2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义第一章 空间向量与立体几何章末检测卷(二)(详解版)

空间向量与立体几何章末检测卷（二）

说明：1.本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。

3.答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答

案无效。

4.考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。

第I卷（选择题共60分）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求.）

1.已知向量&=（（）,-□）与5=（0,后-2,公）共线，则实数%=（）

A.0B.1C.-1或2D.-2或1

2.已知直线/的方向向量为（123）,平面a的法向量为（2,〃*6）,若Ua,则机=（）

A.-4B.4C.-10D.10

3.如图，在三棱锥O-ABC中，E为0A的中点，点尸在BC上，满足而=2而，记厉，OB

能分别为d，B，2，则前=（）

1-\-r21-2p1-2-1z-12-1-1-

A.——a+—b+—cB.——a+—b+—cC.——a+—。+—cD.—a——b——c

233233322322

4.在正方体458-中，棱长为2,点M为棱上一点，则丽7•丽的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

5.设“、yeR,向量a=S=（l,y,l）,C=（3,-6,3）且£_1_屋bile,则卜+可=（）

A.2忘B.2A/3C.4D.3

6.定义a®坂-a•b,若向量£=（1,-2,2）,向量6为单位向量，则的取值范围是（）

A.[6,12]B.[0,6]C.[-1,5]D.[0,12]

7.在四面体。的中，丽切丽坊无♦，点。满足丽”册，E为钻的中点，且流f+/+3

贝”=()

1（C.gD.|8.如图’已知正方体A88—4BQD的棱长为4,P是

A.2B.

AA的中点，点M在侧面44,8避（含边界）内，若RM_LCP.则ABCM面积的最小值为（）

A.8B.4C.—D.随

55

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分）

9.若向量{点员寸构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）

A.a+b>a-b>a+2bB.a-b>a+c<b+c

C.a-b<c>a+b+cD.a-2h<b+c>a+c-b

10.己知空间向量2=（1,-1,2）,则下列说法正确的是（）

A.问=指

B.向量2与向量很=（-2,2,-4）共线

C.向量£关于x轴对称的向量为（1,1,-2）

D.向量£关于yOz平面对称的向量为

11.在长方体AB8-ABCR中，AB=4,BC=BB『2,E,尸分别为棱AB，AR的中点，则下列结论中正

确的是（）

—•—•I—.1

A.EF=AA]+-BC+-ClDiB.|EF|=3

C.EDEC^EDECD.BFVEC}

12.若正方体ABS-AAGA的棱长为1，且丽=加而+〃可，其中，〃6|0,1],〃曰0,1],则下列结论正确

的是（）

A.当机=g时，三棱锥P-BQA的体积为定值

B.当"=；时，三棱锥尸-BDg的体积为定值

C.当机+〃=1时，R4+PB的最小值为瓜+6

2

D.若“P】B=/B、D、B,点尸的轨迹为一段圆弧

第n卷（非选择题共90分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知A（l,2,3）,8（4,5,9）,AC=^AB,则前的

坐标为______

14.已知空间三点A(l,-1,-1),8(-1,-2,2),C(2,1,1),则福在正上的投影向量的模是.

15.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，。为底面中心，M为S。中点，动

点P在圆锥底面内(包括圆周).若AM_L”P,则点S与P距离的最小值是.

16.在空间直角坐标系O-xyz中，向量2=(1,-1,-2)石=(1,1,3)分别为异面直线//方向向量,

则异面直线44所成角的余弦值为.

四、解答题(本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.已知点4—2,0,2),8(-1,1,2),C(-3,0,4),设)=通，b=AC.

(1)求2,B夹角的余弦值.

(2)若向量后+,,心-25垂直，求人的值.

(3)若向量刀£-短平行,求4的值.

18.如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段的中点，G在AE上，且AG=2GE.

⑴试用丽，OB，反表示向量花;

UUULK.UI

(2)若OA=2,OB=3,OC=4,ZAOC=Z5OC=60。，ZAO8=90。，求OGA8的值.

19.如图，在正四棱锥P-48C0中，侧棱长为石，底面边长为2.点E,尸分别CO,8c中点.求证:

20.如图所示，在几何体ABC0EF中，四边形ABQ)为直角梯形，AD//BC,

ABVAD,AE_L底面ABC。，AE//CF,AD=3,AB=BC=AE=2,CF=1.

(1)求证：8F〃平面AOE；

D

(2)求直线8E与直线。尸所成角的余弦值;

B

(3)求点。到直线8F的距离.

21.如图，四棱锥P-A3CZ)中，AB//CD,BCA.CD,BC=CD=2AB=2,PB=PD=2,PC=y/2,AD=3AM,

N为PC中点.

(1)证明：BD±PC；

(2)求直线A/N与平面尸3。所成角的正弦值.

22.在四棱锥P-ABC。中，已知侧面尸8为正三角形，底面A8CD为直

角梯形，AB\\CD,ZADC=90°,AB=AD=3,CD=4,点M,N分别

在线段4?和/加上，且丝=空=2.

(1)求证：PM〃平面ACN；

(2)设二面角P-CD-A大小为。，若cose=或，求直线AC和平面PA8所成角的正弦值.

3

空间向量与立体几何章末检测卷（二）

说明：1.本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。

3.答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答

案无效。

4.考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。

第I卷（选择题共60分）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求.）

1.已知向量&=（（）,-□）与5=（0,后-2,公）共线，则实数%=（）

A.0B.1C.-1或2D.-2或1

【解析】因为&=（0,-1,1）、5=（0,%-2,公）共线，

-11

所以kh

解得上=-2或1.

故选：D

2.已知直线/的方向向量为（123）,平面a的法向量为（2,机6）,若Ua,则机=（）

A.-4B.4C.-10D.10

【解析】因为所以直线/的方向向量与平面a的法向量平行，

所以（1,2,3）=2（2,以6）,解得4=；,机=4.

故选：B.

3.如图，在三棱锥0-A3C中，E为OA的中点，点F在8c上，满足丽==2汽，记04，OB，元分别

o

为£，b，C，则前=(

1-12-1-21-_2-11-D.^a-h-^-c

A.——a+—br+—cB.——a+—br+—cC.——a+—br+—c

233233322322

【解析】在三棱锥O-ABC中

BF=2FC>E为0A的中点

__1___2_____2____2__

EA=­a,AB=OB-OA=b-a>BF=^BC=-(OC-OB)=-(c-b)

___i2ii2

所以前=丽+而+丽=—£+B-£+-G-B)=——a+-h+-c

23233

故选：A

4.在正方体ABC。-A'QC'D中，棱长为2,点”为棱。。上一点，则刘乙丽的最小值为()

A.1B.2C.3D.4

【解析】如图所示，以D4,£>C,O2分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

则A(2,0,0),8(2,2,0),设"(0,0,a),

所以丽=(-2,0,a),BM=(-2.-2,a),

^\AM-BM=(-2,0,6(-2,-2,a)=4+a),

当a=0时，丽,丽的最小值为4.

5.设X、ywR,向量a=(x,l,l),B=c=(3,-6,3)且£_L2,b//c>则卜+@=()

A.2夜B.2石C.4D.3

【解析】因为则H=3x-6+3=0,解得X=l,则£=(1,1,1),

因为罚几，贝1匚=斗，解得y=-2,即5=(1,—2,1),

所以，々+5=(2,-1,2),因此，1+q="+1+4=3.

故选：D.

6.定义£区B=W-75,若向量£=(1,-2,2),向量坂为单位向量，则的取值范围是()

A.[6,12]B.[0,6]C.[-1,5]D.[0,12]

【解析】由题意知口=jF+(_2)2+22=3,M=l.

设<£,B>=0,则=H-=H-|a|-|/?|cos0=9-3cos0.

又。€[0,可，.•.cos6)€[T,l],.•二@I«6/2卜

故选：A

__,___________,1-]_]_

7.在四面体。LBC中，OA=a，OB=b，反=2,点。满足而=4前，E为AO的中点，且。石=7+:。+:仁,

244

则4=()

urn1riririuiriuuniuum

【解析】OE=-a+-b+-c=-OA+-OB+-OC,

244244

i_i__uuaiiuniiiiiiu

其中E为中点，有.OE=-OA+-OD,故可知OD=-OB+-OC,

则知D为BC的中点，故点D满足BD=-BC,2=1.

故选：A8.如图，已知正方体ABC。一A/BQ/。的棱长为4,P是A/的中点，点M在

侧面A4,Bf(含边界)内，若RM^CP.则ABCM面积的最小值为()

8G875

B.4---Lz.n---

55

【解析】以。为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为＞轴，。。所在直线为z轴建立空间直角坐标

系，如图,

则尸（4,0,2）,C（0,4,0）,A（0,0,4）,8（440）,

设M（4,a,/?）（«,be[0,4]）,则丽=（4,a,b-4）,而=（4,-4,2）,

因为D.MVCP,

所以Z）lMCP=16-4a+26-8=0,得b=2a-4,

所以M（4,4）,

所以BM=7（4-4）2+（a-4）2+（2a-4）2=]+y1当«=y时，IBM取最小值半,

易知8c=4,且BCJ.平面8Wu平面

故故SmcM=gBCxBM

所以S3的最小值为延x4xL5近.

525

故选：D.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.若向量｛£,£"｝构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）

D————

A.a+h，a-b,a+2ha-b,〃+c，b+c

C.a-b»c，〃+B+cD.a-2b，b+c，a+c-b

Z「=—3

2+〃=1

【解析】对于A选项，若£+2B=2（£+®+〃（£—B）,则解得21,故共面:

〃=——

2

/1+〃=0

rr

对于B选项，若W=/l（2=—1

a-b\+/.i\a+c\,则，-2=1，解得।,故共面;

〃=1

〃=1

'2=1

对于c选项，若，+〃"，则，-A=l,无解，故不共面;

〃=1

2=1

1

对于D选项，若。+。-5=；1（"-29+〃,+。），则《―22+〃=-1,解得[,故共面;

〃=1

故选：ABD

10.己知空间向量£=（1,7,2）,则下列说法正确的是（）

A.忖=指

B.向量2与向量很=（一2,2,-4）共线

C.向量£关于x轴对称的向量为（1,1,-2）D.向量£关于yOz平面对称的向量为

【解析】A：因为同="+（7）2+22=技所以本选项说法正确；

B：因为石=-2九所以向量£与向量石=（-2,2,Y）共线，因此本选项说法正确；

C：设£=。,-1,2）的起点为坐标原点，所以该向量的终点为

因为点（1,-1,2）关于x轴对称的点的坐标为（1,1,-2）,

所以向量£关于x轴对称的向量为（1,1,-2）,因此本选项说法正确;

D：设£=(1,-1,2)的起点为坐标原点，所以该向量的终点为

因为点(1,-1,2)关于)0z平面对称点的坐标为,

所以向量£关于yOz平面对称的向量为,

故选：ABC

11.在长方体ABCO-ABCQ中，AB=4,BC=BB]=2,E,尸分别为棱的中点，则下列结论中正

确的是()

—■—-1—.1-------

A.EF=AAl+-BC+-CtDtB.|EF|=3

C.EDEC^EDECD.BF1EQ

【解析】如图建立空间直角坐标系，则。(0,0,0)、A(2,0,())、5(2,4,0)、

E(2,2,0)、A(2,0,2)、*1,0,2)、R(0,0,2)、*0,4,2)、C(0,4,0),

所以而=(—1,—2,2)、羽=(0,0,2)、沅=(—2,0,0)、葩=(0,T,0),

所以乔=丽+3^+g西'，故A正确；

|EF|=7(-1)2+(-2)2+22=3,故B正确；

£0=(-2,-2,0),Eq=(-2,2,2),EC=(-2,2,0),BF=(-1,-4,2),

所以丽・瓯=0,EDEC=0,故而•南=丽•或，即C正确；

因为砺•宙'=-2x(T)+2x(-4)+2x2=-2,所以而与南不垂直，故D错误；

故选：ABC

12.若正方体A8C3-ABGR的棱长为1,且丽=加亚+〃丽，其中me[0,1],〃w[0,1],则下列结论正确

的是（）

A.当〃?=；时，三棱锥P-BOq的体积为定值

B.当〃=；时，三棱锥尸-8。4的体积为定值

c.当%+〃=1时，。+总的最小值为"+也

2

D.若/PRB=/&QB,点P的轨迹为一段圆弧

【解析】因为»="4万+"福,，其中加6[0,1],〃6[0,1],

所以点P在平面4。。A内运动，

对于A：取A。中点E、中点F,连接EF,

所以EF//AA//8月，

因为。U平面BDB],BBtu平面BDB,,

所以EF〃平面80片，

I-.1—.——

当〃?=一时，贝ljAP=-AD+〃AA,

22

所以点P在线段E尸上运动，

因为政〃平面8。与，

所以无论点尸在EF任何位置，尸到平面BOB1的距离不变，即高不变,

所以三棱锥尸-8。4的体积为定值，故A正确;

对于B：取AA中点G,DR中点“，连接G”,

当〃=,时、AP=mAD+-AA,

22

所以点尸在GH上运动，

假设G”//平面BOB-

又GA//BB],34仁平面8。用，8耳<=平面8。瓦,

所以G4//平面8。片，

因为64门6〃=63〃,64<=平面6〃。4,

所以平面GmM//平面B。耳，与已知矛盾，故假设不成立,

所以G4不平行平面

所以P在G4上运动时，P到平面BDB1的距离在变化，

所以三棱锥P-8。片的体积不是定值，故B错误；

对于C：连接A。，AB,BD,当〃7+”=1时，可得A、。三点共线,

将沿AQ翻折至与平面AB。共面,如下图所示

连接A8,当P为A8与4。交点时，P4+PB最小，即为A8,

因为A£4。,8。均为面对角线，

所以％B=AD=BD=上,即^AB。为等边三角形，

又N4A£>=90。，AiA=AD=\f

所以NAO8=NAA8=105。，^ADB^^AA.8,

所以NABQ=30。

ABAD

在△AOB中，由正弦定理得

sinZADB-sinZA0D，

所以由焉„5。=2a45。8s600+8s45°sin600)=F，故C正确;

a

对于D：分别以DA、DC、D）为x,y,z轴正方向建系,如图所示,

则5(1,1,0),A(0,0,1),设P(x,0,z),

所以印=(x,0,z—l),卵=。1,一1),

/DnDD[户•D]Bx—z+l

所以=丽丽飞M

因为BB、1平面A4GA,BBu平面AB£R,

所以BB、IBtD,,又BQ\=&BD\=6,

所以COS/HRB=§3=

DL)XJ

“，x-z+15/6

所以G+(ZT)M—整理得Y+z2+2xz—2x—2z+l=0，

所以（x+z-l）?=0,即x+z-l=0,xe[0,l],ze[0,l]

所以P点轨迹为线段，故D错误

故选：AC

A

y

第n卷（非选择题共外分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知A(l,2,3),8(4,5,9),AC^^AB,则正的坐标为.

【解析】由题设，通=(4,5,9)-(1,2,3)=(3,3,6),

所以〃=；而=(1,1,2).

故答案为:(1,1,2)

14.已知空间三点A(l,-1,-1),B(-l,-2,2),C(2,1,1),则福在衣上的投影向量的模是.

IUUUUUU|

ULUuuu|ULV|umuun[ABSC]

【解析】由题，AB=(-2,-3,3),AC=(1,2,2),故而在不右上的投影向量的模I卜8卜cos<48,AC>|=下『

|-2-6+6|_2

=712+22+22

故答案为：|15.如图，圆锥的轴截面S4B是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点

P在圆锥底面内(包括圆周).若AMYMP,则点S与尸距离的最小值是.

轴建立空间直角坐标系,

科设P(x,y,0),

M0,0,

____.3

,：AMA.MP,：.AMMP=0,解得y

4

.小耳=近2+图+(一6)2知，

当X=O时，点S与尸距离的最小，其最小值为巨.

4

故答案为：巨.

4

16.在空间直角坐标系O-xyz中，向量d=(l,T-2)石=(1,1,3)分别为异面直线/"方向向量，则异面直线//

所成角的余弦值为.

【解析】因为。=(1,一1,-2)石=(1,1,3),所以cos值5)=/1一7=-场.因为异面直线岛所成

''5/1+1+4x71+1+311

角的范围为(0,^］，所以异面直线4,4所成角的余弦值为半.

IN」II

故答案为：w

四、解答题(本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.已知点A(—2,0,2),8(-1,1,2),C(-3,0,4),设)=通，b=AC.

(1)求Z，石夹角的余弦值.

⑵若向量历+B,垂直，求左的值.

⑶若向量笳-3,14平行，求丸的值.

【解析】⑴〃=(1,1,0),^=(-1,0,2),

-4+0+0

故COS(〃6

&x石

(2)由(1)可得

ka+b=^k-\,k,i),ka-2b=^k+2,k,-4),

因为向量Za+B，A〃-胸垂直,故(Z+2)("l)+K-8=。，

整理得到：2^+%一10=0,故％=2或%=-"

(3)由(1)可得〉出不共线，故2£一心£-4均不为零向量，

若向量位-1如平行，则存在非零常数f,使得右从=m一应,

整理得至|J：(A-r)a+(r2-l)S=0,

因为6不共线，故故2=f=—1或2=1=1,

z2-l=0

故/l=±L

18.如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段8c的中点，G在4E上，且AG=2GE.

⑴试用函,OB,阮表示向量旃；⑵若OA=2,OB=3,0C=4,

ULM-1UL*U

ZAOC=NBOC=60°,ZAOB=90。，求OGA8的值.

.一uuu

【解析】(I)；4G=2GE,

OG-OA=2(OE-dG),

3OG=2OE+砺乂2砺=OB+OC

：.0G=-0A+-0B+-0C(2)^a(1)pJ^^]OGAB=(-OA+-dB+-OC)(OB-dA)

333333

=-OAOB--OA+-OB--OBOA+-OCOB--OCOA=--OA+-OB+-OCOB--OCOA

3333333333

=-1X22+1X32+1X3X4X1-1X4X2X1=-^+3+2-^=^19.如图，在正四棱锥P_A8C£>中，侧棱长为

JJJXifJJJO

底面边长为2.点E,F分别CD,BC中点.求证：

(2)平面fi48_L平面PCD.

【解析】(1)连接AC,BD交于•点、0,连接P0,由正四棱锥性质。4,OB,0P两两互相垂直，以OA,OB,

0P分别为x,y,z轴建系如图.

易得OA=&，。尸=JPAN-OA?=1，A（垃,0,0）,P（0,0,l）,

B（O,0,O）,C（—5/2,0,oj,D^O,—V2,0j,E--^,0,F—-^,^^-,0

尸4=（夜,0,-1）,EF=（0,\/2,0）,,：PA.EF=0,-,-PAEF=0,即以工后尸；

(2)设平面以8,平面PCO法向量分别为正=(不y,zj,3=(%,月，22)，

m-PA=-Z）=0

，取4=&,则再=y=1,;w=（l,l,V2）,

mPB=正,一Z[=0

n-PD=>/2X2+z2=0「_r-

<__r-»取马二一J2,则为=%=1,n=（1,1,-V2）,

n-PC=42y2+z2=0

而G=l+l-2=0，,而_1_k，平面般8,平面PCD

20.如图所示，在几何体ABCDEF中，四边形ABC。为直角梯形，AD//BC,ABA.AD,AE_L底面ABC。,

AE//CF,AD=3,AB=BC=AE=2,CF^\.

(1)求证：8尸〃平面AOE；

(2)求直线BE与直线。尸所成角的余弦值；

(3)求点。到直线8F的距离.

【解析】(1)证明：：AE〃CF,AEC平面8FC,CFu平面BR7,

：.AE//平面BCF,

-JAD//BC,同理可得40〃平面8尸C,

又ADHAE^A,二平面8b〃平面ADE,

,?5Fu平面BFC,BF//平面ADE；

(2)以A为坐标原点，AB、AD,AE所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

则8(2,0,0),C(2,2,0),D(0,3,0),E(0,0,2),F(2,2,1),

l~^r<TVEABE,DF_25/3

则而=(-2,0,2),而=(2,-1.1),8s(叫QF六网研=运环=-不

...直线BE与直线。尸所成角的余弦值为正

6

(3)根据(2)可知而:=(0,2,1),DF=(2,-1,1),

阿卜in(瓯加21.如图，四棱锥P-ABC。中，AB//CD,BC1.CD,BC=CD=2AB=2,

PB=PD=2,PC=4i，AD^3AM,N为PC中点.

⑴证明：BD1PC；

(2)求直线MN与平面尸8力所成角的正弦值.

【解析】⑴连接CM交80于点。，连接PO,

因为AO=3AM,延长CM交AB于E,

ApAM1

由43〃8,则卷=器=措，可得4E=1，

四边形EBCZ)为正方形，则BCCM,且0为3。中点，由依=包＞=2,则8OLP。，且CMcPO=O,

CM,POuflPCN.

所以80,面PCM,PCu平面PCM,则BD_LPC；

P

由BO_L面PCM,BDu面ABCD,所以面438，面PCM,

由P3=P£>=2,则PO=0,由8c=CD=2A8=2且BC_LC。，则OC=>/^，

又PC=0，故4POC为等边三角形，且面ABC£)_L面POC,

所以尸限书，贝崂，泮

综上，丽=卜£,一£,弓，BD=(2,-2,0),PD=(|,-1-^).