活用导数的定义解题

活用导数的定义解题导数的定义是导数的根本概念之一，是导数的根底，也是学好导数必须扎实掌握的重点。围绕导数的定义产生的试题形形色色，为了让你全面认识这一概念，本文向你展示活用导数的定义解题，也许对你今后有学习会有帮助。请看：1、大小比拟例1、函数的图像如图(5)所示,以下不等关系正确的选项是()(A)(B)(C)(D)解析：根据导数的几何意义,考察函数在点A(2,)以及B(3,)的曲线的斜率，由图可见,过点B的切线的斜率大于过点A的切线的斜率,那么有。另一方面,在这两点的平均变化率为,其几何意义为割线AB的斜率,由图(5)可见,答案应为C。点评：此题借助于导数定义，对“平均变化率”进行了考察，通过“平均变化率”使结论产生，显然，导数的定义在背后产生了作用。2、求极限值例2、f〔3〕＝2，〔3〕＝－2，那么：的值为〔〕.A、0B、2C、8D、6解析：由〔3〕＝－2，可得，于是＝＝＋＝2－＝2－3〔3〕＝8.应选C.点评：此题中将〔3〕＝－2，结合导数的定义产生是解题的关键。有了这个转化，结论快速产生。例3、假设函数在处的导数为A，求。解析：在处的导数为A，即点评：在导数的定义中，增量的形式是多种多样的，但不管选择哪种形式，也必须选择相对应的形式，。3、求某点处的导数值例4、，用导数定义求解析：，，故点评：此题借助导数定义，巧妙的产生了的值。可以说这种求解非常好，就算是以后学了导数的运算法那么及运算公式，这种方法依然少不了。例5、求函数在处的导数解析：==∴=∴点评：此题借助导数定义，巧妙的产生了的值。可以说这种求解非常好，就算是以后学了导数的运算法那么及运算公式，这种方法依然少不了。4、求几何图形的面积例4、〔2006湖南〕曲线y＝和y＝x在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是__________。解析：联立两曲线方程得解得，即交点坐标为〔1，1〕曲线y＝在点〔1，1〕处的切线斜率为：＝，所以在点〔1，1〕处的一条切线方程为：y－1＝－1〔x－1〕，即y＝x－2同理，曲线y＝x在点〔1，1〕处的切线斜率为：，所以在点〔1，1〕处的另外一条切线方程为：y－1＝2〔x－1〕即y＝2x－1所以两条切线方程为：y＝x－2和y＝2x－1，所围成的图象如下图：故S=。点评：此题借助于导数的定义，产生了两切线方程，通过两切线得到了所围成的几何图形，进一步产生了面积。5、求瞬时速度例5、竖直向上弹射一个小球，小球的初速度为100m/s，试求小球何时速度为零。解析：小球向上的位移是初速度引起的位移〔100t〕与重力引起的位移〔〕的合成。所以小球的运动方程为，在t附近的平均变化率为：=故小球的瞬时速度令解得因此，小球被弹射后约10.2s后速度变为0。点评：此题依据导数的定义求得t时刻的瞬时速度，再令求得速度为0的时刻，应注意此题的方法技巧。6、探索性问题例6、设为可导函数且满足，问曲线在点处的切线斜率是否存在？假设存在求在该点的切线斜率；假设不存在，请说明理由.解析：∵为可导函数且,∴,∴.即在点处存在切线斜率,且在点处切线的斜率为点评：此