比例线段和相似三角形的判定

授课教案辅导课程：比例线段和相似三角形的判定教学目标：掌握比例的性质、黄金分割和平行线分线段成比例、相似三角形的判定教学重难点：比例的性质、黄金分割和平行线分线段成比例、相似三角形的判定比例线段题型一：比例性质例1．〔2016﹒兰州模拟〕假设a：b＝2：3，那么以下各式中正确的式子是〔〕A．2a＝3bB．3a＝2bC．EQ\F(b,a)＝\F(2,3)D．EQ\F(a－b,b)＝\F(1,3)例2．〔2016﹒泰州二模〕EQ\F(a,b)＝\F(5,13)，那么EQ\F(a－b,a＋b)的值是〔〕A．EQ－\F(2,3)B．EQ－\F(3,2)C．EQ－\F(9,4)D．EQ－\F(4,9)例3．〔2016春﹒威海期末〕以下结论中，错误的选项是〔〕A．假设EQ\F(a,4)＝\F(c,5)，那么EQ\F(a,c)＝\F(4,5)B．假设EQ\F(a－b,b)＝\F(1,6)，那么EQ\F(a,b)＝\F(7,6)C．假设EQ\F(a,b)＝\F(c,d)＝\F(2,3)〔b－d≠0〕，那么EQ\F(a－c,b－d)＝\F(2,3)D．假设EQ\F(a,b)＝\F(3,4)，那么a＝3，b＝4例4．〔2016春﹒槐荫区期中〕如果mn＝ab，那么以下比例式中错误的选项是〔〕A．EQ\F(a,m)＝\F(n,b)B．EQ\F(a,n)＝\F(m,b)C．EQ\F(m,a)＝\F(n,b)D．EQ\F(m,a)＝\F(b,n)例5．〔2015﹒泗洪县校级模拟〕如果EQ\F(x＋y,y)＝\F(7,4)，那么EQ\F(x,y)的值是〔〕A．EQ\F(3,4)B．EQ\F(2,3)C．EQ\F(4,3)D．EQ\F(3,2)例6．〔2015﹒抚州校级模拟〕3x＝4y〔x≠4〕，那么以下各式不成立的是〔〕A．EQ\F(x,3)＝\F(y,4)B．EQ\F(x＋4,4)＝\F(y＋3,3)C．EQ\F(x＋y,4＋3)＝\F(x,4)D．EQ\F(4－x,x)＝\F(3－y,y)例7．〔2015秋﹒莘县期末〕假设EQ\F(a,5)＝\F(b,7)＝\F(c,8)，且3a－2b＋c＝3，那么2a＋4b－3c的值是〔〕A．14B．42C．7D．EQ\F(14,3)例8．〔2015秋﹒邢台校级期末〕假设EQ\F(x－2y,3y－x)＝\F(2,3)，那么EQ\F(y,x)为〔〕A．EQ\F(5,12)B．EQ\F(12,5)C．EQ\F(7,12)D．EQ－\F(5,12)例9．〔2015秋﹒曹县期末〕假设a：b＝1：2，b：c＝4：6，那么a：b：c＝〔〕A．1：2：3B．1：2：4C．1：2：6D．1：4：6例10．〔2015秋﹒深圳期末〕EQ\F(a,b)＝\F(c,d)＝\F(e,f)＝\F(1,3)〔b＋d＋f≠0〕，那么EQ\F(a＋c＋e,b＋d＋f)＝〔〕A．EQ\F(1,4)B．EQ\F(1,3)C．EQ\F(1,2)D．EQ\F(2,3)例11．〔2015秋﹒简阳市校级期中〕假设EQ\F(a＋b,c)＝\F(b＋c,a)＝\F(c＋a,b)＝k，那么k的值为〔〕A．2B．－1C．2或－1D．不存在例12．〔2015秋﹒宜宾校级期中〕，EQ\F(a,b)＝\F(c,d)＝\F(e,f)＝2，那么EQ\F(a－3c＋5e,b－3d＋5f)＝〔〕A．1B．3C．2D．5例13．〔2015秋﹒栾城县期中〕：EQ\F(a,b)＝\F(c,d)＝\F(e,f)＝4，且a＋c＋e＝8，那么b＋d＋f等于〔〕A．4B．8C．32D．2例14．〔2014﹒甘肃模拟〕假设EQ\F(a,b＋c)＝\F(b,c＋a)＝\F(c,a＋b)＝k，那么k的值是〔〕A．EQ\F(1,2)B．－1C．EQ\F(1,2)或－1D．EQ\F(3,2)例15．〔2015秋﹒台州校级月考〕阅读以下解题过程，然后解题：题目：EQ\F(x,a－b)＝\F(y,b－c)＝\F(z,c－a)〔a、b、c互不相等〕，求x＋y＋z的值．解：设EQ\F(x,a－b)＝\F(y,b－c)＝\F(z,c－a)＝k，那么x＝k〔a－b〕，y＝k〔b－c〕，z＝k〔c－a〕，∴x＋y＋z＝k〔a－b＋b－c＋c－a〕＝k﹒0＝0，∴x＋y＋z＝0．依照上述方法解答以下问题：a，b，c为非零实数，且a＋b＋c≠0，当EQ\F(a＋b－c,c)＝\F(a－b＋c,b)＝\F(－a＋b＋c,a)时，求EQ\F((a＋b)(b＋c)(c＋a),abc)的值．例16．〔2013秋﹒雁江区期中〕设a，b，c是△ABC的三条边，且EQ\F(a－b,b)＝\F(b－c,c)＝\F(c－a,a)，判断△ABC为何种三角形，并说明理由．题型二：比例线段例1．以下各组中的四条线段成比例的是〔〕A．a＝1，b＝3，c＝2，d＝4B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10C．a＝2，b＝4，c＝3，d＝6D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1例2．〔2015秋﹒成都期末〕以以下长度〔同一单位〕为长的四条线段中，不成比例的是〔〕A．2，5，10，25B．4，7，4，7C．2，EQ\F(1,2)，EQ\F(1,2)，4D．EQ\R(,2)，EQ\R(,5)，EQ2\R(,5)，EQ5\R(,2)例3．〔2015秋﹒蚌埠期中〕a＝1，EQb＝\F(\R(,5)－1,2)，EQc＝\F(3－\R(,5),2)，那么〔〕A．a是b、c的比例中项B．c是a、b的比例中项C．b是a、c的比例中项D．1是a、b、c的第四比例项例4．〔2015秋﹒扬州校级月考〕线段a＝4，b＝9，线段x是a，b的比例中项，那么x等于〔〕A．6B．6或－6C．－6D．36例5．〔2015秋﹒萧山区月考〕三个数2，EQ\R(,2)，4．如果再添加一个数，就得到这四个数成比例了，那么添加的数是〔〕A．EQ2\R(,2)B．EQ2\R(,2)或EQ\F(\R(,2),2)C．EQ2\R(,2)，EQ4\R(,2)或EQ8\R(,2)D．EQ2\R(,2)，EQ\F(\R(,2),2)或EQ4\R(,2)题型三：黄金分割例1．〔2016﹒威海〕如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，那么以下结论错误的选项是〔〕A．EQ\F(BD,BC)＝\F(\R(,5)－1,2)B．AD，AE将∠BAC三等分C．△ABE≌△ACDD．EQS\S\DO(△ADH)＝S\S\DO(△CEG)例2．〔2016﹒山西〕宽与长的比是EQ\F(\R(,5)－1,2)〔约0.618〕的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，那么图中以下矩形是黄金矩形的是〔〕A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH例3．点P是线段AB的黄金分割点〔AP＞PB〕，AB＝4，那么AP的长是〔〕A．EQ2\R(,5)－2B．EQ2－\R(,5)C．EQ2\R(,5)－1D．EQ\R(,5)－2例4．〔2016春﹒龙口市期末〕长度为a的线段AB上有一点C，并且满足EQAC\S\UP6(2)＝AB﹒BC，那么AC的长为〔〕A．EQ\F(\R(,5)＋1,2)aB．EQ\F(\R(,5)－1,2)aC．EQ〔\R(,5)＋1〕aD．EQ〔\R(,5)－1〕a例5．〔2016春﹒威海期末〕如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AD、AE将∠BAC三等分交边BC于点D，点E，那么以下结论中错误的选项是〔〕A．EQ\F(BD,DE)＝\F(\R(,5)－1,2)B．点D是线段BC的黄金分割点C．点E是线段BC的黄金分割点D．点E是线段CD的黄金分割点例6．〔2015﹒建湖县校级模拟〕如图，点C是线段AB的黄金分割点〔AC＞BC〕，那么以下结论中正确的选项是〔〕A．EQAB\S\UP6(2)＝AC\S\UP6(2)＋BC\S\UP6(2)B．EQBC\S\UP6(2)＝AC﹒BAC．EQ\F(BC,AC)＝\F(\R(,5)－1,2)D．EQ\F(AC,BC)＝\F(\R(,5)－1,2)例7．〔2015秋﹒东明县期末〕爱美之心人皆有之，特别是很多女士，穿上高跟鞋后往往会有很好的效果，事实上，当人体的下半身长度与身高的比值接近0.618时，会给人以美感，某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，为了尽可能到达好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为〔〕A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm例8．〔2015秋﹒周口期末〕如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB交AB于点D，假设CA＝4，那么CB的长是〔〕A．EQ2\R(,5)＋2B．EQ\R(,5)＋1C．EQ\R(,5)－1D．EQ2\R(,5)－2例9．〔2015春﹒威海期末〕如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC＝2，BD平分∠ABC交AC于点D，那么AD等于〔〕A．EQ\R(,5)－1B．EQ\F(4,3)C．1D．EQ\F(\R(,5)－1,2)例10．〔2015秋﹒下城区期中〕我们把顶角为36°的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，在黄金三角形ABC中，EQ\F(BC,AB)＝\F(AB,AB＋BC)，假设AB＝10，那么BC的长为〔〕A．EQ15－5\R(,5)B．EQ5\R(,5)－5C．EQ\F(15,2)D．EQ3\R(,5)例11．〔2015秋﹒宁德校级期中〕我们将宽与长的比是黄金比的矩形称为黄金矩形．矩形ABCD是黄金矩形且长AB＝10，那么宽BC为〔〕A．EQ2\R(,5)－2B．EQ5\R(,5)－5C．EQ15－5\R(,5)D．0.618例12．〔2015春﹒达县期中〕如图，点C是线段AB的黄金分割点，那么以下各式正确的选项是〔〕A．EQ\F(AC,BC)＝\F(AB,AC)B．EQ\F(BC,AB)＝\F(AC,BC)C．EQ\F(AC,AB)＝\F(AB,BC)D．EQ\F(BC,AB)＝\F(AC,AB)例13.〔2015秋﹒深圳校级月考〕线段AB，点C是它的黄金分割点〔AC＞BC〕．设以AC为边的正方形的面积为EQS\S\DO(1)，以AB、CB分别为长和宽的矩形的面积为EQS\S\DO(2)，那么EQS\S\DO(1)与EQS\S\DO(2)关系正确的选项是〔〕A．EQS\S\DO(1)＞S\S\DO(2)B．EQS\S\DO(1)＝S\S\DO(2)C．D．不能确定例14．〔2014﹒大丰市模拟〕阅读理解：如图1，点C将线段AB分成两局部，假设EQ\F(AC,AB)＝\F(BC,AC)，那么点C为线段AB的黄金分割点．某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，而给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两局部，这两局部的面积分别为EQS\S\DO(1)、EQS\S\DO(2)，如果EQ\F(S\S\DO(1),S)＝\F(S\S\DO(2),S\S\DO(1))，那么称直线l为该图形的黄金分割线．问题解决：如图2，在△ABC中，假设点D是AB的黄金分割点．〔1〕研究小组猜测：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？〔2〕请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？〔3〕研究小组探究发现：过点C作直线交AB于E，过D作DF∥CE，交AC于F，连接EF〔如图3〕，那么直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．题型四：平行线分线段成比例例1．如下图，△ABC中假设DE∥BC，EF∥AB，那么以下比例式正确的选项是〔〕A．EQ\F(AD,DB)＝\F(DE,BC)B．EQ\F(BF,BC)＝\F(EF,AD)C．EQ\F(AE,EC)＝\F(BF,FC)D．EQ\F(EF,AB)＝\F(DE,BC)例2．〔2016﹒海曙区一模〕如图，在6×6的正方形网格中，连结两格点A，B，线段AB与网格线的交点为M、N，那么AM：MN：NB为〔〕A．3：5：4B．1：3：2C．1：4：2D．3：6：5例3．〔2016﹒天桥区三模〕如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，假设DB＝4，AB＝6，BE＝3，那么EC的长是〔〕A．4B．2C．EQ\F(3,2)D．EQ\F(5,2)例4．〔2016﹒吴兴区一模〕如图，AB∥CD∥EF，那么以下结论一定正确的选项是〔〕A．EQ\F(BC,CE)＝\F(DF,AD)B．EQ\F(CD,EF)＝\F(BC,BE)C．EQ\F(CD,EF)＝\F(AD,AF)D．EQ\F(AD,DF)＝\F(BC,CE)例5．如图，EQl\S\DO(1)∥l\S\DO(2)∥l\S\DO(3)，根据“平行线分线段成比例定理”，以下比例式中正确的选项是〔〕A．EQ\F(AD,BC)＝\F(CE,DF)B．EQ\F(AD,BE)＝\F(BC,AF)C．EQ\F(AB,CD)＝\F(CD,EF)D．EQ\F(AD,BC)＝\F(DF,CE)例6．〔2016春﹒莱芜月考〕如图，MN∥PQ，那么满足EQx＝\F(bc,a)的图形是〔〕A．B．C．D．例7．〔2016﹒济宁〕如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么EQ\F(BC,CE)的值等于__________．例8．〔2016﹒黄浦区一模〕如图，△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，点F是DE延长线上的点，EQ\F(AD,BD)＝\F(DE,EF)，联结FC，假设EQ\F(AE,AC)＝\F(2,3)，求EQ\F(AD,FC)的值．题型五：相似三角形的判定例1．〔2016﹒盐城〕如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有〔〕A．0个B．1个C．2个D．3个例2．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足以下条件中的〔〕A．EQ\F(AC,AD)＝\F(AB,AE)B．EQ\F(AC,AD)＝\F(BC,DE)C．EQ\F(AC,AD)＝\F(AB,DE)D．EQ\F(AC,AD)＝\F(BC,AE)例3．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE＝∠B，那么以下说法中，错误的选项是〔〕A．△ADE∽△ABCB．△ADE∽△ACDC．△ADE∽△DCBD．△DEC∽△CDB例4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，以下条件中不能判断△CAB∽△CED的是〔〕A．∠CDE＝∠BB．∠CED＝∠AC．EQ\F(CD,CE)＝\F(CB,CA)D．EQ\F(CD,CA)＝\F(CE,AB)例5．〔2016﹒常州模拟〕如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，那么这样的P点共有〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个例6．〔2016﹒新都区模拟〕如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．假设OA：OC＝OB：OD，那么以下结论中一定正确的选项是〔〕A．①与②相似B．①与③相似C．①与④相似D．②与④相似例7．〔2016﹒安徽模拟〕将三角形纸片〔△ABC〕按如下图的方式折叠，使点C落在AB边上的点D，折痕为EF．AB＝AC＝3，BC＝4，假设以点B、D、F为顶点的三角形与△ABC相似，那么CF的长度是〔〕A．2B．EQ\F(12,7)或2C．EQ\F(12,7)D．EQ\F(12,5)或2例8．〔2016春﹒高密市期末〕如图，△ABC中，P为AB上的一点，在以下四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③EQAC\S\UP6(2)＝AP﹒AB；④AB﹒CP＝AP﹒CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是〔〕A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③例9．〔2016春﹒威海期末〕如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥AB，交BC于点E，以下结论中错误的选项是〔〕A．DE平分∠BDCB．△ABC∽△BDC∽△DECC．EQ\F(AD,AB)＝\F(\R(,5)－1,2)D．EQ\F(S\S\DO(△BCD),S\S\DO(△ABD))＝\F(1,2)例10．〔2015﹒大庆模拟〕在△ABC和EQ△A\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)中，以下命题中真命题的个数为〔〕〔1〕假设EQ∠A＝∠A\S\DO(1)，EQ∠C＝∠C\S\DO(1)，那么EQ△ABC∽△A\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)；〔2〕假设AC：EQA\S\DO(1)C\S\DO(1)＝CB：EQC\S\DO(1)B\S\DO(1)，EQ∠C＝∠C\S\DO(1)，那么EQ△ABC∽△A\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)；〔3〕假设EQAB＝kA\S\DO(1)B\S\DO(1)，EQAC＝