＝0时，x＝4，∴点B(4，0)，点C(0，－2)．∵点B，C在抛物线y＝

x2＋bx＋c上，∴∴抛物线的解析式为y＝

x2－

x－2；(1)求抛物线的解析式；第2题图(2)如图①，点M在线段BC上，设点M的横坐标为t，过点M作y轴的平行线，过点C作x轴的平行线，两条平行线相交于点N，将△MCN沿MC翻折得到△MCN′，当点N′落在线段AB上时，求此时t的值；第2题图(2)如解图①，当点N′落在AB上时，设直线NM与x轴交于点Q.∵点M在线段BC上，且点M的横坐标为t，OC＝2，∴点M的纵坐标为

t－2，CN＝t.∴由折叠的性质得CN′＝CN＝t，N′M＝NM＝

t－2－(－2)＝

t，QM＝2－

t.∴ON′＝.易证△ON′C∽△QMN′，∴∴

第2题解图①(3)如图②，点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC于点Q，当△CPQ中的某个角恰好为2∠ABC时，请直接写出点P的横坐标．【解法提示】如解图②，过点P作PR⊥y轴，垂足为R，延长PR交BC的延长线于点G.当∠QCP＝2∠ABC时，∠QCP＝2∠BGP，∴∠CPR＝∠G＝∠ABC，∴tan∠CPR＝tan∠ABC，∴＝

＝.第2题解图②设点P(x，x2－

x－2)，则PR＝x，CR＝－2－(x2－

x－2)＝－

x2＋

x.∴＝

，解得x＝0(舍去)或x＝2.∴点P的横坐标为2；如解图③，当∠CPQ＝2∠ABC时，令

y＝

x2－

x－2＝0，解得x＝－1或x＝4(舍去)，第2题解图③∴A(－1，0)．设AB的中点为F，连接CF，则AF＝

，OF＝

，FB＝

，∴tan∠OFC＝

＝

，CF＝

＝.∴FB＝FC，∴∠OFC＝2∠ABC，∴tan∠CPQ＝tan∠OFC＝.设QP＝3k，CQ＝4k，则CP＝5k.∵tan∠QGP＝tan∠OBC，∴＝

＝

，∴GQ＝6k，第2题解图③∴由勾股定理，得GP＝

＝3k，GC＝GQ－CQ＝2k.∵在Rt△GCR中，tan∠CGR＝

，∴GR＝

k，CR＝

k，∴RP＝GP－GR＝3k－

k＝

k，∴

第2题解图③解得x＝0(舍去)或x＝

，∴点P的横坐标为.综上所述，点P的横坐标为2或.第2题解图③(3)点P的横坐标为2或.3.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，且对称轴与抛物线交于点M(－1，4)，与x轴交于点C，直线y＝kx＋d过A、M两点．第3题图解：(1)∵抛物线的顶点为M(－1，4)，∴可设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)2＋4，∵当x＝0时，y＝3，∴3＝a＋4，解得a＝－1，∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)2＋4，即y＝－x2－2x＋3.令y＝－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)，(1)求抛物线及直线AM的表达式；第3题图将A，M两点坐标代入直线y＝kx＋d中，∴直线AM的表达式为y＝2x＋6；第3题图(2)∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，∴∠MAC＝∠DEF.∵MC＝4，AC＝2，∴AM＝

∴cos∠DEF＝cos∠MAC＝

(2)如图①，点E是AM上方抛物线上一动点，过点E作EF⊥AM于点F，EH⊥x轴于点H，交AM于点D，设点E的横坐标为m，请用含m的代数式表示出EF的长度，并写出m的取值范围；第3题图∵点E的横坐标为m∴E(m，－m2－2m＋3)，D(m，2m＋6)，∴DE＝－m2－2m＋3－(2m＋6)＝－m2－4m－3，∴EF＝DE·cos∠DEF＝(－m2－4m－3)＝－(m＋2)2＋.∵点E是AM上方抛物线上一点，∴m的取值范围为－3＜m＜－1；第3题图(3)在(2)的条件下，当EF取最大值时，如图②，在y轴上取一点Q，连接AQ，EQ，当∠AQE最大时，求点Q的坐标．当P与y轴相切时，∠AQE最大，连接PA，PE，PQ，则PA＝PE＝PQ，且PQ⊥y轴，由(2)得，EF＝－(m＋2)2＋

，∵－<0，－3<m<－1，∴当m＝－2时，EF取得最大值，此时点E的坐标为(－2，3)，第3题图第3题解图(3)如解图，连接AE，作△AEQ的外接圆

P，设点P的坐标为(x，y)，则PA2＝(x＋3)2＋y2，PE2＝(x＋2)2＋(y－3)2，PQ2＝x2，解得y＝9－2或y＝9＋2(不符合题意，舍去)，∴点Q的坐标为(0，9－2)．第3题解图4.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋6交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且OA＝OC＝3OB，连接AC，动点P和动点Q同时出发，点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ，当点P到达点A时，点Q停止运动．第4题图(1)求抛物线的表达式；解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋6交y轴于点C，∴点C(0，6)，∴OC＝6，∵OA＝OC＝3OB，∴OA＝OC＝6，OB＝2，∴A(－6，0)，B(2，0)，第4题图∴抛物线的表达式为y＝－

x2－2x＋6；第4题图将点A、B的坐标代入y＝ax2＋bx＋6中得，(2)求S△CPQ的最大值及此时点P的坐标；(2)由A(6，0)，C(0，6)得直线AC的表达式为y＝x＋6，∵OA＝OC，则∠ACO＝45°，设点P的运动时间为t，由题意得PC＝2t，CQ＝6－t，则|xP|＝PC·sin45°＝

t，则S△CPQ＝

CQ·|xP|＝×(6－t)×t＝－

t2＋3t＝－(t－3)2＋

，第4题图当t＝3时，|xp|＝3，∵点P在第二象限，∴xp＝－3，∴yP＝6－3，故S△CPQ的最大值为

，此时点P的坐标为(－3，6－3)；∵－

＜0，∴当t＝3时，S△CPQ有最大值，其最大值为

，第4题图(3)点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得∠ACM＝15°？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．(3)存在．分两种情况讨论：①如解图①，当点M在AC上方时，过点M作ME⊥x轴于点E，MF⊥y轴于点F，∵OC＝OA，∴∠ACO＝45°，∵∠ACM＝15°，∴∠OCM＝60°，第4题解图①第4题图设点M(m，－

m2－2m＋6)(－6＜m＜0)，在Rt△MCF中，∵CF＝

，∴CF＝

MF＝－

m，∴OF＝OC－CF＝6＋