初中数学 几何最值之将军饮马（学生版+解析版）

几何最值之将军饮马

一.选择题（共14小题）

1.如图，已知等边aABC的边长为4,面积为46，点。为AC的中点，点E为8c的中

点，点P为B。上一动点，则PE+PC的最小值为（）

B.4V2C.2V3D.4V3

2.如图，正方形A8CD中，A8=4,E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB

的最小值为（）

A.3B.4C.5D.2V5

3.如图，正方形ABCD的面积为12,2XABE是等边三角形，点E在正方形ABCQ内，在

对角线AC上有一点尸，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A.V6B.2A/3C.3D.2显

4.如图，在菱形ABC。中，AB=4,乙4=120°,点尸，Q,K分别为线段BC,CD,BD

上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）

A.2B.2V3C.4D.2V3+2

5.如图，菱形ABC。的的边长为6,ZABC=60°,对角线BO上有两个动点E、F（点E

在点尸的左侧），若EF=2,则4E+CF的最小值为（）

A.2V10B.4V2C.6D.8

6.如图，在四边形ABCQ中，DA±AB.DA=f>cm,ZB+ZC=150°.C£>与8A的延长线

交于E点，A刚好是E8中点，P、。分别是线段CE、BE上的动点，则BP+尸。最小值

是（）

A.12B.15C.16D.18

7.如图，矩形ABC。中，AB=4,BC=6,点P是矩形ABC。内一动点，且S△以B=聂尸小

则PC+PD的最小值是（）

A.4V3B.4V5C.2V13D.2729

8.如图，点尸是NAOB内任意一点，N4O8=30°,0P=8,点M和点N分别是射线0A

和射线08上的动点，则△2〃汽周长的最小值为（）

A.5B.6C.8D.10

9.如图，正方形A3C。的边长是4,M在。C上，且。M=l,N是AC边上的一动点，则

△OMN周长的最小值是（）

B.4C.5D.6

AC1

10.如图，在RtZVIBO中，NO8A=90°,A(4,4),点C在边4B上，且一=一,点。

CB3

为OB的中点，点P为边OA上的动点,当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长

D.(3,3)

II.如图，在△48C中，AC=BC,NACB=90°,点。在8c上，BO=3,DC=\,点P

是AB上的动点，则PC+PO的最小值为（）

12.如图，在菱形ABCQ中，AC=6VLBD=6,E是5c边的中点，P,M分别是AC,AB

上的动点，连接PE,PM,则PE+PM的最小值是（）

A.6B.3V3C.2V6D.4.5

13.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4,5）,。是。8的中点，E是OC上的一点,

当△AOE的周长最小时，点E的坐标是（）

333

14.如图，在等边△4BC中，AB=9,N为AB上一点,且AN=3,8c的高线AD交BC于

点。，M是A。上的动点，连接BM,MN,则BM+MN的最小值是（）

,e9V3八10V7「

A.6A/2B.-----C.-------D.3v7

23

二.填空题（共4小题）

15.如图，在RtZiABC中，AB=BC=4,。为BC的中点，在AC边上存在一点E,连接

ED,EB,则周长的最小值为.

16.如图，在菱形A8CQ中，对角线4c=6,BL>=8,点E、尸分别是边A3、BC的中点,

点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是

D

17.如图，正方形A8C。的边长为4,ND4C的平分线交OC于点E,若点P、。分别是

AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是.

18.如图，等边△4BC中，4。为BC边上的高，点M、N分别在A。、AC上，且AM=CN,

连BM、BN,当BM+8N最小时，NMBN=度.

三.解答题（共3小题）

19.如图，ZAOB=30°,NAOB内有一定点尸，且OP=10,上有一点Q,。8上有一

定点R.若△PQR周长最小，求它的最小值.

20.如图，在锐角三角形ABC中，BC=4A/2,ZABC=45a,8。平分/ABC,M、N分别

是8C、BC上的动点，试求CM+MN的最小值.

D

BC

21.如图，河两岸有甲、乙两村庄，现准备建一座桥，桥必须与河岸垂直，问桥应建在何处

才能使由甲到乙的路程最短？请作出图形，并说明理由.

甲.

7,•

几何最值之将军饮马

参考答案与试题解析

选择题（共14小题）

1.如图，已知等边AABC的边长为4,面积为48，点。为AC的中点，点E为8c的中

点，点P为8。上一动点，则PE+PC的最小值为（）

【解答】解：:△ABC是等边三角形，点。为AC的中点，点E为BC的中点,

：.BD±AC,EC=2,

连接AE,线段AE的长即为PE+PC最小值，

•.•点E是边BC的中点，

J.AEVBC,

C.PE+PC的最小值是44c2—EC2=<42-22=273.

故选：C.

2.如图，正方形ABC。中，A8=4,£是BC的中点，点P是对角线4c上一动点，则PE+PB

的最小值为（）

A.3B.4C.5D.2V5

【解答】解：连接OE,交AC于点P,连接BD.

•.•点8与点。关于AC对称，

：.DE的长即为PE+PB的最小值，

'：AB=4,E是8C的中点，

：.CE=2,

在RtZ\C£）E中，

DE=>JCD2+CE2=V42+22=275.

故选：D.

3.如图，正方形ABC。的面积为12,ZVIBE是等边三角形，点E在正方形ABC。内，在

对角线AC上有一点尸，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A____________a

A.V6B.2^3C.3D.2A/6

【解答】解：连接B。，

•.•点B与。关于AC对称，

：.PD=PB,

：.PD+PE=PB+PE=BE最小.

•.•正方形A8C£>的面积为12,

：.AB=2y/3,

又「△ABE是等边三角形，

:.BE=AB=2痘,

故所求最小值为2百.

故选：B.

4.如图，在菱形ABC。中，A8=4,NA=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD

上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）

【解答】解：作点P关于8。的对称点P,作「'QLCD交BD于K,交CD于Q,

：AB=4,/A=120°,

.,.点P'到CD的距离为4x坐=2V3,

J.PK+QK的最小值为2百，

5.如图，菱形A3C。的的边长为6,ZABC=60°,对角线8。上有两个动点E、尸（点E

在点尸的左侧），若EF=2,则4E+C尸的最小值为（）

A.2V10B.4V2C.6D.8

【解答】解：如图，连接AC,作AMJ_AC,使得AM=EF=2,连接CM交8。于凡

〈AC,3。是菱形48CD的对角线，

：・BD1AC,

：.AM//BD,

：.AM//EFf

'：AM=EF,AM//EF,

，四边形AEFM是平行四边形，

：.AE=FM,

：.AE+CF=FM+FC=CM,

根据两点之间线段最短可知，此时AE+FC最短，

•・•四边形A8CQ是菱形，A5=6,ZABC=60°

：.BC=AB,

.**/\ABC是等边三角形，

：.AC=AB=6,

在RtZiCAM中，CM=44M2+AC?=+6?=2g

：.AE+CF的最〃、值为2V10.

故选：A.

6.如图，在四边形ABC。中，DA1.AB.DA=6cm,N8+NC=150°.CO与84的延长线

交于E点，A刚好是E5中点，P、。分别是线段CE、3E上的动点，贝IJ3P+PQ最小值

是（）

A.12B.15C.16D.18

【解答】解：如图，作点8关于CE的对称点片连接8F,EF,则EB=EF,

VZB+ZC=150°,

AZB£C=30°,

：.ZBEF=60°,

.♦.△BE尸是等边三角形，

连接BP,PF,PQ,则

：.BP+QP=FP+PQ,

当凡P,。在同一直线上且FQ_LE3时，BP+PQ的最小值为FQ的长,

此时，。为EB的中点，故与A重合，

"."DA1AB.DA=6cm,

.'.AE—6y/3cm,

；.RtZ\QEF中，FQ=V3A£=18,

.•.8P+P。最小值值为18,

故选：D.

1

7.如图，矩形A8C£＞中，AB=4,8c=6,点P是矩形A8CO内一动点，且显用B=声“小

则PC+PD的最小值是（）

A.4V3B.4V5C.2V13D.2闻

【解答】解：如图，作PMLAD于M,作点D关于直线PM的对称点E,连接PE,EC.设

AM=x.

・・•四边形A5C都是矩形，

：.AB//CD,AB=CD=4fBC=AD=6f

..1

,**S^PAB=2s"C。，

111

x4X%=5xx4X(6-x)

2229

•*»x=2,f

：.AM=2,DM=EM=4,

在RtAECD中，EC=y/CD2+DE2=4后

：PM垂直平分线段。E,

：.PD=PE,

，PC+PD=PC+PE^EC,

：.PD+PC^4>[5,

J.PD+PC的最小值为4V5.

故选:B.

8.如图，点P是/AOB内任意一点，NAOB=30°,0P=8,点M和点N分别是射线OA

和射线。8上的动点，则△PMN周长的最小值为()

【解答】解：分别作点P关于04、08的对称点。、C,连接C。，分别交OA、0B于点

M、N,连接OP、OC、OD、PM、PN.

•.•点P关于0A的对称点为D,关于0B的对称点为C,

:.PM=CM,OP=OC,ZCOA=ZPOA；

•.•点P关于OB的对称点为C,

：.PN=DN,OP=OD,ZDOB=ZPOB,

：.OC=OD=OP=Scm,ZCOD=ZCOA+ZPOA+ZPOB+ZDOB=2ZPOA+2ZP0B=2

ZAOB=（＞0°,

.♦.△CO。是等边三角形，

：.CD=OC=OD=S.

：.丛PMN的周长的最小值=PM+MN+/W=CM+MN+ON2C£）=8,

故选：C.

9.如图，正方形ABCO的边长是4,M在。C上，且DW=1,N是AC边上的一动点，则

△ZM/N周长的最小值是（）

【解答】解：•••四边形ABCZ）是正方形，

.•.点B与。关于直线AC对称，

连接BD,BM交AC于N',连接£W',N1即为所求的点,

则BM的长即为DN+MN的最小值，

；.AC是线段BD的垂直平分线，

又CM=CZ）-£>M=4-1=3,

在RtABCM中，BM=VCM2+BC2=V32+42=5,

故△OMN周长的最小值=5+1=6,

故选：D.

AC1

10.如图，在Rtz^ABO中，ZOBA=90QA(4,4),点。在边A3上，且一=一,点、D

CB3

为03的中点，点P为边OA上的动点,当点P在OA上移动时，使四边形PQ8C周长

88

C.(一，一)D.(3,3)

33

【解答】解：•・•在中，NOB4=90°,A(4,4),

：.AB=OB=4fNAOB=45°,

AC1「，，，，♦

v—=点。为的中点，

CB3

：.BC=3,0D=BD=2,：.D(2,0),C(4,3),

作D关于直线。4的对称点E,连接EC交0A于P,

则此时，四边形PDBC周长最小，E(0,2),

•.•直线04的解析式为y=x,

设直线EC的解析式为y=kx+b,

b=2

1

k-

解得=4

b

=2

二直线EC的解析式为)=%+2,

8

/y一XX=-

-3

得

解

<1一1

,|yX+28

—=

-y-

\4=3

88

尸✓1

(-

X33

故选：C.

11.如图，在△ABC中，AC=BC,ZACB=90°，点。在BC上,BD=3,DC=l,点尸

是48上的动点，则PC+PO的最小值为（）

D.7

【解答】解：过点C作CO_LAB于0,延长C。到C',使OC'=OC,连接OC',交

A8于P,连接CP.

此时。P+CP=QP+PC'=DC的值最小.

：BZ)=3,DC=1

：.BC=4,

：.BD=3,

连接BC',由对称性可知NC'BA=ZCBA=45°,

：.ZCBC'=90°,

：.BCLBC,NBCC'=NBC'C=45°,

：.BC=BC'=4,

根据勾股定理可得OC'=y/BC'2+BD2=V32+42=5.

12.如图，在菱形ABCQ中，AC=6V2,BD=6,E是BC边的中点，P,M分别是AC,AB

上的动点，连接PE,PM,则PE+PM的最小值是（）

A.6B.3A/3C.2V6D.4.5

【解答】解：如图，作点E关于AC的对称点E',过点E'作E'于点”，交

AC于点P,

则点尸、M使PE+PM取得最小值，

PE+PM=PE'+PM=E'M,

四边形488是菱形，

...点戌在C£）上，

•.,AC=6&,30=6,

：.AB=J（3V2）2+32=3V3,

由S姚ABCD=14C"£）=AB・E'M得［X6&X6=3V5・E'M,

解得：E'M=2遍,

即PE+PM的最小值是2显,

故选：C.

13.如图，矩形A80c的顶点A的坐标为（-4,5）,。是08的中点，E是0C上的一点,

当△力£）E的周长最小时，点E的坐标是（)

y

4510

A.(0,一)B.(0,一)C.(0,2)D.(0,——)

333

【解答】解：作A关于），轴的对称点M,连接A'。交y轴于E,

则此时，△4OE的周长最小,

•・•四边形A8OC是矩形,

：.AC//OB,AC=OB,

TA的坐标为(-4,5),

・・・A'(4,5),B(-4,0),

・・•。是03的中点，

：.D(-2,0),

设直线ZM'的解析式为了=区+4

.(5=4k+b

**l0=-2k+b'

f5

l-

=6

<l

—5

=-

kI3

14.如图，在等边△4BC中，AB=9,N为AB上一点，且AN=3,8c的高线A力交BC于

点。，M是A。上的动点，连接8M,MN,则BM+MN的最小值是（）

【解答】解：连接CN,与AD交于点M.则CN就是BM+MN的最小值.

取8N中点E,连接OE,

•.,等边△ABC的边长为9,AN=3,

:.BN=AC-AN=9-3=6,

:.BE=EN=AN=3,

又,.•AO_L8C,

.•.OE是△BCN的中位线，

：.CN=2DE,CN//DE,

又为AE的中点，

为AD的中点，

，MN是△/1/）£：的中位线，

：.DE=2MN,

:.CN=2DE=4MN,

3

:.CM=KM

在直角△C£»M中，CD=^BC=4.5,0M=%。=竽，

CM=>/CD2+MD2=挈，

，CN=3夕.

♦：BM+MN=CN,

工BM+MN的最小值为3夕.

故选：D.

A

15.如图，在RtAABC中，AB=BC=4,D为BC的中点，在AC边上存在一点E,连接

ED,EB,则△3DE周长的最小值为，石+2_.

BIXDC

【解答】解：过B作BOJ_4c于。，延长8。至8',使80=8'O,连接B'D,交AC

于E,连接BE、B'C,

:.AC为BB，的垂直平分线，

:.BE=B'E,B'C=BC=4,

此时△BDE的周长为最小，

■:NB'BC=45°,

:./BB"C=45°,

：.ZBCB'=90°,

•.•。为8c的中点，

：.BD=DC=2,

：.B'D=>JB'C2+CD2=V42+22=2V5,

...△〃。后的周长二吕0+八^^后=)E+DE+BD=DB'+£>B=2b+2,

故答案为：2y+2.

16.如图，在菱形A3C。中，对角线AC=6,BD=8,点、E、尸分别是边A3、BC的中点,

点?在4c上运动，在运动过程中，存在PE+P尸的最小值，则这个最小值是5

解：AC交BO于。，

作E关于AC的对称点N,连接NF,交AC于尸，则此时EP+FP的值最小,

：.PN=PE,

；四边形ABC。是菱形，

：.ZDAB=ZBCD,AD=AB=BC=CD,OA=OC,OB=OD,AD//BC,

为AB的中点，

在A。上，且N为AO的中点，

,JAD//CB,

：.ZANP=ZCFP,ZNAP=ZFCP,

•：AD=BC,N为AD中点,F为BC中点,

：.AN=CF,

在△4NP和中

(/ANP=ZCFP

\AN=CF'

QNAP=乙CFP

：./XANP^/^CFP(ASA),

：.AP=CP,

即N尸过。点,

"."AN//BF,AN=BF,

：.四边形ANFB是平行四边形，

:.NF=AB,

•.,菱形ABCD,

11

J.ACLBD,0A=yC=3,B0=加=4,

由勾股定理得：AB=勾。2+8。2=5,

故答案为：5.

17.如图，正方形ABCD的边长为4,ADAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是

AD和4E上的动点，则DQ+PQ的最小值是，夜

【解答】解：作。关于AE的对称点。‘，再过O'作。'P1于P',

■:DD'LAE,

：.ZAFD=ZAFD',

"：AF=AF,ZDAE=ZCAE,

.♦.△OAF丝△£>'AF,

：.D'是。关于AE的对称点，AD'=AO=4,

：.D'P'即为OQ+P。的最小值，

•••四边形ABC。是正方形，

J.ZDAD'=45°,

：.AP'=P'D',

...在RtZXAP'D'中，

P'D'2+AP'2=心2,AD'2=16,

"CAP'=P'D',

2P'D'2=4。'2,即2尸'D'2=16,

：.P'D'=2VL

即DQ+PQ的最小值为2VL

故答案为：2企.

18.如图，等边△4BC中，A。为BC边上的高，点M、N分别在AO、AC上，且AM=CN,

连BM、BN,当BM+8N最小时，NMBN=30度.

BC,连接NH,BH.

图1

「△ABC是等边三角形，ADVBC,CHA.BC,

：.ZDAC=ZDAB=30°,AD//CH,

：./HCN=ZCAD=NBAM=30°,

\"AM=CN,AB=BC=CH,

.♦.△ABM丝△CaN(SAS),

：.BM=HN,

■:BN+HN'BH,

：.B,N