初中数学竞方程部分强化练习

初中数学竞方程部分强化练习

学校:___________.姓名：___________班级:_______—考号：_____

一、单选题

1.方程4/-40㈤+51=0的实数解的个数是（）.

A.1B.2C.3D.4

2.方程/_6/_》+6=0的所有根的积是（）.

A.3B.-3C.4D.-6

3.八年级二班的同学参加社区公益活动——收集废旧电池，其中，甲组同学平均每人

收集17个，乙组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个.若这三个小

组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有学生（）人.

A.12B.13C.14D.15

4.已知a,0,Gd都是实数，则下列命题中，错误的是（）.

A.ci1+b2+c2=ab+bc+ca，贝!|a=b=c

B.若0s+方+c，=3abc,则a=b=c

C.若a'+ZZ+c'+d4=2方户+c2d2）,则。二人;。：]

D.若a"++c，+d，=4abcd,则a=0=c=（/

2

5.关于工的方程上7=。仅有两个不同实根，则实数。的取值范围是（）.

x-1

A.a>0B.a>4C.2<。<4D.0<a<4

yjx1-7

6.要使分式2-根-3|有意义,则x的取值范围是（）

■^4

A.x>4B.冗2近且xw5C.x>4且xw5D.4<x<5

7.若实数〃，人满足人"2,（1_"_（1+忆4,则〃5—户=（）

ba

A.46B.64C.82D.128

[xy+xz=255,

8.满足方程组”的正整数组（x,y,z）的组数是（）

[xy+yz=3i

A.3B.2C.1D.0

9.含有绝对值的方程|2X-1-N=2的不同实数解共有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.下列方程是一元高次方程的是()

A.x+3=0B.x2-3x-1=0C.^+^+―=0D./+1=0

x

二、填空题

11.设[可表示不超过尤的最大整数(如此.2]=5,[-5.2]=-6,则方程

[5x+2]=2尤+万解为.

12.整数”，力满足6«〃=9a—106+303,则a+b=.

13.若x为整数，3Vx<200,且V+(x+l)2是一个完全平方数，则整数x的值等于

14.方程3-x=0在实数范围内的解是

15.a,b,c都是正整数，且满足成+bc=3984,ac+bc=1993,则北•的最大值是

16.一项工程，甲、乙两队合作，3^天可以完成；乙、丙两队合作，5；天可以完

成；甲、丙两队合作，4天可以完成.若由这三个队各自单独完成，需要最少的天数

为天.

三、解答题

17.今有浓度为5%,8%,9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60g,60g,47g,现要配制成浓

度为7%的盐水100g.间甲盐水最多可用多少克?最少可用多少克？

18.某商场经营甲、乙两种商品，甲种商品每件进价100元，售价比进价多40%,乙

种商品每件售价160元，售价比进价多!.

(1)求每件甲种商品的售价和每件乙种商品的进价；

(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，花去11120元，求该商场购进乙种商

品多少件？

(3)春节期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠活动：

①不超过2000元，不优惠；

②超过2000元且不超过2500元，九折优惠；

③超过2500元，八折优惠.

按照上述优惠条件，忧忧第一天只购买乙种商品一次性付款1760元，第二天只购买甲

种商品一次性付款2016元，那么这两天忧忧在该商场购买甲、乙两种商品一共多少

件？

19.如果一个四位自然数M的千位数字和百位数字相等，十位数字和个位数字之和为

8,我们称这样的数为“等合数”,例如：对于四位数5562,；5=5且6+2=8,二5562为

“等合数”，又如：对于四位数4432,•••4=4但3+2彳8,所以4432不是“等合数”

⑴判断6627、1135是否是“等合数”，并说明理由;

(2)已知M为一个“等合数”，且M能被9整除.将M的各个数位数字之和记为尸

(M),将M的个位数字与十位数字的差的绝对值记为Q(M),并令G(M)=P

(")xQ(M),当G(M)是完全平方数(0除外)时，求出所有满足条件的

20.已知"?，〃为整数，〃为整数，且满足2>+/?+3帆+〃-1=0，求小，〃的值.

21.2022年中国航天在诸多领域实现重大突破，在全国掀起航天知识学习的浪潮.某

校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分A、B、C三个场馆，且购买2张A

场馆门票和I张B场馆门票共需要140元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共

需要230元.由于场地和疫情原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的

人数，且每一位同学只能选择一个场馆参观.

(1)求A场馆和8场馆门票的单价.

(2)已知C场馆门票每张售价15元，且参观当天有优惠活动；每购买1张A场馆门票就

赠送1张C场馆门票.

①若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门

票所需总金额的最小值.

②若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购

买三种门票共花费了1200元，求所有满足条件的购买方案.

22.甲、乙两人分别从A、8两地同时相向匀速前进，第一次相遇在距A点4km处，

然后继续前进，甲到B地，乙到A地后都立即返回，第二次相遇在距B点2km处，求

4、B两地间的距离.

23.已知X4_5/+8X2_5X+1=0,求x+4的值.

x

24.一列火车长x米，匀速通过300米的隧道，用时25秒，隧道顶部一盏固定的灯在

火车上照了10秒，求火车的长度.

X2-9y2=0

25.解方程组:

x2-2xy+y2=16

参考答案:

1.D

【解析】

【分析】

【详解】

令[%]=加，则x=/%+a,OWa<l,

代入原方程得4(m+a)2-40/n+51=0,

即4a*+Sma+(4m2—40/n+51)=0.

解出a得：&=卫士匹亘.

2

注意到OWctcl,及40加一5120,有

0<-(~2m+V40//7-51)<1,?①

2

由①，0<—2m+V40/W—51<2,SP2m<V40/??-51<2+2m.

JI)7

因〃z>—,4m<40m-51<4+8〃z+4m,

40

3]7

故得4加2-40〃？+5140n—<胆<一,(3)

22

4m2-32m+55>0=>m<—^,m>—.④

22

综合③④，或?■</«<?.

2222

注意到用为整数,知加=2,6,7,8.

、晒公V189>/229。^69

代入可得相应的四个a值,a=-2+---,-6+-----,-7+-----，-8+------

2222

71897229^269

可得原方程有四个实数解:晒

,2222

2.D

【解析】

【分析】

【详解】

解原方程化为（丁-6/）-（》-6）=0,

答案第1页，共15页

即X2(X-6)-(X-6)=0,

即*-6)卜2-1)=0,

BP(x-6)(x-l)(x+l)=0,

r.x,=6,%=1,%=7,从而玉々彳3=-6.故选。.

3.A

【解析】

【分析】

【详解】

解选A.理由：设甲、乙、丙三个小组的学生人数分别为x,y,z.由题意得

17x+20y+21z=233.

因233=17x+20y+21z>17x+17y+17z,贝lj

1717

又233=17x+20y+21z<21x+21y+21z,则

233一2

x+y+z>-----=11—

2121

212

于是，11—<x+y+z<l3—.

2117

由于x,y,z均为正整数，则

x+y+z=12或x+y+z=13.

(i)当x+y+z=13时，由方程组

x+y+z=13,

,“；”。消去X，得3y+4z=12,此方程无正整数解.

1lx+20y+21z=233

(ii)当x+y+z=12时，由方程组

1vZ；：；£'1Z=233消去Z'得4f=9此方程有正整数解.

故x+y+z=12,即三个小组共有学生12人.

x+y+z=12,」

实际上，由于x,»z均为正整数，并结合方程组可解得

4x+y=19,

(x,y,z)=(3,7,2),(4,3,5).

4.C

答案第2页，共15页

【解析】

【分析】

【详解】

对A,因2(/+b2+c2)-2(ab+bc+ca)=0,

即(a-。)？+(/>-c)2+(c-a)2=0,所以a-8=b-c=c—a=0,即a=b=c,故A成立.

对B,因<?+/?+<?-3aZ?c=(a+6+c)(a2+b2+c2+ab+bc+ca)

=—{a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]=0,

所以a+8+c=0,或a=6=c,不一定有a=/?=c,故B不成立.

对C,H+/j4+c4+J4-2a2b2-2c2d2=0,BP(a2-b2)2+(c2-d2)2=0,

所以/=6,c2=d2,即a=±"c=±d,不一定有q=b=c=d,故C不成立.

对D,因(a,-2a2b2+b4)+(c4-2c2d2+d4)+2a2b2+2c2d?-4abcd=0,

即(“2一万)2+d-d2)2+2(〃-cd)2=。^a2=b2,c2=d2,ab=cd,

由此可推出a=6=c="或a=-6=c=-4,不一定有a=b=c=4成立，故D不成立，所

以本题应选B、C、D.

(注：若限定4c,d都为正数，则B和D成立，答案应选C.)

5.D

【解析】

【分析】

【详解】

2

当。<0时，无解；当。=0时，x=0,不合题意；当。>0时，原方程化为工=±a,整理

x-1

得

f-ov+a=0①或f+cix-a=0@.

因为②的判别式与=+4a>0,方程②必有两个不同实根.

而原方程只有两个不同实根，故方程①无实根，所以它的判别式A=a2-4a>0,解得

0<a<4.

故应选D.

答案第3页，共15页

6.C

【解析】

【分析】

【详解】

X2-7>0[x<-V7WU>V7

依题意得，|x-3|x2=,xxl且xw5,nx>4且x*5.故选C.

x>4x>4

7.C

【解析】

【分析】

【详解】

由条件一£±<=4得a—b-2/-»2-446+/—b3=o，

ba

即(〃一人)一+4"]+(。-/?)[(〃―/?)2+3〃/?]=0,

y^a-b=2,所以2—2[4+4〃司+2[4+3。可=0,解得"=1.所以/+"二①一勿？+2"=6,

cP-/?=①-力[(〃-与2+3”人]=14,a5-h5=(a2+fe2)(a3a2b2(a-A)=82.

8.B

【解析】

【分析】

【详解】

理由：由原方程组可得匕y+z：=q：?®

[y(x+z)=3L?②

因为x,y,z都是正整数，且31是质数，所以由②，可得「'=1'③

由③得，l<x,z<30.

由①得，x(l+z)=3x5xl7,④

则x可取1,3,5,15,17,此时z分别为254,84,50,16,14.

结合③，只有》=15*=16;》=17*=14两组解满足.

9.B

【解析】

答案第4页，共15页

【分析】

【详解】

解若则原方程化为2x-l-x=2,解出x=3；若则原方程化为

22

-（2JC-1）-X=2,

解出x=-g这与0<x<g矛盾，方程无解；当x40时，原方程化为-（2x-l）+x=2,解出

x=-l.

综上知原方程有两个实数解：x=3或x=-1.故选艮

10.D

【解析】

【分析】

根据一元高次方程的定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方程，

即可得出答案.

【详解】

解：这四个方程都只含一个未知数，

,:A,B中未知数的项的次数小于等于2,

.'A,B选项不是一元高次方程，不符合题意，

中分母中含有未知数，

，是分式方程，

；.C选项不符合题意，

•♦•D符合一元高次方程定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方

程，

.••D选项符合题意，

故选：D.

【点睛】

本题考查了一元高次方程的定义，注意几元几次方程都首先是整式方程.

11.--

4

【解析】

略

答案第5页，共15页

12.15

【解析】

【分析】

【详解】

原方程可化为(3。+5)(26-3)=288,

即(3a+5)(26—3)=2,3?.

因为“，。均为整数，所以3a+5,2b-3亦为整数.

[3

又因为3a+5不能被3整除，2〃-3不能被2整除.所以，只有,

解得“=9,6=6.

故a+Z?=9+6=15.

13.20或119

【解析】

【分析】

【详解】

设/+*+1『=凡则(2x+l)2=2j_l.

令“=令+1,则“2—21>2=-1.

其为佩尔方程，其基本解为(%%)=(1』).

其全部正整数解可由""+匕=(旬+得到.

其中，3,“)=(7,5),3,岭)=(41,29),(%,%)=(239,169),%>400.

故犬=20或119.

14.X/=0,X2=-l,X3=l.

【解析】

【分析】

利用因式分解法解方程即可.

【详解】

解：x3-x=0,

x(x2-1)=0,

答案第6页，共15页

x(x+1)(x-1)=0,

x=0或x+l=0或x-1=0,

解得：XI—0,X2—-1,X3—1,

故答案为：Xl=o,X2=-\,X3=1.

【点睛】

本题考查了解高次方程，能把解高次方程转化成解低次方程是解此题的关键.

15.3982

【解析】

【分析】

【详解】

由条件，得

b(a+c)=3984,①

c(a+b)=1993.②

因为1993是质数，所以由②，得c=l,a+b=1993.

将6=1993—a代入①，得(1993—a)(a+l)=3984,

即/-1992〃+1991=0,

解得q=1g=1991.

从而得到a=1992也=2.

所以两组解是：q=1,々=1992,q=1吗=1991也=2,q=1.

因此，品的最大值是1991x2x1=3982.

16.6

【解析】

【分析】

设甲乙丙各自的工作效率为a,b,c,先求出三队合作的工作效率，减去两队合作的工作效

率，即可解得a,b,c的大小，据此解题.

【详解】

解：设甲乙丙各自的工作效率为a,b,c,则人+。=(1+1+9)+2=!1*!=整

lo36436236

Qa+b=—

18

答案第7页，共15页

_135_3_1

-C一五一布一石一五

•••丙独自完成需要12天

7

Q匕

=一

+C36

1371

=一=

3-6--6-

36

甲独自完成工程需要6天，

Qa+c二:

,1311

3649

乙独自完成工程需要9天，

最少的天数为6天，

故答案为：6.

【点睛】

本题考查工程问题，求出三队合作的工作效率是本题的关键.

17.甲种盐水最多可用49g,最少可用35g

【解析】

【分析】

【详解】

x+y+z=100

5%x+8%y+9%z=100x7%

设3种盐水应分别取xg，yg，zg,-0<x<60

04y460

0<z<47

y=200-4x0M200-4x460

解得所以

z=3x-1000<3x-100<47

解得354x449.

答：甲种盐水最多可用40g,最少可用35g.

18.(1)每件甲种商品的售价是140元，乙种商品的进价是128元

(2)该商场购进乙种商品40件

(3)这两天忧忧在该商场购买甲乙两种商品一共27或29件

【解析】

答案第8页，共15页

【分析】

（1）由甲的售价比进价多40%,乙的售价比进价多!，分别计算甲的售价，乙的进价即

可解题；

（2）设乙种商品x件，根据购进甲、乙两种商品共100件，花去11120元，列方程、解方

程即可解题；

（3）分两种情况讨论.

（1）

解：甲售价：100x（1+40%）=140（元）

乙进价：160+（1+；）=128（元）

答：每件甲种商品的售价是140元，乙种商品的进价是128元.

（2）

设乙种商品x件，

100x（100-x）+128x=11120

x=4O

答：该商场购进乙种商品40件.

（3）

第一天：17604-160=11（件）

第二天：2016+90%+140=16（件）或2016+80%+140=18（件）

11+16=27（件）或11+18=29（件）

答：这两天忧忧在该商场购买甲乙两种商品一共27或29件.

【点睛】

本题考查一元一次方程的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

19.（1）6627不是“等合数”，1135是“等合数”，理由见解析

⑵5580,5508,5535,5553

【解析】

【分析】

（1）根据“等合数”的定义判断，即可求解；

（2）设M的千位和百位数为m十位数为4则个位数为8北，其中。为0〈把9的整数，

答案第9页，共15页

匕为叱后8的整数，可得P(M)=2〃+8,。(M)=|8-明，从而得到G(M)=

(2〃+8冈8-羽，0<|8-2*|<8,再由“能被9整除.可得2a+8能被9整除,从而得到

。=5,再由G(M)是完全平方数(0除外)可得到|8-力|=8或2,即可求解.

(1)

解：6627不是“等合数”，1135是“等合数”，理由如下：

V6=6,但2+7拜，

.♦.6627不是“等合数”,

V1=1且3+5=8,

•*.1135是“等合数”；

(2)

解：为一个“等合数”，

•••可设M的千位和百位数为“，十位数为b,则个位数为8»,其中“为0<好9的整数，b

为g后8的整数，

：.P(M)=a+a+Z>+8-b=2“+8,Q(M)=|8-b-b|=|8-»|,

：.G(A7)=PCM)xQ(M)=(2a+8)x|8-羽，0<|8-2Z?|<8,

能被9整除.

，2〃+8能被9整除，

当2a+8=9时，a=—,

2

当2。+8=18时，a=5,

19

当2〃+8=27时，a=一,

2

当2〃+8二36时，々=14(不合题意，舍去)，

/.a=5,

VG(M)是完全平方数(。除外)，

.•.1耶一明是完全平方数(0除外),

V0<|8-2/?|<8,

.•.|8-第=8或2,

答案第10页，共15页

解得：6=8或0或3或5,

...符合条件的M为5580,5508,5535,5553.

【点睛】

本题主要考查了新定义的应用，含绝对值的方程，不等式组的应用，理解新定义是解题的

关键.

20.加=-1,〃=1或加=-1,〃=—2

【解析】

【分析】

【详解】

以机为主元，得关于机的一元二次方程2加？+3加+/2+”_1=0.

因为加有整数解，所以△=9-8（〃2+"-1）=一8〃2-8〃+1720,

解得屈+屈

44

又〃为整数，所以-

又方程有整数解，则△=-8〃2一8〃+17必为完全平方数，从而〃=-2,1.

当〃=-2或”=1时，代入原方程均有2相2+3m+1=0,

解得叫=-1,色=一；（舍去）.

故帆=—1,〃=1或帆=—1,〃=—2.

21.（1）A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元

（2）①1210元；②所有满足条件的购买方案为：方案一，购买A场馆门票5张，购买8场馆

门票20张，购买C场馆门票10张；方案二，购买A场馆门票10张，购买8场馆门票16

张，购买C场馆门票4张

【解析】

【分析】

（1）设A场馆和B场馆门票的单价分别为x元、）元，根据题意得：①2张A场馆门票的

费用+1张8场馆门票的费用=140元，②3张A场馆门票的费用+2张8场馆门票的费用

=230元，根据等量关系列出方程组，再解方程组即可；

（2）①若购买A场馆门票赠送的C场馆门］票刚好够参观C场馆的同学使用，设购买A场

馆门票。张，此次门票所需总金额为卬元，则参观A场馆的同学有。名，参观C场馆的同

答案第II页，共15页

学有。名，参观8场馆的同学有（40-2"）名，w=50a+40（40-2a）=-30a+1600,又根据

题意要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每一位同学只能选择一个场

馆参观，所以a<40-2a,再结合。是正整数，利用一次函数的性质可求解；

②若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门］票外，还需另外购买部分门票，且总共三种门

票共花费了1200元，设购买A场馆门票〃张，购买C场馆门］票c张，则参观A场馆的同学

有"名，参观C场馆的同学有（〃+c）名，参观B场馆的同学有（40-2〃-c）名，由题意得：

50n+40（40-2n-c）+15c=1200,整理得：c=16-1«,再结合〃、c都是正整数，可求

解.

（1）

解：设A场馆和3场馆门票的单价分别为X元、y元，根据题意，得：

f2x+y=140

13x+2y=230'

fx=50

解方程组，得：..

［y=40

答：A场馆门票的单价为50元，B场馆门］票的单价为40元.

（2）

已知C场馆门票每张售价15元，且参观当天有优惠活动：每购买1张A场馆门票赠送1张

C场馆门票，

①若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，设购买A场馆门票

。张，此次门票所需总金额为w元，则参观A场馆的同学有。名，参观C场馆的同学有。

名，参观8场馆的同学有（40-%）名，

w=50a+40（40—2a）=-30a+1600,

V-30<0,

w随”的增大而减小，

而要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每一位同学只能选择一个场馆

参观，

a<40-2a，

答案第12页，共15页

是正整数，

/.a<13,

；.当a=13时，w取得最小值，

最小值为：^=-30x13+1600=1210,

即此次门票所需总金额的最小值为1210元；

②若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且总共三种门

票共花费了1200元，

设购买A场馆门票〃张，购买C场馆门票c张，则参观A场馆的同学有"名，参观C场馆的

同学有（〃+c）名，参观B场馆的同学有（40-2〃-c）名，由题意得：

50〃+40（40-2"-c）+15c=1200,

整理得：

6

c=16——n,

5

•；”、。都是正整数，

二”是5的倍数，

fn=5[7?=10

满足条件的〃、C有〃、、，，

[c=10[c=4

若及=5、c=10,则〃+c=15,40-2n-c=20；

若“=10、c-4,则〃+c=14,40-2n-c-16,.

所有满足条件的购买方案为：方案一，购买A场馆门票5张，购买B场馆门票20张，购买

C场馆门票10张；方案二，.购买A场馆门票10张，购买5场馆门票16张，购买C场馆

门票4张.

【点睛】

本题主要考查二元一次方程（组）的应用，不定方程等知识，涉及一元一次不等式的应

用，一次函数的性质等知识.第（2）问中②小题