2022年中考数学压轴题含答案解析

2022年中考数学压轴题

1.如图，抛物线丫=公2+—+4交y轴于点4,并经过3（4,4）和C（6,0）两点，点。

的坐标为（4,0）,连接A。，BC,点F从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段

OC方向运动，到达点C后停止运动：点M同时从点D出发以每秒1个单位长度的速度

沿x轴正方向运动，当点尸停止时点M也停止运动.设点F的运动时间为f秒，过点尸

（2）以线段EH为斜边向右作等腰直角△EHG,当点G落在第一象限内的抛物线上时,

求出f的值；

（3）设△EFM与四边形AOC8重合时的面积为5,请直接写出S与，的函数关系式与相

应的自变量/的取值范围.

解：（1）由题意得：函数的对称轴为：x=2,则函数与x轴的另外一个交点坐标为（-2,

0）,

则函数的表达式为：y=a（x+2）（x-6）=a12）,

则-⑵=4,解得：a=

故抛物线的表达式为：产一步+3+4：

（2）将点A、。的坐标代入一次函数表达式并解得:

直线4。的表达式为：y=-x+4,

则点E、尸的坐标分别为：（64）、（60）,

3t1

则点〃（力47）,则点G（万，4一分），

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将点G的坐标代入表达式得：4-%V吟）24号）+4,

解得：仁学；

(3)点M(?+4,0),点E(t,4)、点F(60),

②2<W4时，

设直线EM交BC于点R,EF交AD于点K（34-力,

直线3c的表达式为：y=-2x+12,

联立上述两式并解得：x=8-r,

故点R(8-z,2r-4),

1I1、13)

S=S&EFM-S&RCM-S&KFD=7x4X4-7(f+4-6)(2r-4)—2x(4-t)~=—)广+8,-4：

③4<K6时，

同理可得：5=1(6-t)(6-r)X2=?-12r+36；

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1

-2+4£

2(0<t<2)

3

故-2+8t

24,(2<t<4)

t2-12t+36,(4<t<6)

2.如图1,已知直线y=2x+2与)，轴，x轴分别交于A,B两点，以B为直角顶点在第二象

限作等腰RlAABC

(1)求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；

(2)如图2,直线CB交y轴于E,在直线CB上取一点。，连接AD,若AO=4C,求

证：BE=DE.

⑶如图3,在(1)的条件下，直线AC交x轴于点M,P(-1,k)是线段8C上一

点，在x轴上是否存在一点N,使△8PN面积等于△8CM面积的一半？若存在，请求出

1,0),

过点C作轴于点4,

图1

；NHCB+NCBH=90°,NCBH+NABO=90°,：.NABO=NBCH,

NCHB=/8OA=90°,BC=BA,(AAS),

：.BH=OA=2,CH=OB,贝U点C(-3,1),

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]

m=3,

(b=2

故直线AC的表达式为：)=1A+2：

(2)同理可得直线CD的表达式为：尸一94…①，则点E(0,-1),

直线A。的表达式为：y=-3x+2…②，

联立①②并解得：x=l,即点。(1,-1),

点8、E、。的坐标分别为(-1,0)、(0,一分、(1,-1),

故点E是8。的中点，即8E=OE；

(3)将点8c的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线BC的表达式为：y=-^A—p

将点P坐标代入直线BC的表达式得：k=l，

直线AC的表达式为：y=Jx+2,则点M(-6,0),

115

S^BMC=-x5X1=

15I3

S/\BPN=NBXk=dNB,

亍LS4ABC/M=7=亍o

解得：NB=¥，

故点N(一13芋0)或eg7,0).

3.在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点B,与直线OC：y=x交

于C.

(1)如图1若直线A8的解析式：y=-2x+12

①求点C的坐标；

②求△OAC的面积；

(2)如图2,作NAOC的平分线ON,若AB工ON,垂足为E,且OA=4,P、Q分别为

线段OA、OE上的动点，连接A。与PQ,是探索AQ+P。是否存在最小值？若存在，求

出这个最小值；若不存在，说明理由.

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解：(1)①联立AB、0C的函数表达式得：｛；：：2X+12,「二：

点C(4,4)；

②直线AB的解析式：＞-=-2x+12

令y=0,则x=6,即0A=6,

11

S/^OAC=2xOAXyc=2X6X4=12；

(2)ON是/AOC的平分线，且AB_LON,

则点A关于ON的对称点为点C,AO=OC=4,

当C、Q、P在同一直线上，且垂直于x轴时，AQ+P。有最小值CP,

设：CP=OP=x,则2?=42=16,

解得：x=2/=CP.

3.如图，在RtZkABC中，ZACB=90",。为A8边上的一点，以为直径的。0交BC

于点E,交AC于点尸，过点C作CG_L4B交AB于点G,交AE于点H,过点E的弦EP

交A8于点。(EP不是直径)，点。为弦EP的中点，连结BP,BP恰好为的切线.

(1)求证：BC是。。的切线.

(2)求证：EF=ED.

3

(3)若sinNA8C=^，AC=15,求四边形C”Q£的面积.

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(1)证明：连接。£0P,

・・・AO为直径，点。为弦EP的中点，

・・・P£_LA8,点。为弦石尸的中点，

・・・A8垂直平分EP,

:・PB=BE,

•：OE=OP,OB=OB,

•••△BEOdBP。(SSS),

：・/BEO=/BPO,

〈BP为。。的切线，

：.ZBPO=90°,

：.ZBEO=90°,

：.OELBC,

・・・8C是OO的切线.

(2)证明：ZBEO=ZACB=90°,

：.AC//OEf

：.ZCAE=ZOEA,

•・・OA=OE,

：.ZEAO=ZAEO,

：.ZCAE=ZEAO,

：.EF=ED.

(3)解：YA。为的。。直径，点。为弦EP的中点,

J.EPLAB,

VCGLAB,

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.CG//EP,

VZACB=ZBEO=90°,

：.AC//OE,

：.ZCAE=ZAEO9

•：OA=OE,

：.ZEAQ=ZAEO,

：.ZCAE=ZEAOf

VZACE=ZAQE=90°,AE=AE,

：.AACE^AAQE(A4S),

：.CE=QEf

VZAEC+ZCAE=ZEAQ+ZAHG=90°,

：・NCEH=4AHG,

NAHG=/CHE,

：.ZCHE=ZCEHf

:・CH=CE,

:・CH=EQ,

・・・四边形CHQE是平行四边形，

•；CH=CE,

・•・四边形C"QE是菱形，

AG3

VsinZABC-sinZACG~—=一，

AC5

VAC=15,

・・・AG=9,

ACG=yjAC2-AG2=12,

VAACE^AA2E,

・・・AQ=4C=15,

JQG=6,

；HQ2=HG2+QG2,

.•.”Q2=(12-HQ)2+62,

解得：HQ=学,

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：.CH=HQ=-y,

1q

・•・四边形CHQE的面积=CH・GQ=-yx6=45.

4.如图，ZVIBC中，AB=ACf。。是△ABC的外接圆，B。的延长线交边AC于点D

(1)求证：NBAC=2NABD；

(2)当△BC。是等腰三角形时，求NBCD的大小；

(3)当AO=2,CO=3时，求边8c的长.

图1

t：AB=AC,

：.AB=宿

lOALBC,

：.ZBAO=ZCAO,

•：OA=OB,

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ZABD=ZBAO,

：.ZBAC=2ZABD.

(2)解：如图2中，延长40交8C于〃.

•：AB=AC,

：.ZABC=ZC,

:・/DBC=2/ABD,

VZDBC+ZC+ZBDC=180°,

・・・8NA5Q=180°,

・・・NC=3NABO=67.5°.

②若CD=CB,则NC8O=NCD8=3NABO,

：.ZC=4ZABD,

VZZ)BC+ZC+ZCDB=180°,

.'.10ZABD=180°,

:・/BCD=4/ABD=T2°.

③若O5=QC,则。与A重合，这种情形不存在.

综上所述，NC的值为67.5°或72°.

(3)如图3中，作AE〃8C交8。的延长线于E.

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A

图3

AEAD2

则—=—=

BCDC3

AOAE45

・•・一=—=设。8=04=4小OH=3a,

OHBH3

'：BH2=AB2-AH2=OB2-OH2,

，25-49。2=16/-9屋,

,225

"=防’

r万

：.BC=2BH=签.

6.已知，如图：/XABC是等腰直角三角形，ZABC=90°,A8=10,。为AABC外一点,

连接A。、BD,过。作OHLAB,垂足为“，交AC于E.

(1)若△ABO是等边三角形，求OE的长;

(2)若且tan/4DB=I求。E的长.

BD=AB,4

【解答】解：(1)：△AB。是等边三角形，AB=10,

AZADB=60°,AD=AB^\Q,

"JDHYAB,

1

：.AH=^AB=5,

：.DH=>JAD2-AH2="02—52=5V3,

•••△ABC是等腰直角三角形,

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AZCAB=45°,即NAE4=45°,

/\AEH是等腰直角三角形，

：.EH=AH=5,

：.DE=DH-EH=5V3-5；

(2)'：DH±AB,且tan/H£>B=X，

可设引/=3鼠则QH=4吼

根据勾股定理得：DB=5k,

'：BD=AB=W,

.•.54=10解得：k=2,

：.DH=S,BH=6,A”=4,

又,：EH=AH=4,

：.DE=DH-EH=4.

7.如图，已知O。是△ABC的外接圆，AB是。。的直径，。是4B延长线上的一点，AE

交。C的延长线于E,交。。于点F,且a

(1)试判断QE与00的位置关系并加以证明；

(2)若B0=叔，AE=4,求