专题05 最短路径（解析版）（人教版）

专题05最短路径的三种考法类型一、坐标系的最值问题（和最小，差最大问题）例．在平面直角坐标系中，B(2，2·)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）.（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD.①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值.【答案】（1）①见解析；②点C的坐标为(04)或(0，4【分析】（1）①证明△ABD≌△AOC（SAS得出∠ABD=∠AOC＝90°即可；②存在两种情况：当点D落在第二象限时，作BM⊥OA于M，由等边三角形的性质得出AO=2OM＝4，同①得△ABD≌△AOC（SAS得出BD＝OC，∠ABD=∠OAC＝90°,若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，得出OC＝AB＝OA＝4，则C（04当点D落在第一象限时，作BM⊥OA于M，由等边三角形的性质得出AO＝2OM＝4，同①得△ABD≌△AOC（SAS得出BD＝OC，∠ABD=∠OAC＝90°,若△ABD是等腰三角形，则（2）作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，此时OM+MN的值最小，由等边三角形的性质和勾股定理求出ON＝2·即可.【详解】解1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形，∴∠BAD=∠OAC，∴△ABD≌△AOC（SAS∴∠ABD=∠AOC＝90°,∴AB⊥BD；②解：存在两种情况：当点D落在第二象限时，如图1所示：作BM⊥OA于M，∵△OAB是等边三角形，同①得：△ABD≌△AOC（SAS若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示：作BM⊥OA于M，∵△OAB是等边三角形，同①得：△ABD≌△AOC（SAS若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（04）或（0，4（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如图2所示：∵△OAB是等边三角形，ON'⊥AB，FB是OA边上的中线，∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，∴N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小，∴OM+MN＝OM+MN'＝ON， ∵ON=·AO2-AN2=·42-22＝2·,即OM+NM的最小值为2.【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及最小值问题；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键.轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，以线段PB为边构造等腰直角△BPE（P为顶点连接AE.(1)如图1所示，直接写出点A的坐标为，点B的坐标为；(2)如图2所示，当点P在点O，A之间运动时，则AB、AE之间的位置关系为；并加以证(3)如图3所示，点P在x轴上运动过程中，若AE所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为，当OE十BE的值最小时，请直接写出此时OE与BE之间的数量关系.（2）过点E作EHTx轴于H，证明△BOP≌△PHE(AAS)，由全等三角形的性质得出则可得出结论；O与G关于直线AF对称，连接BG交AF于E，连接OE，则OE=EG，根据三角形的面积关系可得出BE=2OE.2（2）证明：过点E作EH丄x轴于H，∵△BPE是等腰直角三角形，∴△BOP≌△PHE(AAS)，故答案为垂直；∴F(0,1)；取点G(1,1)，连接FG,OG，∴O与G关于直线AF对称，连接BG交AF于E，连接OE，则OE=EG，∵E到FB,FG的距离相等，BF=2，FG=1，【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键.【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，2·)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD.①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值.【答案】（1）①见解析；②点C的坐标为(04)或(0，4)2）2【详解】解1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形，②解：存在两种情况：当点D落在第二象限时，如图1所示：作BM⊥OA于M，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS∴BD＝OC，∠ABD=∠OAC＝90°,当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示：作BM⊥OA于M，同①得：△ABD≌△AOC（SAS∴BD＝OC，∠ABD=∠OAC＝90°,综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（04）或（0，4（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如图2所示：∵△OAB是等边三角形，ON'⊥AB，FB是OA边上的中线，∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，“ON'丄AB，MN丄OB，:MN＝MN'，:N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小，:OM+MN＝OM+MN'＝ON，AN2类型二、几何图形中的最短路径问题上．当CP十CD十DE取最小值时，此时7PCD的度数为()【答案】D【分析】作点P关于OA的对称点P'，作点E关于OB的对称点E'，连接OP'、PP'、OE'、当P'、C、D、E'在一条直线上，且P'E'TOE'时，CP十CD十DE取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以求出7PCD.【详解】解：“7AOB=24O，OP平分7AOB，:7AOP=7BOE=12O，当P'、C、D、E'在一条直线上，且P'E'丄OE'时，CP+CD+DE取最小值，故选：D.【点睛】本题考查了最短路径问题，等腰三角形等边对等角，直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，垂线段最短，通过作对称点化折为直是解题的关键.线段BD，BC上的动点，BM=CN，当AM+AN最小时，上MAD=.【答案】12.5O【分析】在BC下方作△CNA,，使△CNA,≌△BMA，连接AA,，则AM+AN最小值为AA,，此【详解】解：在BC下方作△CNA,，使△CNA,≌△BMA，连接AA,.即AM+AN最小值为AA,，此时A、N、A,三点在同一直线上.【点睛】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.【变式训练1】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=20，BC=32，P是7BAC的平分线上一动点，连接PC，PD，则PC十PD的最小值为.【答案】20【分析】先确定点P是等腰△ABC对称轴上一点，再构造将军饮马模型得到PC十PD的最小值为BD的长，从而使问题得到解决.【详解】连接PB，∵△ABC是等腰三角形，AB=AC=20，AP是7BAC的角平分线，∴AP所在直线为等腰△ABC对称轴，点B与点C关于AP对称，∴PB=PC，∴PC+PD=PB+PD≥BD，即PC+PD的最小值为BD的长.∵△ABD是等边三角形，∴BD=AB=20，∴PC+PD的最小值为20．故答案为：20.【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题，涉及等腰三角形，等边三角形的性质，确定问题是将军饮马模型问题是解题的关键.【变式训练2】如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则CM+MD的最小值为()【答案】C得到MC+MD＞AD，当A，M，D三点共线时，CM+MD取得最小值，且最小值为AD，计算即可.【详解】解：连接MA，AD，∵等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积为24，D为BC边的中点，△ABC=BC.AD=×4×AD=24，解得AD=12，∵腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，∴CM=MA，当A，M，D三点共线时，CM+MD取得最小值，且最小值为AD=12，故选：C.【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，线段的垂直平分线性质，三角形不等式求最值，熟练掌握三角形不等式求最值是解题的关键.【变式训练3】如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是()【答案】D【分析】首先证明点E在射线CE上运动(∠ACE=30°),因为AF为定值，所以当AE+EF最小时，△AEF的周长最小，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小，根据等边三角形的判定和性质即可求出∠CFE的大小.【详解】解：∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°,∴∠BAD=∠CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵AF=CF，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°,∴点E在射线CE上运动(∠ACE=30°),作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小，∵AF=CF，∴FM⊥AC，【点睛】本题考查轴对称——最短距离问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线CE上运动(∠ACE=30°),本题难度比较大，属于中考选择题中的压轴题. 【答案】2·7.【分析】以BC为边作等边三角形BCG，连接FG，AG，作GH⊥AC交AC的延长线于H，根据等边三角形的性质得到DC=EG，根据全等三角形的性质得到FC=FG，于是得到在点D的运动过程中，AF+FC=AF+FG，而AF+FG≥AG，当F点移动到AG上时，即A，F，G三点共线时，AF+FC的最小值=AG，根据勾股定理即可得到结论.【详解】以BC为边作等边三角形BCG，连接FG，AG，作GH⊥AC交AC的延长线于H，∵△BDE和△BCG是等边三角形，∴△DFC≌△EFG（SAS∴在点D的运动过程中，AF+FC=AF+FG，而AF+FG≥AG，∴当F点移动到AG上时，即A，F，G三点共线时，AF+FC的最小值=AG， 【点睛】此题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.类型三、最短路径问题的实际应用例1.如图1，直线a，b表示一条河的两岸，且a∥b现在要在这条河上建一座桥，桥的长度等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄A经桥过河到村庄B现在由小明、小红两位同学在图2设计两种：小明：作AD丄a，交a，b于点D，点C．在CD处建桥．路径是A-C-D-B.小红：作AD丄a，交a，b于点D，点C；把CD平移至BE，连AE，交b于G，作GF丄a于F．在FG处建桥．路径是A-G-F-B.（1）在图2中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由.（2）假设新桥就按小红的设计在FG处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10点某小船从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流方向与桥保持垂直船在静水每小时14千米，水流每小时2千米，第二天早上6点时小明发现船在两桥之间（未到两桥）且离旧桥40千米处行驶求这两桥之间的距离.【答案】（1）小红设计的路径更短一些，原因见解析2）两桥之间的距离为60千米或千米或80千米；【详解】解1）小红设计的路径更短一些；理由如下：所以小明的路线比小红的要长，即：小红设计的路径更短一些；（2）设小船一共走了n次完整的来回，两桥之间距离为s千米，由题可得顺流所需时间为逆流所需要的时间是，所以一个完整来回所需时间为次完整的来回所需时间为：；∵小船早上10点出发，第二天早上6点发现，∴小船行驶了20小时；①若小明发现小船时，船是从旧桥到新桥的，则依题意可得=20，∵n为整数，且s>40，即：两桥之间的距离为60千米；②若小明发现小船时，船是从新桥到旧桥的，则依题意可得=20，∵n为整数，且s>40，800即：两桥之间的距离为千米或80千米；综上可得：两桥之间的距离为60千米或千米或80千米；例2．如图a，圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：路线1：高线AB＋底面直径BC，如图a所示，设长度为l1.路线2：侧面展开图中的线段AC，如图b所示，设长度为l2.(1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由；(2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路线进行计算结果保留π)①此时，路线1的长度l1=，路线2的长度l2=；②所以选择哪条路线较短？试说明理由.【答案】(1)选择路线1较短，理由见解析2;②选择路线2较短，理由见解析【分析】（1）利用勾股定理计算后，比较大小即可；（2）把条件改成：“圆柱底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路线进行计算即可.剪开后，AB=2cm，BC=×8π=4πcm，AB2+BC2.②l-l=82-(16+4π2)=48-4π2=4(12-l即l1>l2所以选择路线2较短.【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便，比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．注意运用类比的方法做类型题.【变式训练】阅读下列材料，解决提出的问题：最短路径问题:如图（1点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可知这个交点即为所求.如图（2如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A、点B的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B，这时对于直线l上的任一点C，都保持CB＝CB，从而把问题（2）变为问题（1因此，线段AB与直线l的交点C的位置即为所求.为AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最小.任务：数学思考（1）材料中划线部分的依据是.（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是填字母代号即可）A．转化思想B．分类讨论思想C．整体思想迁移应用（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠BAC＝15°,点P为AC边上的动点，点D为AB边上的动点，若AB＝8cm，则BP+DP的最小值为cm.【答案】（1）两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边2）A3）4【详解】（1）材料中划线部分的依据是两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；故答案为两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是转化的思想，故答案为A.（3）如图（3）中，作点B关于点C的对称点B′，连接AB′．作BH⊥AB′于H.∴PB+PD＝PB+PD′，根据垂线段最短可知，当点D′与H重合，B，P，D′共线时，PB+PD的最小值＝线段BH的长，故答案为4.课后训练1．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB=°.【答案】105°【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的交点时，BF＋CE的值最小，求出此时∠AFB＝105°.【详解】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴∠ACH＝90°−60°=30°,∴△AEC≌△CFH，故答案为105°.【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当BF＋CE取得最小值时确定点F的位置，有难度.点，则AP+PQ的最小值等于()【答案】D作A关于BC的对称点A’，过点A’作A’Q丄AC，交AC于点Q，交BC于点P，【点睛】本题主要考查利用轴对称求线段和最小问题．熟练掌握通过构造轴对称解决线段和最小是解题的关键.DE上分别找到一点M、N，使得△AMN的周长最小，则上AMN+上ANM的度数为()【答案】C【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于BC和ED的对称点A'，A''，即可得出上A'+上A''='')即可得出答案.【详解】解：作A关于BC和ED的对称点A'，A''，连接A'，A''，交BC于M，交ED于N，则A'，A''即为△AMN的周长最小值．作EA延长线AH，''''故选：C.【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键.4．如图，△ACD中，AB垂直CD于点B，且AB=CD，在直线CD上方有一动点M满足S△MCD=S△ACD，则点M到C、D两点距离之和最小时，上MDB=度.【答案】45【分析】由三角形面积关系得出点M在与CD平行，且到CD的距离为AB的直线l上，作答案.解：:S△MCD=S△ACD，:点M在与CD平行，且到CD的距离为AB的直线l上，:lⅡCD，作点D关于直线l的对称点D¢,连接D’C交l于点M，如图所示，,故答案为：45.【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形面积等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.5．如图，在锐角ΔABC中，AC=8cm，SΔABC=18cm2，AD平分上BAC，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是cm.【答案】【分析】根据题意画出符合题意的图形，作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上求出BM+MN=BR，根据垂线段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值.【详解】解：作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上）∵AD平分上BAC，△ABC是锐角三角形∴R必在AC上∵N关于AD的对称点是R∴MN=MR∴BM+MN=BM+MR∴BM+MN=BR≥BE（垂线段最短）∴×8×BE=18即BM+MN的最小值是cm.故答案为.【点睛】本题考查了轴对称——最短路径问题.解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值.6．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为.【分析】作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，【详解】解：∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵等边三角形ABC是边长为2，∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2， 故BE+ED的最小值为7.7．如图1，已知直线l的同侧有两个点A、B，在直线l上找一点P，使P点到A、B两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题.（1）如图2，在平面直角坐标系内，点A的坐标为(1,1)，点B的坐标为(4,3)，动点P在x轴上，求PA+PB的最小值；M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为.则CF+EF+DE的最小值为. 【答案】（1）52）333）13.【分析】（1）作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，PA+PB的最小值即为A'B的长，并构造以A'B为斜边的直角三角形利用勾股定理求出A'B长即可；（2）作BH丄AC于点H，交AD与点M'，过点M'作M'N'丄AB于点N'，则BM+MN的最小值为BM'+M'N'，由角平分线的性质可得M'N'=M'H，则BM'+M'N'=BH，根据直角三角形30度角的性质结合勾股定理求得BH长即可；（3）作点C关于OB的对称点C'，作点D关于OA的对称点D'，连接C'D'分别交OA、OB于点E',F'，连接OC',OD'，则CF+EF+DE的最小值为C'D'的长，由对称的性质可得OD',OC'长，根据勾股定理求出C'D'长即可.【详解】解1）作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，PA+PB的最小值即为A'B的长，构造以A'B为斜边的直角三角形':B(4,3)'在RtΔA'BC中，由勾股定理得A'C2+BC2=A'B2所以PA+PB的最小值为5.（2）作BH丄AC于点H，交AD与点M'，过点M'作M'N'丄AB于点N'，则BM+MN的最小值为BM'+M'N'，:AD平分上BAC，BH丄AC，M'N'丄AB:MN=MH:BM+MN=BM+MH=BH在RtΔABH中，o:上BAC=60o:上ABH=30由勾股定理得AH2+BH2=AB2 :BM+MN=BH= 所以BM+MN的最小值为33.（3）作点C关于OB的对称点C'，作点D关于O