专题09 分式方程中参数问题（解析版）（人教版）

专题09分式方程中参数问题的四种考法类型一、整数解问题求参数例．若关于x的不等式组1有解且至多有5个整数解，且关于y的方程的解为整数，则符合条件的整数m的个数为()【答案】C【分析】先解出不等式组的解集，然后根据不等式组有解且至多有5个整数解，即可求得m的取值范围，再根据的解为整数，即可写出符合条件的m的值.∵不等式组至多有5个整数解，解方程得：y=又:y为整数，当m=2时，y=2，符合题意，当m=0时，不符合题意，:符合条件的整数m的个数为2，故选：C.【点睛】本题考查了已知不等式组的解集求参数，分式方程的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解集的确定方法是解题的关键.【变式训练1】．若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程1的解是正数，则符合条件的所有整数a的和为()【答案】C【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有3个整数解，确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为整数确定出a的值即可.∵不等式组恰有3个整数解，变形为+1=0去分母，得ay-5+2+y-3=0，解得y=且y为正数∴符合条件的整数a为0，2，3，4故选C【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键.【变式训练2】．若整数a使关于x的分式方程1的解为非负整数，且使关于y的不等式组{32至多有的不等式组{32至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为()ly-3>2(y-a)【答案】B【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组至多有3个整数解，确定求出a的范围；再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可解答.【详解】解：解不等式得：y≥10，解不等式y-3>2(y-a)得：y<2a-3，∵不等式组至多有3个整数解，方程∵分式方程有非负整数解，∴x≥0（x为非负整数）且x≠3，∴符合条件的所有整数．a的和是：12.故选：B.【点睛】本题主要考查了解分式方程、一元一次不等式组的整数解等知识点，熟练掌握解一元一次不等式组和解分式方程是解题的关键.【变式训练3】．若整数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a之和为.【答案】-2【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论.解不等式②得：x≤2:不等式组有且仅有四个整数解，:分式方程有整数解，:解得：y=且a+2≠0、（增根）解得a=6或4或一3或1或0或2，:a+2≠0、:a=一6或4或3或1或2；:a=3或1或2，故答案为：2.【点睛】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的整数解确定a的取值范围.类型二、由解的情况求参数例1．关于x的分式方程的解为负数，则a的取值范围是()【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可.【点睛】此题考查了分式方程的解，解题关键是熟练解分式方程，要注意在任何时候都要考虑分母不为0.例2．已知不等式2x-m<1的解集为x<1，且关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围为.【分析】先根据不等式的解集确定m，再求得方程的解，根据非负性转化为不等式，求解集，注意增根的陷阱.【详解】∵不等式2x-m<1的解集为x<，又不等式2x-m<1的解集为x<1，∴分式方程变形为解方程，得x=4-a，∵分式方程3的解为非负数，解得a≤4，∵x-1=0时，分式无意义，【点睛】本题考查了根据不等式的解集情况求参数，分式方程的解的情况求参数，正确的求出不等式的解集，分式方程的解，是解题的关键.【变式训练1】．关于x的方程的解不小于1，则m【答案】m≤-7且m¹-9【分析】先解分式方程可得x=-6-m，由题意得-6-m>1，再由x≠3，得-6-m≠3，求出m的取值范围即可.解：3x-2(x-3)=-m，x=-6-m，∵方程的解不小于1，故答案为：m≤-7且m¹-9.【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键.【变式训练2】．若数a使关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y≤1，则符合条件所有整数a的积为.【答案】240【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a<5且a≠3，根据不等式组的解集为y≤1，即可得出a>1，找出1<a<5且a≠3，中所有的整数，将其相乘即可得出结论.【详解】解：分式方程的解为且x≠2，故答案为：240【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为y≤1，找出a的取值范围是解题的关键.【变式训练3】．已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组{ly-4≤3(y+4)有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为()【答案】B【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，不等式组整理后求出解集，根据有且只有三个偶数解确定出m的范围，进而求出符合条件的所有m的和即可.【详解】解：分式方程去分母得：mx+2(x-6)=3(x-2)，整理得：(m-1)x-6=0，分式方程无解的情况有两种，情况一：整式方程无解时，即m-1=0时，方程无解，情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，①当x=2时，代入(m-1)x-6=0，得：2m-8=0解得：得m=4.②当x=6时，代入(m-1)x-6=0，得：6m-12=0，解得：得m=2.综合两种情况得，当m=4或m=2或m=1，分式方程无解；[ly[lym-y>4根据题意该不等式有且只有三个偶数解，∴不等式组有且只有的三个偶数解为−8，−6，−4，综上所述当m=2或m=1时符合题目中所有要求，∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2.【点睛】此题考查了分式方程的无解的问题，以及一元一次不等式组的偶数解，其中分式方程无解的情况有两种情况，一种是分式方程化成整式方程后整式方程无解，另一种是化成整式方程后有解，但是解为分式方程的增根，易错点是容易忽略某种情况；对于已知一元一次不等式组解，求参数的值，找到参数所表示的代数式的取值范围是解题关键.类型三、由增根问题求参数例．若关于x的分式方程有增根，则m的值为()【答案】C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可.由分式方程有增根，得到x=1或x=-1，把x=-1代入整式方程得：2m×(-1+1)解得：m=-2；故选：C.【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.【变式训练1】．若关于x的分式方程有增根，则a=.【答案】-2【分析】根据增根的概念，代入分式方程去分母后所得到的整式方程即可.【详解】解：关于x的分式方程去分母可化为x-1=a-2(x+1)，又因为关于x的分式方程有增根x=-1，所以x=-1是方程x-1=a-2(x+1)的根，所以a=-2，故答案为：-2.【点睛】本题考查分式方程的增根，理解增根的概念和产生过程是正确解答的关键.【变式训练2】．若关于x的分式方程有增根，求m的值.【答案】m=-8或m=-12【分析】先将方程转化为整式方程，求出使最简公分母的值为0的未知数的值，代入整式方程进行求解即可.【详解】解：分式方程去分母，得：m+2(x+2)=3(x-2)，整理，得：x-10=m，【点睛】本题考查分式方程有增根的问题．熟练掌握增根是使整式方程成立，使分式方程无意义的未知数的值，是解题的关键.类型三、由无解问题求参数例．分式方程=2无解，则a的值是()【答案】A【分析】分两种情况讨论：①分式方程的分母为0时，无解；②分式方程化为形如ax=b的整式方程后，如果a=0且b≠0，亦无解．据此即可解答.①∵分式方程=2无解，②整式方程(a-2)x=1中，当a-2=0时，方程无解，综合①②两种情况可知，a的值为3或2.故选：A.【点睛】本题主要考查分式方程无解的情况，分情况讨论分式方程无解的条件是解题关键.【答案】-1或-【分析】方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解可得-1-m=0或x=3，分别求出m值即可.整理得：(-1-m)x-2=0，当-1-m=0，即m=-1时，方程无解；当-1-m≠0,x=3时，方程无解，即x=解得：∴k的值为-1或-．故答案为：-1或-.【点睛】此题考查分式方程无解的情况，分情况求出方程中未知数的值，解题中注意运用分类思想解答.【变式训练2】．若关于x的分式方程无解，则m的值为.【答案】10或-4或3【分析】分式方程无解的情况有两种1）原方程存在增根2）原方程约去分母后，整式方程无解.【详解】解1）x=-2为原方程的增根，（2）x=2为原方程的增根，解得m=-4.（3）方程两边都乘(x+2)(x-2)，化简得：(m-3)x=-14.当m=3时，整式方程无解.综上所述，当m=10或m=-4或m=3时，原方程无解.故答案为：10或-4或3.【点睛】本题考查的是分式方程的解，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形.课后训练1．分式方程=0有解，则a的取值范围是()【答案】D【分析】先求出m与x的关系，再根据分式方程有解的条件判断即可.解：故选D【点睛】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，解题的关键是找出增根.2．关于x的分式方程有增根，则m的值为()【答案】B【分析】去分母，分式方程化为整式方程，由增根的定义，则整式方程根为x=2，代入求解参数值.【详解】解：分式方程变形，得x-2(x-2)=m，故选：B.【点睛】本题考查分式方程的求解，增根的定义；理解增根的定义是解题的关键.3．若关于y的不等式组l4y+1-m≥0的解为非负数，则符合条件的所有整数m的和为()【答案】C【分析】先解一元一次不等式组，再解分式方程，从而确定m的值，进而解决此题.解：:y-2≤:3y-6≤y+2，:2y≤8，:y≤4，:4y+1-m≥0，:4y≥m-1，:关于y的不等式组有且只有2个奇数解，:-4<m-1≤4，:-3<m≤5，:3(x-1)+1=m，:3x-3+1=m，:3x=m+2，:关于x的分式方程的解为非负数，:m≥-2且m≠1，:所有满足条件的整数m为：-2或-1或0或2或3或4或5，故选：C.【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握一元一次不等式组、分式方程的解法是解决本题的关键.4．关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围.【答案】m>1且m≠4【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，求出x的值，再根据分式方程解为非负数和分式有意义的条件，即可得出m的取值范围.解：∵分式方程的解为非负数，≥0，解得：m>1，∴m>1且m≠4.故答案为：m>1且m≠4.【点睛】本题主要考查了解分式方程，分式有意义的条件，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式有意义的条件：分母不等于0.5．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是.【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出m的取值范围.解：整理得，-m=3x-8，解得，∵分式方程的解为正数，【点睛】本题考查了解分式方程和一元一次不等式．解分式方程时注意分母不能为零.6．若整数a既使得关于x的分式方程有整数解，又使得关于x，y的方程组的解为正数，则a=.【答案】5【分析】先解分式方程，根据分式方程有整数解求出a的值，再解不等式组，根据不等式组解为正求出a的取值范围，再综合得出结论.【详解】解：解方程得，∵分式方程有整数解，且x≠1，∴a-3=-4或-2或-1或1或2或4，且a≠7，解方程组∵方程组的解为正数，【点睛】本题考查解分式方程与不等式组，熟练掌握根据分式方程与不等式组解的情况求字母参数值是解题的关键.7．若关于x的一元一次不䇡式组的解集为x>2，且关于y的分式方程=-2+的解为非负整数，则所有满足条件的a的值之积为.【答案】35【分析】先解一元一次不等式组得出a的取值范围，再解分式方程得a的范围，最后综合求出满足条件的a的值，即可求得.【详解】解：解不等式+1<2x-3，移项合并同类项得：