2021-2022学年江苏省常州市横山桥某中学高三数学理期末试卷含解析

2021-2022学年江苏省常州市横山桥高级中学高三数学

理期末试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共5（）分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知复数（l+'）z=l，i为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

参考答案：

A

略

+五

2.函数X-1的定义域为（)

A.[0,+s）B.（L+00）c[O」)U(L+8)D.[0，D

参考答案：

c

试题分析：■:;‘。"。"》之。且xw】，所以此函数定义域为[O.DUa+8）,故c正确.

考点।函数的定义域.

3.若复数（^-3a+2）+（a-1），是纯虚数，则实数a的值为（）

A.1B.2C.1或2D.-\

参考答案：

B

由〃一31+2=0且a-1。0得a=2,选B；

4.已知偶函数f（x）在区间【口，+0上满足广（*）》口，则满足“其？-2x）<“x）的x的取值范围

是

A.（-3.1）B.（一6-3）。（3,+0c（-3.3）D.（13）

参考答案：

D

5.设M是圆0：乂%2=9上动点，直线1过M且与圆0相切，若过A(-2,0),B(2,0)

两点的抛物线以直线1为准线，则抛物线焦点F的轨迹方程是()

Z£z£

A.9-5=1(y¥0)B.5-9=1(yWO)

xi£z£

C.9+5=1(yWO)D.5+9=1(yNO)

参考答案：

C

【考点】圆与圆锥曲线的综合.

【分析】焦点到A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和，而距离之和为A和B

的中点0到准线的距离的二倍是定值，结合椭圆的定义得焦点的轨迹方程C是以A和B为

焦点的椭圆.

【解答】解：设A,B两点到直线1的距离分别为dz,

则di+d2=2d=6

又因为A,B两点在抛物线上，

由定义可知|AF|+|BF|=6>|AB],所以由椭圆定义可知，动点F的轨迹是以A,B为焦点，

长轴为6的椭圆(除与x轴交点).

方程为9+5=1(yWO),

故选C.

【点评】本小题主要考查椭圆的定义、圆锥曲线的轨迹问题等基础知识，考查数形结合思

想、化归与转化思想.属于基础题.

AD»BE=--

6.在边长为1的正三角形ABC中，设及7=230，C4=ZB,若—4则人的

值为()

A.2C.3D.3

参考答案:

D

考点：平面向量数量积的运算.

专题：平面向量及应用.

分析：由近=2而确定点D是BC的中点，根据向量加法、减法、数乘运算，用至、菽表

示出标和,丽，由条件和数量积的运算化简标•标=-4即可求出X的值.

解答：解：由题意画出图象如右图：

VBC=2BD,

―•—(TR+AC)

・•.D为BC的中点，则AI>2,

VCA=xCE,

-♦-♦-♦-♦-*—♦（/1-1\J.—•

则BE=AE-AB=CE-CA-AB=X7Ab-AB,

一一工

,:AD*BE=-4,

.-.2（疝+正）?[（1-T）AB]=-{

（1AB-AC窃2（l-亍）ACTr

人-AD+A-AC*AB=2

,1、*■/1x.21

（X）研・AC_屈2.（1-工）AC12

（_.）xixixl-i+（1-1）=-{

解得入=3,

故选：D.

点评：本题考查向量的数量积的运算，以及向量加法、减法、数乘运算及其几何意义，属

于中档题.

7.在各项不为零的等差数列｛〃,,｝中，20al7-〜『+2^=°,数列｛仇｝是等比数列，且

则1°62（砥17-砥19）的值为（）

A.1B.2C.4D.8

参考答案：

C

【分析】

根据等差数列的性质可知代入方程可求出均™，再根据等比数列的

性质/口-AmFof即可代入1呜（砥口-砥19）求解.

【详解】因为等差数列｛q｝中-口+〜9=物018,所以

2°»17--J+%®=4aMU-aMU2=0,

因为各项不为零，所以%™=4,

因为数列是等比数列，所以/口曰6

所以砥(**»»)=|°8216=4,故选c.

【点睛】本题主要考查了等差数列中，当"》+”=「+[时，,+%=，+%,等比数列

中，当稹+”=,+0时，，-，=%-%,属于中档题.

2T

Z---------分

8.已知复数1+1,则“在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

参考答案：

A

略

x

x-1

9.设f(x)=e,g(x)=ax+3-3a(a>0),若对于任意xy[O,2],总存在

xoe[O,2],使得g(xo)=f(xD成立，则a的取值范围是()

A.[2,+8)B.[1,2]C.[0,2]D.[1,+~)

参考答案：

B

【考点】函数的值.

【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用.

X

x-1

【分析】求解当X[E[0,2],f(x)=e的值域，xo£[O,2],g(x)=ax+3-3a(a>

0)值域，根据题意可知f(x)的值域是g(x)的值域的子集.可得a的取值范围.

【解答】解：当心£[0,2],

x

x-1

函数f(x)=e,

1-X

x—1

则f'(x)=e,

令f'(x)=0,解得：x=l,

当x在(0,1)时，f'(x)>0,二函数f(x)在(0,1)上单调递增；

当x在(1,2)时，f'(x)<0,.•.函数f(x)在(1,)上单调递减；

所以：当x=l时，f(x)取得最大值为1.

当x=0时，f(x)取得最小值为0.

故得函数f(x)的值域MG[0,1].

当XoG[0,2],

Va>0

函数g(x)=ax+3-3a在其定义域内是增函数

当x=0时，函数g(x)取得取得最小值为：3-3a.

当x=2时，函数g(x)取得取得最大值为：3-a.

故得函数f(x)的值域NW[3-3a,3-a].

VM?N,

(3~3a40

解得：lWaW2.

故选B.

【点评】本题考查了函数的单调性的运用求函数的值域问题，恒成立问题转化为不等式问

题.属于中档题.

10.已知命题p：?xoeR,sinx()>l,则()

A.?p：?xo^R,sinxo<lB.?p：?x£R,sinx>l

C.?p：?x()£R,sinx()>1D.?p：?x£R,sinx<l

参考答案：

D

【考点】命题的否定.

【分析】本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定

即可.

【解答】解：•命题p”?xo6R,sinxo>l"是一个特称命题

它的否定是:"?xGR,sinx<l"

故选D

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

3+2i_

11.2^=_______________

参考答案：

i

12.函数〃力=2lsin吊+3的最小正周期是

参考答案：

打

13.在锐角^ABC中，已知AB=2J5,BC=3,其面积SAABC=M,则aABC的外接圆面积

为-.

参考答案：

27K

8

【考点】正弦定理.

【分析】由题意和三角形的面积公式求出sinB,由锐角三角形的条件和平方关系求出

cosB,由余弦定理求出AC,由正弦定理求出aABC的外接圆的半径，代入圆的面积公式求

出答案.

【解答】解：・.・AB=2心BC=3,其面积二班，

贝》X2g3XsinB=3”得出空

「△ABC是锐角三角形，

I~—2/3

AcosB=V1-sin2B=3,

由余弦定理得，AC2=AB2+BC--2AB?BC?cosB

=12+9-、33=9,则AC=3,

AC3_

sinB3>/63^6

/.~=^2~,则^ABC的外接圆半径是一F,

1rx空1

...△ABC的外接圆面积S=4=8,

27几

故答案为：~8~.

【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，以及三角形的面积公式，考查化

简、变形能力.

14.直线L：(3+a)x+4y=5-3a和直线1”2x+(5+a)y=8平行，则a=.

参考答案：

-7

【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.

【专题】直线与圆.

【分析】根据两直线平行的条件可知，(3+a)(5+a)-4X2=0,且5-3aW8.进而可求

出a的值.

【解答】解：直线L：(3+a)x+4y=5-3a和直线k：2x+(5+a)y=8平行，

则(3+a)(5+a)-4X2=0,

即a2+8a+7=0.

解得，a=-1或a=-7.

又；5-3aW8,

.'.a#-1.

a=-7.

故答案为：-7.

【点评】本题考查两直线平行的条件，其中5-3a关8是本题的易错点.属于基础题.

6(5“一万”的展开式中天的系数是.(用数值作答)

参考答案:

525

32

77-rr

(5x-\)Tr+l=C^5x)(-y)=5^•尚•G-xR

二项式彳展开式的通项为2^2J'，令r5得

52525525

F'。故展开式中x2>‘的系数为f。

16.已知正方形ABC。，AB=2,若将沿正方形的对角线5。所在的直线进行翻折，

则在翻折的过程中，四面体工-BCD的体积的最大值是一.

参考答案：

20

亍

略

17.抛物线丁=T/的准线方程为.

参考答案：

1

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.（本小题满分12分）

某旅游爱好者计划从3个亚洲国家4AA3和3个欧洲国家BiBB中选择2个国家去旅

游。

（I）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

（II）若从亚洲国家和欧洲国家中个任选1个，求这2个国家包括人但不包括田的概

率。

参考答案：

解：（I）由题意知，从6个国家里任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：

（44）,（44），（44），（4鸣），耳）,（4，⑷，

（4,叫）乂44），（4,4），（4%），（4骂共15个，

所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：

31

(44)乂44)，(4,4)，共3个,则所求事件的概率为：「⑷一15一

(H)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：

(4,叫M4耳),(4,鸣),(44)乂44)，(4,4)哄9个

包括4但不包括号的事件所包含的基本事件有：(4㈤乂4㈤，共2个.

p=2

则所求事件的概率为：9.

19.(12分)甲、乙二人各有6张扑克牌，每人都是3张红心，2张草花，1张方片。

每次两人从自己的6张牌中任意抽取一张进行比较，规定：两人花色相同时甲胜,

花色不同时乙胜。

(I)此规定是否公平?为什么？

(II)若又规定：当甲取红心、草花、方片而获胜所得的分数分别为3、2、

1，否则得0分，求甲得分的期望.

参考答案：

解析：(I)设甲取红心、草花、方片的事件分别为A、B、C,乙取红心、

草花、方片的事件分划、,则事件A、4、B、*、C、U相互独

立，而事件44,BB',CC两两互斥，

尸⑷=尸⑷二尸(8)=尸»')=?产(C)=P(C,)=!

由题知2,3,6,

则甲取胜的概率：尸(44+B㈤+CC)=R4M+尸(以的+尸(CC)

1117

=尸(勾尸(4)+尸(B)尸(3)+尸(C)尸(C)=-+-+—=-

，乙取胜的概率为：1818..........................................................................6分

•.•甲取胜的概率#乙取胜的概率，

.•.此规定不公平...........................................................8

分

(II)设甲得分数为随机变量九则4取值为0,1,2,3.则外勺分布列为

40123

P111J

183694

£(^)=0x—+lx—+2xl+3xl=l

二甲得分的期望183694..............................12分

32

-A4-ax(x<1)9

"')=<%=0,x=-

20.已知函数心3在3处存在极值.

(1)求实数4法的值；

(2)函数丁=/W的图像上存在两点使得小4OB是以坐标原点。为直角顶点的直

角三角形，且斜边上3的中点在沙轴上，求实数c的取值范围；

(3)当。=2[]寸，讨论关于x的方程/0)=以(比6及)的实根的个数.

参考答案：

解(1)当x<l时，fXx)=-3x2+2ax+b

力0)=0，

因为函数在3处存在极值，所以I3解得”=1/=0

一/4-X2,(X<1),

(2)由⑴得[c(e*-

根据条件知A,B的横坐标互为相反数，不妨设/(T,/+d),B(Zj&)),(Z>0).

若£<1,则％)=-5+£、

由乙406是直角得，0405=0,即-£2+(/+/)(一/+1)=0,即+1=0此时

无解；

若£三1,则/(£)=c(e'"-D.由于AB的中点在V轴上，且/工08是直角，所以B点不

可能在x轴上，即1.由刀砺=0,即一£?+(/+d)c(e'T—I)、。，即

1

c=«+D(eJ)

因为函数丁="+1电"、I)在£>1上的值域是3+8),所以实数c的取值范围是(°，田).

1)

(3)由方程,5)二日，知l「-e,(xND,可知o一定是方程的根,

-X2+X,(x<1且XHO),

ke*—e

——,(x>l).

所以仅就xwO时进行研究：方程等价于x

-x2+X,(x0),

g(x)=<

构造函数X

对于X<1且XW0部分，函数g(x)=-―+X的图像是开口向下的抛物线的一部分,

^=——(-co,0)U(0»-]

当2时取得最大值4,其值域是4；

8'—8t。"(工-1)+C

对于X，]部分，函数gX-X，由gX?>,知函数g(X)在(L+8)

上单调递增.

人」

所以，①当W或上工0时，方程/(x)=H有两个实根；

②当牙时，方程'")=依有三个实根；

③当°<*<K时，方程,(x)=H有四个实根.

略

21.某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制）（均为整数）

分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题.

（I）求分数在［70,80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（II）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；

（III）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在［40,70）记0分，在［70,100］

记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望.

参考答案：

考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列.

专题：计算题；图表型.

分析：（I）由题意及频率分布直方图，设分数在［70,80）内的频率为x,建立方程解出

即可；

（II）有图及平均数的定义即可求估计本次考试的平均分；

（III）由题意若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在［40,70）记0分，在

［70,100］记1分，用X表示抽取结束后的总记分，得到X的分布列，在有期望的定义即

可求得.

解答：解：（I）设分数在［70,80）内的频率为x,根据频率分布直方图，则有

(0.01+0.015X2+0.025+0.005)X10+x=l,可得x=0.3,

所以频率分布直方图如图所示.