专题05 最短路径（原卷版）（人教版）

专题05最短路径的三种考法类型一、坐标系的最值问题（和最小，差最大问题）例．在平面直角坐标系中，B(2，2·)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）.（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD.①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值.【变式训练1】如图所示，点A(a,0)，B(0,b)，且a，b满足(a-1)2+|2b-2|=0．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，以线段PB为边构造等腰直角△BPE（P为顶点连接AE.(1)如图1所示，直接写出点A的坐标为，点B的坐标为；(2)如图2所示，当点P在点O，A之间运动时，则AB、AE之间的位置关系为；并加以证(3)如图3所示，点P在x轴上运动过程中，若AE所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为，当OE+BE的值最小时，请直接写出此时OE与BE之间的数量关系.【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，2·)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD.①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值.类型二、几何图形中的最短路径问题上．当CP十CD十DE取最小值时，此时7PCD的度数为()例2．如图，在三角形△ABC中，7BAC=50o，AB=AC，BDTAC于D，M，N分别是线段BD，BC上的动点，BM=CN，当AM十AN最小时，7MAD=.【变式训练1】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=20，BC=32，△ABD是等边三角形，P是上BAC的平分线上一动点，连接PC，PD，则PC+PD的最小值为.【变式训练2】如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则CM+MD的最小值为()【变式训练3】如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是()类型三、最短路径问题的实际应用例1.如图1，直线a，b表示一条河的两岸，且a∥b现在要在这条河上建一座桥，桥的长度等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄A经桥过河到村庄B现在由小明、小红两位同学在图2设计两种：小明：作AD丄a，交a，b于点D，点C．在CD处建桥．路径是A-C-D-B.小红：作AD丄a，交a，b于点D，点C；把CD平移至BE，连AE，交b于G，作GF丄a于F．在FG处建桥．路径是A-G-F-B.（1）在图2中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由.（2）假设新桥就按小红的设计在FG处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10点某小船从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流方向与桥保持垂直船在静水每小时14千米，水流每小时2千米，第二天早上6点时小明发现船在两桥之间（未到两桥）且离旧桥40千米处行驶求这两桥之间的距离.例2．如图a，圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：路线1：高线AB＋底面直径BC，如图a所示，设长度为l1.路线2：侧面展开图中的线段AC，如图b所示，设长度为l2.(1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由；(2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路线进行计算结果保留π)①此时，路线1的长度l1=，路线2的长度l2=；②所以选择哪条路线较短？试说明理由.【变式训练】阅读下列材料，解决提出的问题：最短路径问题:如图（1点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可知这个交点即为所求.如图（2如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A、点B的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B，这时对于直线l上的任一点C，都保持CB＝CB，从而把问题（2）变为问题（1因此，线段AB与直线l的交点C的位置即为所求.为AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最小.任务：数学思考（1）材料中划线部分的依据是.（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是填字母代号即可）A．转化思想B．分类讨论思想C．整体思想迁移应用（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠BAC＝15°,点P为AC边上的动点，点D为AB边上的动点，若AB＝8cm，则BP+DP的最小值为cm.课后训练1．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB=°.点，则AP+PQ的最小值等于()DE上分别找到一点M、N，使得△AMN的周长最小，则上AMN+上ANM的度数为()4．如图，△ACD中，AB垂直CD于点B，且AB=CD，在直线CD上方有一动点M满足S△MCD=S△ACD，则点M到C、D两点距离之和最小时，上MDB=度.5．如图，在锐角ΔABC中，AC=8cm，SΔABC=18cm2，AD平分上BAC，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是cm.6．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为.7．如图1，已知直线l的同侧有两个点A、B，在直线l上找一点P，使P点到A、B两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题.（1）如图2，在平面直角坐标系内，点A的坐标为(1,1)，点B的坐标为(4,3)，动点P在x轴上，求PA+PB的最小值；M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+M