人教版高中数学选修（1-2）-2.1.1类比推理

选修1-2

2.1.1类比推理（陈昌杰）

一、教学目标

1.核心素养

通过对类比推理的学习，使学生能够进行简单的类比推理，培养学生的逻辑思维能力.

2.学习目标

（1）2.1.1.1了解类比推理的含义；

（2）2.1.1.2能利用类比进行简单的推理.

3.学习重点

了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理.

4.学习难点

类比推理本质的理解，以及如何进行类比推理.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

任务1

阅读教材P22—P29

思考：什么是推理？什么是合情推理？

任务2

什么是类比推理？类比推理有何特点？类比推理有什么作用？

2.预习自测

L下列说法中正确的是（）

A.合情推理就是正确的推理

B.合情推理就是归纳推理

C.归纳推理是从一般到特殊的推理过程

D.类比推理是从特殊到特殊的推理过程

答案：D

2.下列推理正确的是（）

A.把a(O+c)与lg(x+y)类比，则lg(x+y)=lgx+lgy

B.把a(O+c)与sin(x+y)类比，贝Usin(x+y)=sin%+siny

C.把a(O+c)与炉+＞类比，则户+〉=〃+/

D.把a(O+c)与a(8+c)类比，则a(J)-\-c)=ab+ac

答案：D由向量的运算性质知，a-S+c)=al+a-c正确.答案为D

3.立体几何中与平面几何中的三角形做类比对象的是()

A.三棱柱

B.三棱台

C.三棱锥

D.正方体

答案：C

4.类比平面内止三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出止四面体的下列性质，你认

为比较恰当的是()

①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；

②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；

③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等.

A.①

B.③

C.①②

D.①②③

答案：D

(二)课堂设计

现代起重机的挂钩起源于许多动物的爪子

问题探究一类比推理引例

1.仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的.

2.有个人的母亲，笃信佛，一天到晚念“南无阿弥陀佛”.于是有一天，这个人一早起来便喊:

“妈！”母亲答应了他.过一会他又喊：“妈！”母亲又答应了他.可这个人还是没完没了地喊.

母亲终于被喊烦了，便没好气地说：“不在！不在！你烦不烦？”这个人笑着说：“我才喊

了您几声，您就不高兴了.那阿弥陀佛每天不知被您喊多少遍，不知他该怎样发脾气呢！”

提问：这还是归纳推理吗？（类比推理.让学生对照归纳推理的特点作出判断）.

3.火星存在生命吗？这是一个凭空的推断还是科学猜想？

e地球火星

行星、围绕太阳运行、绕轴自转行星、围绕太阳运行、绕轴自转

有大气层有大气层

在一年中有季节的变更在一年中有季节的变更

大部分时间的温度适合地球上某些已知生物

温度适合生物的生存

的生存

有生命存在猜想：可能有生命存在

提问：你能说说这些问题中用到的推理方法的含义吗？

问题探究二类比推理的含义

・活动一什么是类比推理？

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些

特征的推理，称为类比推理（简称类比）.

・活动二类比推理的特点

1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为

基础，类比出新的结果.

2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.

3.类比的结果是猜测性的不一定可靠，单它却有发现的功能.

・活动三如何进行类比推理？

一般步骤：

（1）找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

（2）用一类对象的特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；

（3）检验这个猜想.（结论未必正确）

问题探究三重点难点突破

(1)常见类型：

①由等差数列的某些性质类比到等比数列的某些性质；

②由平面图形的某些性质类比到空间立体图形的某些性质；解决时要从数目、位置关系、

度量等方面入手.

(2)常用类比对象：线一线、面，面一面、体，三角形一四面体，圆一球，边长一边长、面

积，面积一体积，线线角一面面角等.

・活动一由平面图形的某些性质类比到空间立体图形的某些性质

例1：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.

222

猜想：5ABe2=SOAB+SAOC+SOBC

点拔：由三角形向四体的类比，可以实现由平面向空间的类比,线向面的类比，发现新

结论.在直角三角形中有勾股定理，在空间中有没有类似的结论呢?

111

例2.在△ABC中，AB±AC,于。，求证:AD2~^B^+AC2'

在四面体A—BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.

【知识点：类比推理，猜想与证明】

详解：如图右所示，在Rt^ABC中，由射影定理得AD2=BDDC,AB1=BDBC,AC2

=BCDC,

.11BC?BC?

"AD2-BDDC—BCBDDCBC—AB2-AC2'

yL,：BC2=AB2+AC2,

.1-32+3_11

**AD1-AB2AC2-AC7'

猜想：类比A5，AC,ADLBC,猜想在四面体A—BCD中，AB,AC,AD两两垂直,

AE1^BCDE,则＜=4+二+-1V.

AE'AB2AC2AD2

如上图，连接BE交CD于F,连接AR

'：AB±AC,ABLAD,.•.AB,平面ACD.

：ARu平面ACD,：.AB±AF.

在放△A5R中，AE±BF,

.=+

AE2AB2AF2'

在R3ACD中,AF±CD,

.J_=J_J_

AF2AC2+AD2'

.1_111

AE7-AC?+AD2'

・活动二由平面图形中的圆某些性质类比到空间立体图形球的某些性质

例3.找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质.完成下表中的空白.

圆球

(1)圆心与弦(非直径)中点的直线垂直于弦(1)______________________________

(2)与圆心距离相等的弦长相等(2)______________________________

(3)圆的周长C=»d(3)______________________________

(4)圆的面积5=万户(4)______________________________

【知识点：类比推理，猜想与证明】

详解：(1)球心与截面圆(不过球心的小截面圆)圆心的连线垂直于截面

(2)与球心的距离相等的两个截面圆的面积相等

(3)球的表面积S=4万户

(4)球的体积V=?/

点拔：球与圆有许多类似之处，从概念上讲，都是动点到定点的距离相等，都有直径和

半径，从平面向空间实现类比，将点与线、线与面、面积向体积等进行类比.

・活动三平面曲线中的图形之间类比

例4.在圆/+>2=/中，A3为直径，C为圆上异于A3的任意一点，则有KAC典BC=T，

22

你能用类比的方法得出椭圆二+当=1伍〉6〉0)中有什么样的结论.

ab

【知识点：类比推理，猜想与证明】

详解：设4(%,%)为椭圆上的任意一点，则A点关于中心的对称点B的坐标为(-%,-%),

点尸(x,y)为椭圆上异于A、3两点的任意一点，则

22

k._f。

KAPkKBP——22,

X-XQX+XQX-XQ

由于A,B,P三点都在椭圆上.

f22

二2++匕j2-—12_22_2

所以ab两式相减有±*+2L?L=o,

年+婷.1/从

染+瓦」

1

由|、3-婷b°0n；,b

所以---r=—一五、即&4P.々BP=一_2-

x-x0aa

22

故椭圆)+==1伍〉人〉0)中过中心的一条弦的两个端点4,B,P为椭圆上异于A,B

ab

方2

的任意一点，则有左转•怎p=-

a

点拔：圆与椭圆的类比不光是斜率的问题，还有面积的类比，如圆的面积公是S=〃「2,

椭圆的面积公式是S=»a。，其中「是圆的半径，a、6分别是椭圆的半长轴、半短轴的长.

3.课堂总结

【知识梳理】

(1)由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似

或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比

推理(简称类比).

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.

(2)类比推理的一般步骤：

①找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；

③检验猜想.即

观察、比较联想、类推猜想新结论

【难点突破】

(1)类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似

性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠.

(2)类比推理的特点

①类比是从特殊到特殊的推理，是根据两类不同对象已具有的某些相似性质，而联想到

它们在其他方面可能也有相似的性质，从而由一类对象的已知的某项性质，猜测出另一类对

象也可能有此项相应的性质而得到一个明确的结论，类比结论有明显的猜想和创新的特性.所

得的结论超越了前提所包容的范围；

②类比所得的结论超越了前提所包容的范围，结论不一定真.

③类比的前提是两类对象之间有可比性，所谓可比性是指：它们之间有可以清楚定义的

某些共同特征.而且两类对象之间的相似性质越多，类比所得的性质的可靠性越大；

(3)类比推理的结论未必真，欲知真假需证明.

4.随堂检测

1.三角形的面积为S=；(a+6+c)〃，a,0,c为三角形的边长，厂为三角形内切圆的半径，利

用类比推理可以得出四面体的体积为()

A.V=^abc

B.V=^Sh

C.V=1(5i+S2+S3+S4)-r(Si,S3,S4分别为四面体的四个面的面积，厂为四面体内切球

的半径）

D.V=^ab+bc+ac）-h（h为四面体的高）

【知识点：类比推理】

解：C

平面几何与立体几何的类比，类比的知识点有：面积与体积，边长与面积，圆与球.因此，应

选C,答案为C

2.在平面直角坐标系内，方程\+楙=1表示在x,y轴上的截距分别为跖人的直线，拓展到空

间，在x,y,z轴上的截距分别为a,b,C（QZ?CRO）的方程为（）

A.-+^+-=l

abc

=1

abbeac

c->F+-=i

abbeca

D.<2X+by-\-cz=1

【知识点：类比推理；数学思想：推理论证】

解：A

3.圆的面积5=兀,，周长c=2a，两者满足c=S（r）,类比此关系写出球的公式的一个结论是:

【知识点：类比推理】

4

解：丫球=空火3,s球=4兀7已满足S=VXR）

4

圆的面积、周长分别与球的体积和表面积类比可得，球的体积丫=铲炉，表面积5=4兀7已满

足5=叭我）.答案为V球=%火3,§球=4兀7已满足s=叭火）.

4.等差数列｛诙｝中,有2斯=诙_1+诙+1（定2,且类比以上结论,在等比数列｛瓦｝中类

似的结论是.

【知识点：类比推理】

解：bn=bn-l-bn+l（ji>2,且〃©N*）

5.坐标平面上P1（X1，yi）,P2（X2,>2），则线段P1P2的中点P的坐标为l七三,类比以

上结论，若△ABC中，A（xi，yi）,3（X2,>2），C（X3,券），则△ABC重心G的坐标为.

【知识点：类比推理】

解.[石+马+为M+丁2+%]

（三）课后作业

基础型自主突破

1.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，

你认为比较恰当的是（）

①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等

②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等

③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等

A.①

B.①②

C.①②③

D.③

答案：C

解析：【知识点：类比推理】

对于①：正四面体中，各棱长相等，各侧面是全等的等边三角形，因此，同一顶点上的任两

条棱的夹角都相等；①正确；

对于②：•••正四面体中，各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角中，它们有

共同的高，底面三角形的中心到对棱的距离相等，相邻两个面所成的二面角都相等，②正

确；

对于③：•••各个面都是全等的正三角形，...各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两

条棱的夹角都相等，③正确.

•••①②③都是合理、恰当的.故选C.

2.如图所示，椭圆中心在坐标原点，厂为左焦点，当丽，Q时，其离心率为存L此类椭

圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于（)

y

A.暂

口逐1

D.---------------

2

C.V5-1

D.V5+1

【知识点：类比推理】

解：A

类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，|。川=跖|。3|=4川=c,由题意可知忸歼+|&砰

Vb2+c2+c2-a2+c2+2ac,又b2=c1-a1,-a2+ac,/-e-1=0,e=

2

又e>l,所以选A.

3.平面内平行于同一条直线的两条直线平行，类比可得，在空间有（）

A.平行于同一直线的两直线平行；

B.平行于同一直线的两平面平行；

C.平行于同一平面的两直线平行；D.平行于同一平面的两平面平行.

【知识点：类比推理】

解：D利用类比推理，平面中的直线与空间中的平面类比，即可得空间中平行于同一平面

的两平面平行.

4.将一张坐标纸折叠一次，使点（2,3）与点（3,2）重合，且点（2005,2006）与点（m,

〃）重合，则"%〃分别为（）

A.2005,2005；

B.2006,2006；

C.2005,2006；

D.2006,2005.

【知识点：类比推理】

解：D由于(2,3)与(3,2)关于直线y=x对称，(2005,2006)与(加，")也关于直线产x

对称，故m=2006,77=2005.

5.在三角形中，任意两边之和大于第三边.类比上述性质：在三棱锥中，我们可以得到：

【知识点：类比推理】

解：任意三个表面的面积之和大于第四个表面的面积.

6.在项数为2"(neN*),公差为d的等差数列中，偶数项和与奇数项和的差等于次/.类比可得：

在项数为2〃(/wN*),公比为q的等比数列中，,

【知识点：类比推理】

解：偶数项与奇数项的商为q'

能力型师生共研

8.已知等差数列｛%｝中，有。u=0,则有q+出+-■+an-ax+a2+...+a21_n(«<21,HeN*)

成立.类比上述性质，在等比数列也,｝中，若九=i,则我们可以得到等式：

【知识点：类比推理】

解：贴2…b"=血…S<19,〃eN*)

等差数列｛a“｝中'有。]]=0,则有为++…+。"=%+。2+…+<21,"dN)类比推理

在等比数列物1｝若伪。=1,则存在的等式是济伪…a=42…(〃<19,〃eN)

9.半径为r的圆的面积S(r)=万厂2,周长C⑺=2万厂，若将厂看作(0,+(»)上的变量，则

(万厂2)，=2〃r.①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R

的球，若将R看作(0,+oo)上的变量，请你写出类似于①式的式子:,

你所写的式子可用语言叙述为.

【知识点：类比推理】

解：]:成3]=4R?2球的体积函数的导数等于球的表面积函数.

10.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这

个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列｛6｝,是等和数列，且%=2,

公和为5,那么阳的值为，这个数列的前〃项和S“的计算公式为.

【知识点：类比推理】

解.％8=3.当〃为偶数时，S„=|H；当〃为奇数时，

n.已知两个圆：1+/=1①与/+(y_3)2=i②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴

方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，既要求得到一个更一般的命题，而已知

命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为.

【知识点：类比推理】

解：设圆的方程为(x—a)?+(y—0)2=/③与(x—c)2+(y—d)2=/④，其中QHC或bwd,则

由③式减去④式可得两圆的对称轴方程.

探究型多维突破

L设函数/(x)=xe*+x+2+sinx,利用课本中推导等差数列前〃项和公式的方法，可求得

e+1

/(-5)+/(-4)+L+f(0)+L+/(4)+f(5)的值_____________________.

【知识点：类比推理】

、xex+x+2.2

解：11f(X)=-------------+sinx=x+sinx+-------,

er+lex+l

22_2(6，+""+2)

/(x)+/(-x)x+x=2,/(0)=l

e+le-+lex+e-x+2

/(-5)+/(-4)+L+/(0)+L+/(4)+f(5)

=[/(-5)+/(5)]+[/(-4)+/(4)]+L+[/(-1)+/(I)]+/(0)=11

2.若记号“*”表示两个实数。与。的算术平均的运算，即。*6=3吆，则两边均含有运算符号

2

“叱和且对于任意3个实数a,b,c都能成立的一个等式可以是.

【知识点：类比推理】

解.(〃*/?)+C=(〃*C)+3*C),(〃*力+C=3*〃)+C

此题答案不唯一还有：a+3*c)=(。+勿*(。+。)•等

(四)自助餐

1.在平面直角坐标系内，方程2+1=1表示在x,y轴上的截距分别为a,》的直线，拓展到空

间，在％,y,z轴上的截距分别为b,c(〃b#0)的方程为()

A.壬+计2=1

abc

B•亮+—+三=1

abbeac

c.a>bFbe+-ca=i

D.ax-\-by-\-cz=1

【知识点：类比推理】

答案：A

2.下面类比推理中恰当的是()

A.若“小3="3,则a=6”类比推出“若00="0,则a=。”

B.”(a+6)c=ac+Z?c”类比推出，0=”=£+/(存0)”

C."(a+6)c=ac+be”类比推出“(ob)c=ac-be”

D."(ab)"=a"*类比推出“(a+b)n=D+b"”

【知识点：类比推理】

解：B

3.类比三角形中的性质：

(1)两边之和大于第三边

(2)中位线长等于底边的一半

(3)三内角平分线交于一点

可得四面体的对应性质：

(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积

(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的;

(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点

其中类比推理方法正确的有()

A.⑴

B.(l)(2)

C.⑴⑵⑶

D.都不对

【知识点：类比推理】

解：C

4.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图甲，在口438中，有

AC2+BD2=2(AB2+AD2),那么在图乙所示的平行六面体ABC。一ALBCLDI中,

AC：+8Z)：+C4：+r)3：等于()

A.4(AB2+AD2+AA?)

B.3(AB2+AD2+AAT)

C.2(AB2+AD2+A4T)

D.4(AB2+AD2)

【知识点：类比推理；数学思想：推理论证】

解：A

5.等差数列｛出｝中，有2诙=丽_1+为+1(e2,且类比以上结论,在等比数列｛瓦｝中类

似的结论是.

【知识点：类比推理】

解：bl=bn-vbn+i(n>2,且