专题01 与三角形的边有关（解析版）

专题01与三角形的边有关的四种题型例．若a，b，c是△ABC的三边，则化简a-b-c-b-a-c的结果是()A．2a-2bB．2b-2a【答案】B【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到a-b-c<0，b-a-c＜0，再根据绝对值的性质进行化简计算.【详解】根据三角形的三边关系，得a-b-c<0，b-a-c<0∴原式=-(a-b-c)--(b-a-c)=-a+b+c+b-a-c=2b-2a【点睛】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系.【变式训练】按要求完成下列各小题.(1)在△ABC中，AB=8，BC=2，AC的长为偶数，求△ABC的周长；(2)已知△ABC的三边长分别为3，5，a，化简a+1-a-8-2a-2.【答案】(1)△ABC的周长为18(2)a+1-a-8-2a-2=-3【分析】（1）根据三角形的三边关系以及AC的长为偶数，即可求得AC的长，从而即可得解；（2）根据三角形的三边关系可求得AC的取值范围，从而化简不等式计算即可.【详解】（1）解：根据三角形的三边关系得：8-2<AC<8+2，即6<AC<10.∴5-3<a<3+5，解得2<a<8，∴a+1-a-8-2a-2=a+1-(8-a)-2(a-2)=a+1-8+a-2a+4=-3.【点睛】本题主要考查了三角形的三边间的关系，熟记三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键.例．三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有个.【答案】3【分析】根据周长小于13，三角形三边为互不相等的整数，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定三边可选的数字为2、3、4、5，由此可得这样的三角形以及个数.【详解】解：根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于13，则其中的任何一边不能超过6.5；根据三角形各边为整数，所以任何一边都大于1，且小于6，故三边可选的数字为2、3、4、根据各边不相等可得，三边可以为：2、3、4；2、4、5；3、4、5；故这样的三角形共有3个，故答案为：3.【点睛】本题考查三角形三边关系，涉及分类讨论的思想．解答的关键是找到三边的取值范围及对三角形三边的理解把握.【变式训练1】△ABC的两边长为4和3，则第三边上的中线长m的取值范围是.【分析】作出草图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，然后根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之和小于第三边求出AE的取值范围，便不难得出m的取值范围.【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，在△ABD和△ECD中，∴△ABD≌△ECD（SAS∴4-3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，故答案为.【点睛】本题主要考查倍长中线法构造全等三角形和三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握倍长中线法构造全等三角形.【变式训练2】在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为.【答案】16或8【分析】本题由题意可知有两种情况，AB+AD=15或AB+AD=21．从而根据等腰三角形的性质及三角形三边关系可求出底边为8或16.【详解】解：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x又知BD将三角形周长分为15和21两部分∴可知分为两种情况①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8经验证，这两种情况都是成立的∴这个三角形的底边长为8或16故答案为：16或8【点睛】本题主要考查来了等边三角形的性质以及三角形的三边关系（两边之和大于第三边，两边只差小于第三边注意求出的结果燕验证三角形的三边关系，掌握分类讨论思想是解题的关键.【变式训练3】一个三角形有两边长分为3与2．若它的第三边的长为偶数．则它的第三边长为.【答案】2或4【分析】根据三角形的边的关系，求得第三边的取值范围，在结合偶数条件，即可确定答案.【详解】解：设第三边长为x根据三角形的边的关系可得：1＜x＜5，又由第三边为偶数，所以第三边长为2或4故答案为2或4【点睛】本题考查了三角形的三边关系，确定第三边的取值范围是关键．也可使用列举，但是容易因遗漏导致错误.例．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，CD:AD=1:2，连接BD，点E是线段BD上的面积是12，则△EFG的面积是.【答案】【分析】连接DF，CE．由题意中的线段的比和S△ABC=12，可推出S△ABD=S△ABC=8，S△CBD=S△ABC=4，从而可求出S△ABE=S△ABD=2，S△ADE=S△ABD=6．结合中点的性质即得出S△ADF=S△EDF=S△ADE=3，从而可求出S△CDF=S△ADF=进而得出S△ECF=S△ACF=S△ADF+S△CDF=最后即得出最后即可求出【详解】解：如图，连接DF，CE.=S△ABC=4.又∵BE:ED=1:3，∵点F是线段AE的中点，故答案为：.【点睛】本题考查线段的中点的性质，线段的n等分点的性质，与三角形的高有关的计算问题．正确的连接辅助线是解题关键.【变式训练1】如图，在△ABC中，D是边AB的中点，E、F分别是边AC上的三等分点，【答案】【分析】如图:连接AH，设S△CFH=a，S△ADH=b，根据“等底同高的三角形面积相等”可得S△ABF=S△ABC=60、S△ACH=3a、S△AFH=S△ACH-S△CFH=2a、S△ADC=S△BDC=S△ABC=45、S=b，进而列出二元一次方程组求解可得S△CFH=；同理：连接AG，设S△ADG=c，S△AEG=d，可得S△ADGE=c+d=9+12=21，最后根据SEFHG=S△ADC-S△ADGE-S△DHF即可解答.【详解】解：如图:连接AH，设S△CFH=a，S△ADH=b，E、F分别是边AC上的三等分点，△ABC的面积为90，∴AE=EF=CF=AC，S△ABF=S△ABC=60，S△ACH=3a，S△AFH=S△ACH-S△CFH=∵D是边AB的中点，△ADC=S△BDC=S△ABC=45，S△AHD=S△BHD=b如图:连接AG，设S△ADG=c，S△AEG=d，△ADC=S△ADG+S△AGC,即c+3d=45，S△ABE=S△ABG+S△AEG，即2c+d=30解得：故答案为.【点睛】本题主要考查了三角形中线、三角形的等分点、解二元一次方程组等知识点，通过做辅助线、明确各三角形之间的面积关系是解答本题的关键.【变式训练2】如图，点C为直线AB外一动点，AB=6，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为5时，线段AC长度的最小值为.【答案】5【分析】如图：连接BF，过点C作CH丄AB于点H，根据三角形中线的性质求得S△ABC=15，从而求得CH=5，利用垂线段最短求解即可.【详解】解：如图：连接BF，过点C作CH丄AB于点H，∵点D、E分别是AB、BC的中点，△ACE，S△AFD△CEF△BEF△BFD又∵点到直线的距离垂线段最短，故答案为：5.【点睛】本题考查了三角形中线的性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线、利用中线分析三角形的面积关系是解题的关键.【变式训练3】如图，在△ABC中，已知BD为△ABC的中线，过点A作AE丄BD分别交BC于点F、E，连接CF，若DF=2，AF=6，BE:EC=3:1，则S△ABC=.【答案】84【分析】根据BD为△ABC的中线，可得S△ADF=S△CDF，S△ABD=S△CBD，通过题中条件可求得S△AFB【详解】解：BD为△ABC的中线，:S△ADF=S△CDF，S△ABD=S△CBD，:S△FEB:S△FEC=3:1，S△AEB:设S△FEC=x，则S△FEB=3x，:S△AFB=4x+6-6=4x，根据S△AEB:S△AEC=3:1，列方程7x=3(x+12)，解得x=9，故答案为：84.【点睛】本题考查了三角形中线的性质，根据题中的边长之比得出对应的三角形的面积之比是解题的关键.CB⊥x轴于B.(1)直接写出三角形ABC的面积；(2)如图②,若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数；(3)在y轴上是否存在点P，使得三角形ACP和三角形ABC的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)4(2)45°(3)P(0，-1)或(0，3)【分析】（1）先依据非负数的性质可求得a、b的值，从而可得到点A和点C的坐标，接下来，再求得点B的坐标，最后，依据三角形的面积公式求解即可；（2）过E作EF∥AC，首先依据平行线的性质可知∠ODB=∠6，∠CAB=∠5，接下来，依据平行公理的推理可得到BDⅡACⅡEF，然后，依据平行线的性质可得到∠1=∠3，∠2=∠4，然后，依据角平分线的性质可得到∠3=∠CAB，∠4=∠ODB，最后，依据∠AED=∠1+∠2=∠3+∠4求解即可；（3）①当P在y轴正半轴上时，设点P（0，t分别过点P，A，B作MNⅡx轴，ANⅡy轴，BMⅡy轴，交于点M，N，然后，用含t的式表示出AN，CM的长，然后依据S△APC=S梯形MNAC-S△CMP-S△ANP=4列出关于t的方程求解即可；②当P在y轴负半轴上时，分别过点P，A，B作MNⅡx轴，ANⅡy轴，BMⅡy轴，交于点M，N，设点P（0，a然后用含a的式表示出AN、CM的长，最后，依据S△APC=S梯形MNAC-S△ANP-S△CMP=4列方程求解即可.∵CB⊥AB，故答案为：4.（2）:CBⅡy轴，BDⅡAC，:上CAB=上5，上ODB=上6，上CAB+上ODB=上5+上6=90°,过E作EFⅡAC，如图所示：:BDⅡAC，:BDⅡACⅡEF，:AE、DE分别平分上CAB、上ODB，（3）①当P在y轴正半轴上时，如图所示：:S△APC=S梯形MNAC-S△CMP-S△ANP=4，解得：t=3；②当P在y轴负半轴上时，如图所示：∵S△APC=S梯形MNAC-S△ANP-S△CMP=4，解得：a=-1；【点睛】本题主要考查的是三角形的综合应用，解答本题主要应用了非负数的性质、三角形的面积公式，平行线的性质，依据三角形的面积公式、梯形的面积公式依据图形中相关图形之间的面积关系列出关于a和t的方程是解题的关键.【变式训练1】如图1，已知点A(-2,0)，B(0,-4)，C(-4,-6)，过点C作x轴的平行线m，一动点P从C点出发，在直线m上以1个单位长度/秒的速度向右运动，与此同时，直线m以2个单位长度/秒的速度竖直向上运动.(1)直接写出：运动1秒时，点P的坐标为______；运动t秒时，点P的坐标为______用含t的式表示）(2)若点P在第三象限，且S△ABP=8，求点P的坐标；(3)如图2，如果将直线AB沿y轴负半轴向下平移n个单位长度，恰好经过点C，求n的值.【答案】(1)(-3,-4)，(-4+t,-6+2t)(3)10（2）连接OP，S△ABP=S△AOP+S△BOP-S△AOB，由此可解；（3）由平移的性质和规律即可得出结论.【详解】（1）解：由题意可知，每运动1秒时，点P向右移动1个单位长度，向上移动2个单位长度.运动1秒时，点P的坐标为(-4+1,-6+2)，即P(-3,-4)；运动t秒时，点P的坐标为(-4+t,-6+2t)，故答案为：(-3,-4)，(-4+t,-6+2t)；（2）解：如图，连接OP.∵点P(-4+t,-6+2t)，在第三象限，∴-4+t<0，-6+2t<0，∴点P到y轴的距离为-4+t=4-t，点P到x轴的距离为-6+2t=6-2t，∵S△ABP=S△AOP+S△BOP-S△AOB=8，解得：∴-4+t=-，-6+2t=-5，∴点P的坐标为；（3）解：如图，设直线m与y轴交于点D.∵C(-4,-6)，∴D(0,-6)，∵B(0,-4)，-4-(-6)=2，∴直线AB沿y轴负半轴向下平移2个单位长度时经过点D，∴直线AB沿y轴负半轴每向下平移2个单位长度，直线AB与直线m的交点向左平移1个单位长度，∵点D向左平移4个单位长度到达点C，∴将直线AB沿y轴负半轴向下平移n个单位长度，恰好经过点C时，n=2+2×4=10，即n的值为10.【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形的特点、三角形面积、平移的性质等知识点，综合性较强，熟练掌握三角形面积公式和平移的性质是解题的关键.【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，A(a，0)，C(b，2)，且满足(1)求三角形ABC的面积.(2)如图2，若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数.(3)若AC交y轴于点F，在y轴上是否存在点P，使得三角形ACP的面积是三角形AOF的面积的4倍？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)4(2)45°(3)P坐标为(0，3)或(0，-1)【分析】（1）根据非负数的性质可列出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b，即得出A、B、C三点坐标，然后根据三角形面积公式计算即可；（2）过E作EF∥AC，根据平行线的性质结合角平分线定义即可求解；（3）连接OC．根据S△AOC=S△AOF+S△FOC和S△AOF=S△FOC，即可求出S△AOF=1，从而可求出S△ACP=4．分类讨论①当P点在x轴上方时，作MN∥x轴，AM∥y轴，BN∥y轴，分别交于点M、N．设P(0，m)，根据S△APC=S梯形ACNM一S△CPN一S△APM，即可求出m的值，即得出答案；②当P点在x轴下方时，作MN,,∥x轴，AM,∥y轴，BN,∥y轴，分别交于点M,、N,．设设P(0，n)，根据S△APC=S梯形ACN,M,一S△CPN,一S△APM,，即可求出n的值，即得出答案.解得：.∵CB⊥AB，（2）如图，过E作EFⅡAC.:CB丄x轴，:CBⅡy轴，上CBA=90°,:上ODB=上6.又:BDⅡAC，:上CAB=上5，:上CAB+上ODB=上5+上6=180°-上CBA=90°.:BDⅡAC，:BDⅡACⅡEF，:上1=上3，上2=上4.:AE，DE分别平分上CAB，上ODB，:上3=上CAB，上上ODB，:上AED=上1+上2=上3+上4=(上CAB+上ODB)=45°;（3）如图，连接OC.:S△AOC=AO.yC=×2×2=2，S△AOC=S△AOF+S△FOC，:S△AOF+S△FOC=2.:S△AOF=AO.OF，S△FOC=yC.OF，AO=yC=2，分类讨论：①当P点在x轴上方时，如图，作MN∥x轴，AM∥y轴，BN∥y轴，分别交于点M、N.设P(0，m)则AM=m，MP=2，NP=2，NC=m-2，MN=4，△APC=S梯形ACNMS△CPNS△APM∴此时点P坐标为(0，3)；②当P点在x轴下方时，如图，作MN//∥x轴，AM/∥y轴，BN/∥y轴，分别交于点M/、设P(0，n)，△APC=S梯形ACN/M/S△CPN/S△APM/∴此时点P坐标为(0，-1).综上可知点P坐标为(0，3)或(0，-1).【点睛】本题考查非负数的性质，解二元一次方程组，坐标与图形，角平分线的定义，三角形的面积公式，平行线的判定和性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键.1．如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF=CA，延长AB至点D，使得BD=2AB，延长BC至点E，使得CE=3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF=36，则S△ABC为()【答案】B【分析】先设△ABC的面积为m，再根据底共线，高相等，面积的比等于底边的比，将其余各个三角形的面积表示出来，总面积为36，解得△ABC的面积.【详解】解：如图，连接EA、CD，设△ABC的面积为m，:△BCD的面积为2m，△ACD的面积为3m，:△AFD的面积为3m，:△ACE的面积为3m，△AEF的面积为3m，△ECD的面积为6m，:m=2，即△ABC的面积为2故选：B【点睛】本题考查了三角形的面积问题，等高且共底的三角形面积比是底边的比这个性质是解题的关键.2．已知如图，△ABC是等腰直角三角形，上ACB=9在y轴上，点B在x轴上方.(1)如图1，点C的坐标是(0,2).②若A的坐标是(一4,0)，求点B的坐标.(2)如图2，若x轴恰好平分上BAC，BC与x轴交于点E，过点B作BF丄x轴于F，问AE与BF有怎样的数量关系？并说明理由.(2)AE=2BF；理由见解析【分析】（1）①根据直角三角形的性质即可得到结果；②过点B作BH丄y轴，证明即可得到AE=2BF②过点B作BH丄y轴，在△CAO和△BHC中，lAC=BC∴B(2,6)延长BF、AC交于点H，∵AF=AF，∴BF=FH，即BH=2BF，∴△ACE≌△BCH，【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及角平分线的定义，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形3．不等边ΔABC两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，求第三条高的长.【答案】第三条高的长为5.【分析】可设高为12时对应边长x，则利用等面积法可求得长度为4的高对应的边长为3x，设第三边y，根据三边关系有3x一x<y<3x+x，即2x<y<4x，第三边上的高（设为z利用等面积法可知满足，求得z取值，再利用z为整数和三角形不等边可求得【详解】设长度为12的高对应的边长为x则长度为4的高对应的边长为3x故第三边上的高满足∵z为整数当z=4时，三角形为等腰三角形，不符合题意故z=5.第三条高的长为5.【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解本题的关键是灵活利用等面积法将三边长度联系起来，并注意结果一定要符合题意，4．三边长均为整数，且周长为30的不等边三角形有多少个？【答案】18【分析】不妨设三角形三边为a、b、c，且a≤b≤c，由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值范围，以此确定c的值，再确定a、b的值.【详解】解：设三角形三边为a、b、c，且a≤b≤c，又∵c为整数，都是整数的三角形共有19个，其中不等边三角形共有18个.【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系以及周长正确确定边的范围是解题关键.(2)动点P从点O出发沿着y轴的正半轴以每秒1个单位长度的速度运动，连接AP，设△APC的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的关系式；(3)在（2）的条件下，点D是直线BC上一点，点D的横坐标为1，连接OD，DA，若△DOA的面积为2S，求点P的坐标.