人教A版选择性必修第二册5 . 1 导数的概念及其意义

5.1导数的概念及其意义

5.1.1变化率问题

5.1.2导数的概念及其几何意义

学习目标

1.通过对实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，

了解导数概念的实际背景,达成数学抽象的核心素养.

2.理解函数的平均变化率、瞬时变化率,会求函数在某一点附近的平

均变化率,发展数学运算的核心素养.

3.理解导数的概念,会利用导数的定义求函数在某点处的导数，增强

逻辑推理与数学运算的核心素养.

4.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程,提升直观想

象与数学运算的核心素养.

在实际生产生活中，我们需要研究一些物体的瞬时变化率,例如:

2

⑴摩托车的运动方程为s=8+3t,其中s表示位移,t表示时间，知道

它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛；

⑵冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准；

(3)净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本.

探究:上述实例中都涉及某个量的瞬时变化率,在数学意义上,这些实

际上是某个量的函数的瞬时变化率,它在数学上称为什么？

提示：函数的导数.

［问题1］物体做自由落体运动的方程是s(t)［gt2.

(1)如何求出该物体在［3,3+At］这段时间内的平均速度？

(2)当At趋近于0时，问题⑴中的平均速度趋近于几?怎样理解这一

速度？

提示：(1)As=|g(3+At)2-|g=3gAt+|g(At)2,

v=^|=3g+|gAt=g(3+1△t).

⑵当△t趋近于0时,穿趋近于3g,这时的平均速度即为t=3时的瞬

时速度.

1.平均速度与瞬时速度

(1)平均速度.

一般地,在tiWtWt2这段时间里,物体的平均速度声竺占”出

(2)瞬时速度.

把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.物体在某一时刻t。的瞬时速

度为当时间间隔M11无限趋近于o时平均速度的极限，即

V］jm-(to+At)-九(七0)

-oAt

［思考1］如果某物体在某时间段内的平均速度为0,能否判定该物体

在此时间段内的瞬时速度都为0?

提示:不能.

［做一做1］质点按规律s(t)=at+l运动,若t=2时刻的瞬时速度为右

则a的值为.

在刀士匚.s(2+At)~s(2)1

解析:1小—H一=a=?

答案号

［问题2］⑴如图，当点Pn(xn,f(x))(n=l,2,3,4),沿着曲线f(x)趋近

于点P(xo,f(xo))时,割线PPn的变化趋势是什么？

⑵当点Pn无限趋近于点P时,割线PR的斜率k与切线PT的斜率k

有什么关系？

提示：⑴当点Pn趋近于点P时,割线PR趋近于点P处的切线PT.

⑵割线PR的斜率是当点匕无限趋近于点P时,上无限

xn-x0

趋近于切线PT的斜率k.

2.割线的斜率和切线的斜率

⑴割线的斜率.

如图所示：

平均变化率d+冬)一八久。)表示割线p°p的斜率.

AxAx

(2)切线与切线的斜率.

①曲线的切线.

如图所示：

在曲线y=f(x)上任取一点P(x,在x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线

y=f(x)无限趋近于点P。(xo,f(xo))时,割线PoP无限趋近于一个确定的

位置,这个确定位置的直线P°T称为曲线y=f(x)在点P。处的切线.

②切线的斜率.

曲线在某一点处切线的斜率，即当横坐标间隔1Ax1无限趋近于0时，

割线斜率止吐竺占3的极限，即k=lim/36外加.

△%△%一()

[做一做2]抛物线y=x2+l在点(1,2)处的切线的斜率是.

角军析:k=lim[(1+Ax)2+1]-(12+1)=lim(2+Ax)=2.

△x—0bx0

答案：2

［问题3］（1）在高台跳水运动中,某运动员相对于水面的高度h与起

跳后的时间t存在函数关系h（t）=-4.9t2+6.5t+10,当At<0时,在［2+

At,2］这段时间内的平均速度方是多少?分别计算当A

t=±0.01,±0.001,+0.0001,±0.00001,±0.000001时的大小.

（2）观察问题⑴中的计算结果,考虑当At趋近于0时,平均速度具有

什么样的变化趋势？

⑶从物理的角度看,事件间隔1A11无限变小时,平均速度无限趋近

于哪个量?用极限符号如何表示？

+—/［、一九（2）-/i（2+At）4.9（At）2+13.lAt.„.

提H示:⑴"---；---；—=------------=-4.9At-13.11.

2-（2+At）-At

当At=-0.01,云-13.051;

当△t=-0.001,万=T3.0951;

当At=-0.0001,v=-13.09951;

当At=-0.00001,v=-13.099951;

当At=-0.000001,v=-13.0999951;

^At=0.01,v=-13.149;

当At=0.001,万=T3.1049;

当At=0.0001,v=-13.10049;

当At=0.00001,v=-13.100049;

当At=0.000001,v=-13.1000049.

(2)当At趋近于0,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋

近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值T3.1.

（3）平均速度无限趋近于瞬时速度.可用极限符号表示为

/l（2+At）-/I（2）

lim•=-13.1.

△t—oAt

3.导数

（1）平均变化率.

把比值?,即?="久。+—）一/（”。）叫做函数y=f（X）从X。至I］x°+AX的平均

变化率.

⑵导数的概念.

如果当Ax-0时,平均变化率?无限趋近于一个确定的值，即?有极

AxAx

限,则称y=f（x）在x=x（）处可导，并把这个确定的值叫做y=f（x）在x=x0

处的导数（也称为瞬时变化率），记作（x。）或y'即金

\

)=h包二△幻-

XozmUmf（%（）+f（io）

Ao

%-△%△%-（）△%

（3）导数的几何意义.

函数y=f（x）在x=x（）处的导数f'（xo）就是切线P0T的斜率k0,即

（

k0=lim/^+^）-/（%o）=f/（xo）.

△久一0AX

⑷导函数.

当x=Xo时,（Xo）是一个唯一确定的数.当x变化时,y=f'（x）是x的

函数,称它为y=f（x）的导函数（简称导数）.y=f（x）的导函数有时也记

作yf-nm/（%+△%）-/（%）

△%-O

［思考2］函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？

提示：（1）平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在

区间［Xi,X2］上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x=x0处变化的快

慢.

⑵平均变化率与瞬时变化率的联系：当Ax趋于0时,平均变化率?

△x

趋于一个常数,这个常数为函数在x=x。处的瞬时变化率,它是一个固

定值.

［做一做3］设f（x）=2x+l,则＞（1）=.

/'(1+Ax)-/1⑴

解析:f’

Ax

-L2(1+Ax)+1]-(2X1+1)_9

乙.

△%

答案：2

探究点一平均变化率与瞬时变化率

角度1求函数的平均变化率

［例1］（1）（2021•东北师大附中高二月考）某物体沿水平方向运动，

其前进距离s（单位:m）与时间t（单位:s）的关系为s（t）=5t+2t2,则该

物体在运动前2秒的平均速度（单位:m/s）为（）

A.18B.13

13

C.9D.-

2

⑵函数f（x）=x2+x在x=l到X=l+Ax之间的平均速度为（）

A.Ax+2B.Ax+3

C.2Ax+(Ax)2D.3Ax+(Ax)2

解析：⑴因为s（t）=5t+2t；所以该物体在运动前2秒的平均速度为

d亚二竺=9(m/s),故选C.

22

(2)-f⑴

(1+Ax)-1

(1+Ax)2+(1+AX)-(12+1)(AX)2+3AX

■=Ax+3.故选B.

Ax△%

（1）求函数平均变化率的三个步骤.

第一步,求自变量的变化量Ax=X2-xi;

第二步,求函数值的变化量Ay=f(x2)-f(Xi)；

第三步,求平均变化率"二&~3.

-x

△%%2l

⑵求平均变化率的一个关注点.

求点X。附近的平均变化率,可用皿竽3的形式.

△%

［针对训练］(1)(2021•辽宁省实验中学高二月考)函数y」在x=l到

X

x=3之间的平均变化率为()

A.-B.--

33

C.--D.i

33

(2)已知函数y=sinx在区间［0,引和J?上的平均变化率分别为

632

ki,k2,那么ki,k2的大小关系为.

解析：(1)当X1=1时,yi=；=l,

当X2=3时，y2=1,

所以函数y，在x=l到x=3之间的平均变化率为¥="左=3=-；.故选

-x

X△%%2i3-13

C.

(2)y=sinx在区间［0「］上的平均变化率为

6

sin--sinO?

ki=——器——=-：

—71

6

y=sinx在区间层月上的平均变化率为

.IT.TT

sin—sin

卜2TTJTI-圣丝”所以k2

~2石

答案：⑴C(2)ki>k2

角度2求瞬时速度

［例2］某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函

数s(t)=t2+t+l表示,求物体在t=lS时的瞬时速度.

解：因为竺二s(l+At)-s⑴

AtAt

22

(1+At)+(1+At)+1-(1+1+1)门A

=---------------A-t---------------=3+At,'

所以lim—=lim(3+At)=3.

即物体在t=ls时的瞬时速度为3m/s.

变式探究1：若本例中的条件不变,试求物体的初速度.

解:求物体的初速度，即求物体在t=0时的瞬时速度，

m*As_S(O+At)-S(0)_

口,%一At

-(-O-+-A-t-)---+-(--O-+-A-t--)-+-l---l=1+At,

At---------'

所以lim—=lim(1+At)=l.

即物体的初速度为1m/s.

变式探究2:若本例中的条件不变,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为

9m/s.

解:设物体在t。时刻的瞬时速度为9m/s.

因为竺=也1处也l=2t°+l+At,

△tAt

所以lim—=lim(2t0+l+At)=2t0+l,

则2。+1=9,所以t0=4.

则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.

求瞬时速度的步骤

(1)求位移增量，As=s(t°+At)-s(to);

(2)求平均速度,5噂

(3)取极限，lim-=lims(to+At)-s(t0)；

At-0AtAt-*O

⑷若极限存在,则t。时刻的瞬时速度为v=lim当.

At-OAt

⑨探究点二导数的概念

［例3］求函数y=x」在x=l处的导数.

X

解：因为Ay=(l+Ax)一3一(上》

1+Ax1

=Ax+---,

l+Ax

所以也竺工=1+」.

△%Ax1+Ax

所以lim廿lim(1+-^—)=2,

△第一0AX△X-O1+AX

所以函数y=x」在x=l处的导数为2.

X

(1)在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式,

分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致,常见的形式还

有:

Hm/（x0+Ax）-/（x0）_］血f（而）hmf（Xo+nA£）-f（久O）

△工一0—△久一0-△久71△K一0nA%

Hmf（x（）+△久）—f（%o-△£）,I（Xo）.

2△久一02Ax

(2)用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤.

①求函数的增量Ay=f(x0+Ax)-f(x0)；

②求平均变化率且；

AxAx

③求极限lim

△久一0AX

［针对训练］⑴已知函数f(x)在x=x。处可导，若lim3*3=1,

ALOXX

则f'(X。)等于()

A.2B.1C.-1D.0

2

(2)已知f(x)=-,且fz则实数m的值等于()

%2

A.-4B.2C.-2D.±2

解析：（1）根据题意,若lim/（%。+2『-"》。）=

△LO

（x

2Xlim/o+2A%）-r（%o）=2f/（x°）=i,

2ALO2AX

则f'（X。）三.故选C.

(2)因为△6"优)

△XAX

22

—-m-+-A--%——m_____—9_____

A%m(m+Ax)J

所以『（m）=㈣加…-2）2

m2'

所以一2-”、4，解得m=±2.故选D.

⑫探究点三导数的几何意义

［例4］⑴若函数若x）的导函数在区间［a,b］上是增函数,则函数f（x）

在区间［a,b］上的图象可能是（）

（2）已知曲线C:y=x3+1,求曲线C上横坐标为2的点处的切线方程.

⑴解析:函数f（x）的导函数『（x）在区间［a,b］上是增函数,若对任

意X1和X2满足a〈Xi<X2<b,则有『（a）<f'（X2）<f'（b）,根据

导数的几何意义,可知函数y=f（x）的切线斜率在区间［a,b］内单调递

增，观察图象,只有A选项符合.故选A.

（2）解:将x=2代入曲线C的方程得y=4,

所以切点为⑵4）.

yz㈣w

|(2+AX)3+^-1X23-^

=lim-------------------

△0△%

=lim[4+2Ax+-(Ax)2]=4,

△%一03

z=

所以k=y|X=24.

所以曲线在点⑵4)处的切线方程为y-4-4(x-2),

即4x-y-4=0.

变式探究1:本例(2)中，若曲线C在点P(x。,y0)处的切线的倾斜角为

45°,求点P的坐标.

3

W：Ay=|(x+Ax)+J-i^_|

3033u3

23

=XQ•Ax+x0•(Ax)+1(Ax),

所以去贿+x°•Ax+](Ax)2,

所以y'=lim[%o+x•Ax+-(Ax)2]=xj.

003

因为曲线在点P处的切线的倾斜角为45°,

所以斜率为tan45°=1,

即y'=%广1,得x0=±l,

所以当x0=l时，y0=|;当x0=-l时，y0=l.

即切点坐标为P(T,1)或P(l,9.

变式探究2:本例⑵中，若曲线C在点P(x。,y。)处的切线与直线

x+4y-l=O垂直,求切点P的坐标.

解：由变式探究1可知，曲线C在点P(x。,y。)处的切线斜率为k=就，

由已知曲线C在点P(xo,y0)处的切线与直线x+4y-l=O垂直，

所以据X(-3=-1,解得就=4,

所以x0=2或x0=-2.

3

当x0=2时,y0=|x2+|=4;

当x°=-2时,丫手口+河.

(1)根据切线斜率求切点坐标的步骤.

①设切点坐标(Xo,y0);

②求导函数f'(x);

③求切线的斜率f'(x。)；

④由斜率间的关系列出关于X。的方程,解方程求Xo；

⑤点(x0,y。)在曲线f(x)上,将(x0,yo)代入求y0,得切点坐标.

⑵求曲线过已知点的切线方程的步骤.

［例1］求函数f(X)+1在x=xo到X=X0+AX之间的平均速度.

(%o+AK)—f(%o)

解汽

(%()+△%)-X0

(%()+△%)2+1-

(Xo+△%)2+1-(就+1)

△%[J(%o+^x)2+l+/XQ+1]

2x0+Ax

(XQ+AX)2+1+

［例2］已知f(x)在x。处的导数*(x°)=k,求下列各式的值:

(1)lim/(/")；

△支一02A%

⑵]通户久0+▲--/(4)-△久)

△久一0

解：⑴因为lim止乎产=f'(xo),

△二一0XQ-^XQ-^X)

即lim-3)=f'(x0)=k.

△久一o△久

所以1血

△久一02Ax

_i]皿fOo)-/(工o-△久)

2△久—02

(2)因为,(久。+(久)-/(配-反)一

(x0+Ax)-(x0-Ax)

久厂△久)为函数f(x)在区间［x「AX,Xo+Ax］上的平均变化率,

2Ax

所以当2Ax-0时，/(配+△久)一八刈一心)必趋于f，风上太

2Ax

所以limf-e)=k,

2ALO22C

所以hm/(%o+Ax)-/(xo-Ax)=2k,

△久~0△久

利用导数的几何意义求切线方程的方法

⑴若已知点(x。,y。)在已知曲线上,求在点(xo,y0)处的切线方程,先求

出函数y=f(x)在x=x。处的导数,然后根据直线的点斜式方程,得切线

z

方程y-yo=f(x0)(x-x0).

⑵若点(xo,y«)不在曲线上,求过点(xo,y0)的切线方程,首先应设出切

点坐标,然后根据导数的几何意义列出等式,求出切点坐标,进而求出

切线方程.

典例探究：求经过点⑵0),且与曲线y，相切的直线方程.

X

解:经验证点⑵0)不在曲线y=-±,

X

设切点为P(xo,yo).

1_1

由ymXQ+AXXQ

-o△x

m~/xx

一

(x0+Ax)•x0

T

x0(%0